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4. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$AD=3$，$DE=2$，$BD=4$。
(1)求证：$△ ADE∽ △ ABC$；
(2)求$BC$的长。
(1)求证：$△ ADE∽ △ ABC$；
(2)求$BC$的长。
答案
4. (1)证明:
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
(2)解:
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{3}{3+4}=\frac{2}{BC}$,
∴$BC=\frac{14}{3}$.
∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC.
(2)解:
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,即$\frac{3}{3+4}=\frac{2}{BC}$,
∴$BC=\frac{14}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADE与△ABC相似，已知DE//BC，可直接运用相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，截得的三角形与原三角形相似，即可完成证明。
(2) 证明两三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算AB的长度（AB=AD+BD），再将已知线段长度代入比例式，解比例方程即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。
(2) 解：
∵ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ 对应边成比例，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
又 $AB=AD+BD=3+4=7$，将$AD=3$，$DE=2$，$AB=7$代入得：
$\frac{3}{7}=\frac{2}{BC}$，
解得 $BC=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) 已证$△ ADE ∽ △ ABC$；
(2) $BC=\frac{14}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础题型，重点考查平行线判定三角形相似的定理以及相似三角形对应边成比例的性质，只要准确找到对应边，代入数值计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ADE与△ABC相似，已知DE//BC，可直接运用相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与三角形另外两边相交，截得的三角形与原三角形相似，即可完成证明。
(2) 证明两三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算AB的长度（AB=AD+BD），再将已知线段长度代入比例式，解比例方程即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。
(2) 解：
∵ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ 对应边成比例，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
又 $AB=AD+BD=3+4=7$，将$AD=3$，$DE=2$，$AB=7$代入得：
$\frac{3}{7}=\frac{2}{BC}$，
解得 $BC=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) 已证$△ ADE ∽ △ ABC$；
(2) $BC=\frac{14}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础题型，重点考查平行线判定三角形相似的定理以及相似三角形对应边成比例的性质，只要准确找到对应边，代入数值计算即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，点A,B,C,D把OE五等分，且AA'//BB'//CC'//DD'//EE'，若EE'=20 cm，那么BB'=
8
cm，DD'=16
cm.答案
5. 8 16
解析
【分析】
本题可利用平行线推出三角形相似，再结合等分线段得到的相似比求解线段长度。首先观察到AA'//BB'//CC'//DD'//EE'，所有直线均共顶点O，因此构成的各三角形两两相似；其次A、B、C、D五等分OE，可得各线段与OE的比值即为相似比，最后结合已知EE'的长度，即可求出BB'和DD'的长度。
【解析】
解：
∵点A、B、C、D把OE五等分，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{2}{5}$，$\frac{OD}{OE}=\frac{4}{5}$。
∵BB'//EE'，
∴∠OBB'=∠OEE'，又∠O为公共角，
∴△OBB'∽△OEE'，
∴$\frac{BB'}{EE'}=\frac{OB}{OE}=\frac{2}{5}$，
将EE'=20cm代入得：$BB'=20×\frac{2}{5}=8$cm。
同理，
∵DD'//EE'，可得△ODD'∽△OEE'，
∴$\frac{DD'}{EE'}=\frac{OD}{OE}=\frac{4}{5}$，
代入EE'=20cm得：$DD'=20×\frac{4}{5}=16$cm。
【答案】
8；16
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是根据平行线得到相似三角形，再结合线段等分关系得到相似比，代入数值计算即可，解题时注意相似比的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线推出三角形相似，再结合等分线段得到的相似比求解线段长度。首先观察到AA'//BB'//CC'//DD'//EE'，所有直线均共顶点O，因此构成的各三角形两两相似；其次A、B、C、D五等分OE，可得各线段与OE的比值即为相似比，最后结合已知EE'的长度，即可求出BB'和DD'的长度。
【解析】
解：
∵点A、B、C、D把OE五等分，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{2}{5}$，$\frac{OD}{OE}=\frac{4}{5}$。
∵BB'//EE'，
∴∠OBB'=∠OEE'，又∠O为公共角，
∴△OBB'∽△OEE'，
∴$\frac{BB'}{EE'}=\frac{OB}{OE}=\frac{2}{5}$，
将EE'=20cm代入得：$BB'=20×\frac{2}{5}=8$cm。
同理，
∵DD'//EE'，可得△ODD'∽△OEE'，
∴$\frac{DD'}{EE'}=\frac{OD}{OE}=\frac{4}{5}$，
代入EE'=20cm得：$DD'=20×\frac{4}{5}=16$cm。
【答案】
8；16
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是根据平行线得到相似三角形，再结合线段等分关系得到相似比，代入数值计算即可，解题时注意相似比的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
6. (2025 上海期中)如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AD=3,BC=5,点 E 在 AB 上,且 AE:EB=2:3,过点 E 作 EF//BC 交 CD 于点 F,求 EF 的长.
答案
6. 解:如图,过点 A 作 AM//CD,分别交 BC,EF 于 M,N 两点,
∵AD//BC,EF//BC,
∴四边形 ADCM 与四边形 ADFN 均为平行四边形,
△AEN∽△ABM,
∴CM=NF=AD=3,$\frac{EN}{BM}=\frac{AE}{AB}$.
又
∵BM=BC-CM=2,AE:EB=2:3,
∴$\frac{EN}{BM}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$,
∴$EN=\frac{2}{5}×BM=\frac{2}{5}×2=\frac{4}{5}$,
∴$EF=EN+NF=\frac{4}{5}+3=\frac{19}{5}$.
解析
【分析】
要求EF的长度，我们可以通过构造辅助线将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题求解：首先观察到AD、EF、BC互相平行，我们过点A作AM平行于CD，分别交BC、EF于点M、N，此时既可以得到平行四边形，得出NF的长度等于AD，又能得到一组相似三角形△AEN和△ABM，利用已知的AE与EB的比例求出相似比，计算出EN的长度，最后将EN和NF相加即可得到EF的长。
【解析】
解：如图，过点A作AM//CD，分别交BC、EF于M、N两点，
∵AD//BC，EF//BC，
∴四边形ADCM与四边形ADFN均为平行四边形，△AEN∽△ABM，
∴CM=NF=AD=3，$\frac{EN}{BM}=\frac{AE}{AB}$。
又
∵BM=BC-CM=5-3=2，AE:EB=2:3，
∴$\frac{EN}{BM}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，
∴$EN=\frac{2}{5}×BM=\frac{2}{5}×2=\frac{4}{5}$，
∴$EF=EN+NF=\frac{4}{5}+3=\frac{19}{5}$。
【答案】
$\frac{19}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的性质，梯形辅助线构造
【点评】
本题属于梯形线段计算的常规题型，通过平移腰的辅助线作法，将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题求解，体现了转化的数学思想，熟练掌握这类常见辅助线的构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要求EF的长度，我们可以通过构造辅助线将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题求解：首先观察到AD、EF、BC互相平行，我们过点A作AM平行于CD，分别交BC、EF于点M、N，此时既可以得到平行四边形，得出NF的长度等于AD，又能得到一组相似三角形△AEN和△ABM，利用已知的AE与EB的比例求出相似比，计算出EN的长度，最后将EN和NF相加即可得到EF的长。
【解析】
解：如图，过点A作AM//CD，分别交BC、EF于M、N两点，
∵AD//BC，EF//BC，
∴四边形ADCM与四边形ADFN均为平行四边形，△AEN∽△ABM，
∴CM=NF=AD=3，$\frac{EN}{BM}=\frac{AE}{AB}$。
又
∵BM=BC-CM=5-3=2，AE:EB=2:3，
∴$\frac{EN}{BM}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$，
∴$EN=\frac{2}{5}×BM=\frac{2}{5}×2=\frac{4}{5}$，
∴$EF=EN+NF=\frac{4}{5}+3=\frac{19}{5}$。
【答案】
$\frac{19}{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的性质，梯形辅助线构造
【点评】
本题属于梯形线段计算的常规题型，通过平移腰的辅助线作法，将梯形问题转化为平行四边形和相似三角形问题求解，体现了转化的数学思想，熟练掌握这类常见辅助线的构造方法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
