1. 计算：$2\sqrt{3}□(-\sqrt{3})$，若要使计算结果最大，则“”中的符号是（）。

A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

1. B

【分析】
要确定填入哪个符号时计算结果最大，我们可采用逐一代入验证的思路：先把四个选项的运算符号分别代入原式计算出对应结果，再对四个结果进行大小比较，对应最大结果的符号就是正确答案。
【解析】
我们分别计算填入不同符号时的运算结果：
选A（填“$+$”）：$2\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
选B（填“$-$”）：$2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
选C（填“$×$”）：$2\sqrt{3} × (-\sqrt{3}) = -2 × (\sqrt{3} × \sqrt{3}) = -2 × 3 = -6$
选D（填“$÷$”）：$2\sqrt{3} ÷ (-\sqrt{3}) = - (2\sqrt{3} ÷ \sqrt{3}) = -2$
比较四个结果的大小：$3\sqrt{3} ＞ \sqrt{3} ＞ -2 ＞ -6$，因此填入减号时计算结果最大。
【答案】
B
【知识点】
二次根式四则运算；实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算规则和去括号的符号变化规律，用代入排除法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85

2. 已知$x=\sqrt{2}+1$，则代数式$x^2 - 2x +1$的值为（）。

A.2
B.4
C.$3+2\sqrt{2}$
D.$6+4\sqrt{2}$

2. A

【分析】
首先观察所求代数式的结构，$x^2 - 2x +1$符合完全平方差公式的形式，我们可以先利用完全平方公式对代数式因式分解，将其转化为更简便的形式再代入$x$的值计算，避免直接代入展开的复杂步骤，降低计算出错概率。具体思路：第一步，用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将原式变形为$(x-1)^2$；第二步，把$x=\sqrt{2}+1$代入变形后的式子，先算$x-1$的值，再求平方即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式对代数式化简：
$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
将$x=\sqrt{2}+1$代入化简后的式子：
$x-1 = (\sqrt{2}+1)-1 = \sqrt{2}$
因此$(x-1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的求值运算，解题时优先对代数式化简再代入数值计算，比直接代入原式计算更简便，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

3. 下列结论正确的是()。

A.$\sqrt{(3-π)^2}=3-π$
B.$\sqrt{a^2 -4}$不是最简二次根式
C.$\sqrt{-ab^2}(b＜0)=b\sqrt{-a}$
D.$(\sqrt{12}+\sqrt{18})÷\sqrt{3}=2+\sqrt{6}$

3. D

【分析】
这是一道二次根式相关的综合选择题，解题思路为逐一分析每个选项，结合二次根式的性质、最简二次根式的判定规则、二次根式的运算法则判断正误，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$π\approx3.14＞3$，所以$3-π＜0$，因此$\sqrt{(3-π)^2}=|3-π|=π-3≠3-π$，A错误。
B选项：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母。$a^2-4=(a+2)(a-2)$，没有能开得尽方的因式，因此$\sqrt{a^2-4}$是最简二次根式，B错误。
C选项：已知$b＜0$，则$\sqrt{b^2}=|b|=-b$，因此$\sqrt{-ab^2}=\sqrt{b^2·(-a)}=|b|\sqrt{-a}=-b\sqrt{-a}≠ b\sqrt{-a}$，C错误。
D选项：根据二次根式的除法分配律，$(\sqrt{12}+\sqrt{18})÷\sqrt{3}=\sqrt{12}÷\sqrt{3}+\sqrt{18}÷\sqrt{3}=\sqrt{4}+\sqrt{6}=2+\sqrt{6}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、最简二次根式、二次根式的运算
【点评】
本题侧重考查二次根式的基础核心知识点，需要熟练掌握相关性质和运算规则，解题时要注意结合字母的取值范围判断化简后的符号，避免因粗心忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7

4. 若$a,b$互为倒数，$c,d$互为相反数，$m$的绝对值是3，则$\sqrt{4ab}+2c+2d-3m$的值是。

4. -7或11

【分析】
解题时先对应题目给出的三个条件回忆相关数学概念：①互为倒数的两个数乘积为1，因此由a、b互为倒数可推得ab=1；②互为相反数的两个数和为0，因此由c、d互为相反数可推得c+d=0；③绝对值为3的数有2个，分别是3和-3，因此m有两种取值。接下来观察所求代数式，可将2c+2d提取公因式转化为2(c+d)，方便代入已知关系计算，最后分m的两种取值分别计算即可，注意不要漏掉m为负数的情况。
【解析】
解：根据题意推导已知关系：
∵a、b互为倒数，
∴$ab=1$；
∵c、d互为相反数，
∴$c+d=0$；
∵$|m|=3$，
∴$m=3$或$m=-3$。
对所求代数式变形后代入已知关系：
$\sqrt{4ab}+2c+2d-3m = \sqrt{4ab} + 2(c+d) - 3m$
将$ab=1$、$c+d=0$代入得：
原式$=\sqrt{4×1} + 2×0 - 3m = 2 - 3m$
分情况计算：
①当$m=3$时，原式$=2 - 3×3 = -7$；
②当$m=-3$时，原式$=2 - 3×(-3) = 11$。
【答案】
-7或11
【知识点】
倒数的性质，相反数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题属于基础代数计算题，核心考查基本代数概念的应用，解题关键是准确掌握倒数、相反数、绝对值的性质，同时注意绝对值对应两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7

5. 对于任意不相等的两个正实数$a,b$,定义一种运算“※”如下：$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$,例如：$5※4=\frac{\sqrt{5+4}}{5-4}=3$。
(1)$3※6=$；
(2)$(2-\sqrt{3})※(7※5)=$。

5.(1) -1 (2) $-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是严格遵循给定的“※”运算规则，找准每一步运算中对应a、b的取值，代入公式计算即可。注意第(2)题有括号，需先计算括号内的7※5，再计算括号外的运算；计算过程中要遵循二次根式化简、分母有理化的规则，注意符号处理，避免出错。
【解析】
(1) 计算3※6，对应a=3，b=6，代入运算公式：
$3※6=\frac{\sqrt{3+6}}{3-6}=\frac{\sqrt{9}}{-3}=\frac{3}{-3}=-1$
(2) 先计算括号内的7※5，对应a=7，b=5：
$7※5=\frac{\sqrt{7+5}}{7-5}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
再计算$(2-\sqrt{3})※\sqrt{3}$，对应a=$2-\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$：
分子：$\sqrt{(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}}=\sqrt{2}$
分母：$(2-\sqrt{3})-\sqrt{3}=2-2\sqrt{3}$
原式=$\frac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2(1-\sqrt{3})}$，对分母有理化，分子分母同乘$1+\sqrt{3}$：
=$\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2×(1^2-(\sqrt{3})^2)}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2×(1-3)}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{-4}=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
【答案】
(1) $-1$；(2) $-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、分母有理化
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解能力和二次根式的计算能力，解题时要准确对应a、b的取值，遵循四则运算顺序，根式计算过程中注意化简规范和符号判断，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.7

6. 计算：
(1)$\sqrt{20} -5\sqrt{\frac{1}{5}} +\sqrt{5}$；
(2)$(\sqrt{28} - \sqrt{\frac{4}{7}})÷\sqrt{7}$；
(3)$(-\frac{1}{2})^{-2} - |1-\sqrt{2}| + (\sqrt{3}-1)^0 +\sqrt{8}$；
(4)$\frac{\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}} - (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})$。

6.(1) $2\sqrt{5}$ (2) $\frac{12}{7}$ (3) $6+\sqrt{2}$ (4) 4

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：1. 先将所有二次根式化简为最简二次根式；2. 遵循实数混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的内容，可利用运算律或乘法公式简便计算；3. 涉及负指数、零指数、绝对值的部分，先根据对应法则化简，再合并计算。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$5\sqrt{\frac{1}{5}}=5×\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$
代入原式得：
$2\sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$
(2) 利用除法分配律展开计算：
原式$=\sqrt{28}÷\sqrt{7} - \sqrt{\frac{4}{7}}÷\sqrt{7}$
$=\sqrt{28÷7} - \sqrt{\frac{4}{7}÷7}$
$=\sqrt{4} - \sqrt{\frac{4}{49}}$
$=2 - \frac{2}{7} = \frac{12}{7}$
(3) 分别化简各部分：
$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$
$\because 1＜\sqrt{2}, \therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$
$(\sqrt{3}-1)^0=1$（非零数的0次幂为1）
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
代入原式得：
$4 - (\sqrt{2}-1) + 1 + 2\sqrt{2}$
$=4 - \sqrt{2} +1 +1 +2\sqrt{2}$
$=6 + \sqrt{2}$
(4) 前半部分拆分计算，后半部分用平方差公式计算：
原式$=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} - [2^2 - (\sqrt{3})^2]$
$=\sqrt{4} + \sqrt{9} - (4-3)$
$=2 + 3 - 1 = 4$
【答案】
(1) $2\sqrt{5}$；(2) $\frac{12}{7}$；(3) $6+\sqrt{2}$；(4) $4$
【知识点】
二次根式混合运算，实数运算性质，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题型，覆盖了二次根式化简、特殊指数幂、绝对值性质、乘法公式等多个考点，计算时需注意先化简再运算，去绝对值、负指数计算是易错点，熟练掌握基础运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.75

7. 已知$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}, y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$，求代数式$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-4$的值。

7. 解：$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=3+2\sqrt{2}$，$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=3-2\sqrt{2}$，
则$x+y=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$，$xy=(3+2\sqrt{2})×(3-2\sqrt{2})=9-8=1$，
所以$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-4=\frac{x^2+y^2}{xy}-4=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}-4=\frac{36-2}{1}-4=30$。

【分析】
首先观察x和y的表达式，分母均含有二次根式，因此第一步需要先对x、y进行分母有理化，得到化简后的x、y值；直接将x、y代入所求代数式计算会非常繁琐，因此可以先将所求代数式通分变形，利用完全平方公式转化为含有x+y、xy的形式，再计算出x+y与xy的值整体代入，即可简化运算过程，快速求出结果。
【解析】
解：先对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{3-2\sqrt{2}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=3+2\sqrt{2}$
$y=\frac{1}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}=3-2\sqrt{2}$
再计算x+y和xy的值：
$x+y=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=6$
$xy=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
对所求代数式变形：
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-4=\frac{x^2+y^2}{xy}-4=\frac{(x+y)^2-2xy}{xy}-4$
将$x+y=6$，$xy=1$代入上式：
原式$=\frac{6^2-2×1}{1}-4=\frac{36-2}{1}-4=34-4=30$
【答案】
30
【知识点】
1. 分母有理化 2. 二次根式混合运算 3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式化简求值的典型题型，解题核心是运用分母有理化化简已知量，再通过代数式变形结合整体代入思想简化计算，有效避免了直接代入运算的繁琐，考查学生对二次根式运算和公式变形的掌握能力。
【难度系数】
0.7