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8. 若两个二次根式$a,b$满足$a· b=c$，且$c$是有理数，则称$a,b$是因子二次根式，$c$为因子。
(1)请判断$-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是不是因子二次根式，并说明理由；
(2)若$\sqrt{7}-1$与$n-\sqrt{7}$是因子二次根式，3为因子，求$n$的值。
(1)请判断$-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是不是因子二次根式，并说明理由；
(2)若$\sqrt{7}-1$与$n-\sqrt{7}$是因子二次根式，3为因子，求$n$的值。
答案
8. 解：(1)$-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是因子二次根式。
理由：$(-5\sqrt{10}+3\sqrt{11})×(10\sqrt{10}+6\sqrt{11})=-500-30\sqrt{110}+30\sqrt{110}+198=-302$，因为$-302$是有理数，所以$-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是因子二次根式。
(2)根据题意得$(\sqrt{7}-1)×(n-\sqrt{7})=3$，即$n-\sqrt{7}=\frac{3}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，所以$n=\frac{3\sqrt{7}+1}{2}$。
理由：$(-5\sqrt{10}+3\sqrt{11})×(10\sqrt{10}+6\sqrt{11})=-500-30\sqrt{110}+30\sqrt{110}+198=-302$，因为$-302$是有理数，所以$-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是因子二次根式。
(2)根据题意得$(\sqrt{7}-1)×(n-\sqrt{7})=3$，即$n-\sqrt{7}=\frac{3}{\sqrt{7}-1}=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$，所以$n=\frac{3\sqrt{7}+1}{2}$。
解析
【分析】
（1）解题核心是先准确理解因子二次根式的定义：若两个二次根式的乘积为有理数，则二者为因子二次根式。因此只需计算两个给定二次根式的乘积，判断结果是否为有理数即可。计算时按照多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项得到最终结果。
（2）根据因子二次根式的定义，已知二者乘积为3，先列出含n的等式，再通过分母有理化化简等式右侧，最后移项即可求出n的值。分母有理化时利用平方差公式，给分子分母同乘$\sqrt{7}+1$消除分母中的根号即可。
【解析】
(1) $-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是因子二次根式，理由如下：
计算二者乘积：
$\begin{aligned}&(-5\sqrt{10}+3\sqrt{11})×(10\sqrt{10}+6\sqrt{11})\\=&-5\sqrt{10}×10\sqrt{10} -5\sqrt{10}×6\sqrt{11} +3\sqrt{11}×10\sqrt{10} +3\sqrt{11}×6\sqrt{11}\\=&-500 -30\sqrt{110} +30\sqrt{110} +198\\=&-302\end{aligned}$
因为$-302$是有理数，符合因子二次根式的定义，所以二者是因子二次根式。
(2) 由题意得：$(\sqrt{7}-1)(n-\sqrt{7})=3$，变形得：
$n-\sqrt{7}=\frac{3}{\sqrt{7}-1}$
对右侧分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}+1$：
$\frac{3}{\sqrt{7}-1}=\frac{3(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}=\frac{3(\sqrt{7}+1)}{6}=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$
移项计算n：
$n=\frac{\sqrt{7}+1}{2}+\sqrt{7}=\frac{\sqrt{7}+1+2\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}+1}{2}$
【答案】
(1) 是因子二次根式，理由见解析；
(2) $n=\frac{3\sqrt{7}+1}{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式乘法、分母有理化
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的运算能力，解题关键是将新定义规则转化为常规的二次根式运算问题，计算过程中需注意同类二次根式的合并以及分母有理化的正确运用。
【难度系数】
0.7
（1）解题核心是先准确理解因子二次根式的定义：若两个二次根式的乘积为有理数，则二者为因子二次根式。因此只需计算两个给定二次根式的乘积，判断结果是否为有理数即可。计算时按照多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项得到最终结果。
（2）根据因子二次根式的定义，已知二者乘积为3，先列出含n的等式，再通过分母有理化化简等式右侧，最后移项即可求出n的值。分母有理化时利用平方差公式，给分子分母同乘$\sqrt{7}+1$消除分母中的根号即可。
【解析】
(1) $-5\sqrt{10}+3\sqrt{11}$和$10\sqrt{10}+6\sqrt{11}$是因子二次根式，理由如下：
计算二者乘积：
$\begin{aligned}&(-5\sqrt{10}+3\sqrt{11})×(10\sqrt{10}+6\sqrt{11})\\=&-5\sqrt{10}×10\sqrt{10} -5\sqrt{10}×6\sqrt{11} +3\sqrt{11}×10\sqrt{10} +3\sqrt{11}×6\sqrt{11}\\=&-500 -30\sqrt{110} +30\sqrt{110} +198\\=&-302\end{aligned}$
因为$-302$是有理数，符合因子二次根式的定义，所以二者是因子二次根式。
(2) 由题意得：$(\sqrt{7}-1)(n-\sqrt{7})=3$，变形得：
$n-\sqrt{7}=\frac{3}{\sqrt{7}-1}$
对右侧分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}+1$：
$\frac{3}{\sqrt{7}-1}=\frac{3(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)}=\frac{3(\sqrt{7}+1)}{6}=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$
移项计算n：
$n=\frac{\sqrt{7}+1}{2}+\sqrt{7}=\frac{\sqrt{7}+1+2\sqrt{7}}{2}=\frac{3\sqrt{7}+1}{2}$
【答案】
(1) 是因子二次根式，理由见解析；
(2) $n=\frac{3\sqrt{7}+1}{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式乘法、分母有理化
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的运算能力，解题关键是将新定义规则转化为常规的二次根式运算问题，计算过程中需注意同类二次根式的合并以及分母有理化的正确运用。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9.【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
$5+2\sqrt{6}=(2+3)+2\sqrt{2×3}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$；
$8+2\sqrt{7}=(1+7)+2\sqrt{1×7}=1^2+(\sqrt{7})^2+2×1×\sqrt{7}=(1+\sqrt{7})^2$。
【类比归纳】
（1）请你仿照嘉嘉的方法将$20+10\sqrt{3}$化成另一个式子的平方。
（2）请运用嘉嘉的方法化简：$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$。
【变式探究】
若$a±2\sqrt{21}=(\sqrt{m}±\sqrt{n})^2$，且$a,m,n$均为正整数，请求出$a$的值。
9.【阅读材料】
嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
$5+2\sqrt{6}=(2+3)+2\sqrt{2×3}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$；
$8+2\sqrt{7}=(1+7)+2\sqrt{1×7}=1^2+(\sqrt{7})^2+2×1×\sqrt{7}=(1+\sqrt{7})^2$。
【类比归纳】
（1）请你仿照嘉嘉的方法将$20+10\sqrt{3}$化成另一个式子的平方。
（2）请运用嘉嘉的方法化简：$\sqrt{11-6\sqrt{2}}$。
【变式探究】
若$a±2\sqrt{21}=(\sqrt{m}±\sqrt{n})^2$，且$a,m,n$均为正整数，请求出$a$的值。
答案
9. 解：【类比归纳】(1)$20+10\sqrt{3}=15+5+2×\sqrt{15×5}=(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2$。
(2)$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{2+9-2×\sqrt{2×9}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=3-\sqrt{2}$。
【变式探究】因为$(\sqrt{m}±\sqrt{n})^2=m+n±2\sqrt{mn}$，
所以$m+n=a$，$mn=21$。
因为$a,m,n$均为正整数，
所以$mn=1×21=3×7$。
所以$a$的值为22或10。
(2)$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{2+9-2×\sqrt{2×9}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=3-\sqrt{2}$。
【变式探究】因为$(\sqrt{m}±\sqrt{n})^2=m+n±2\sqrt{mn}$，
所以$m+n=a$，$mn=21$。
因为$a,m,n$均为正整数，
所以$mn=1×21=3×7$。
所以$a$的值为22或10。
解析
【分析】
本题是二次根式与完全平方公式结合的应用类题目，解题思路可参考以下步骤：1. 先读懂材料给出的方法：利用完全平方公式逆用，将形如$x\pm2\sqrt{y}$的式子，把$x$拆成两个正整数的和，且这两个数的乘积恰好等于$y$，即可转化为某个式子的平方；2. 解决（1）时，先将$10\sqrt{3}$转化为$2$乘两个根号乘积的形式，再把常数20拆成对应的两个数的和，写成平方形式即可；3. 解决（2）时，先将根号内的式子拆成完全平方形式，再根据二次根式的非负性，开方后取正数结果；4. 解决变式探究时，先将右侧完全平方展开，对应左右项得到$m+n=a$、$mn=21$，再找出21的所有正整数因数对，分别计算$a$的值即可。
【解析】
类比归纳
(1) 把20拆为15与5的和，$10\sqrt{3}$转化为$2×\sqrt{15}×\sqrt{5}$，可得：
$20+10\sqrt{3}=15+5+2×\sqrt{15×5}=(\sqrt{15})^2+(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{15}×\sqrt{5}=(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2$
(2) 先化简根号内的式子，把11拆为9与2的和，$6\sqrt{2}$转化为$2×3×\sqrt{2}$，可得：
$11-6\sqrt{2}=9+2-2×\sqrt{9×2}=3^2+(\sqrt{2})^2-2×3×\sqrt{2}=(3-\sqrt{2})^2$
再根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为实数），结合$3＞\sqrt{2}$得：
$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$
变式探究
先将右侧完全平方展开：
$(\sqrt{m}\pm\sqrt{n})^2=(\sqrt{m})^2\pm2×\sqrt{m}×\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2=m+n\pm2\sqrt{mn}$
对比左侧$a\pm2\sqrt{21}$，可得等量关系：$m+n=a$，$mn=21$。
已知$a,m,n$均为正整数，21的正整数因数对为$\begin{cases}m=1,n=21\\m=3,n=7\end{cases}$，代入得：
当$m=1,n=21$时，$a=1+21=22$；当$m=3,n=7$时，$a=3+7=10$。
【答案】
(1) $20+10\sqrt{3}=(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2$
(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}$
变式探究：$a$的值为22或10
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题侧重考查类比推理能力，需要结合已有方法解决新问题，解题时要注意拆分常数项时需匹配根号内的乘积项，化简算术平方根时保证结果非负，求正整数解时做到分类讨论不遗漏。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式与完全平方公式结合的应用类题目，解题思路可参考以下步骤：1. 先读懂材料给出的方法：利用完全平方公式逆用，将形如$x\pm2\sqrt{y}$的式子，把$x$拆成两个正整数的和，且这两个数的乘积恰好等于$y$，即可转化为某个式子的平方；2. 解决（1）时，先将$10\sqrt{3}$转化为$2$乘两个根号乘积的形式，再把常数20拆成对应的两个数的和，写成平方形式即可；3. 解决（2）时，先将根号内的式子拆成完全平方形式，再根据二次根式的非负性，开方后取正数结果；4. 解决变式探究时，先将右侧完全平方展开，对应左右项得到$m+n=a$、$mn=21$，再找出21的所有正整数因数对，分别计算$a$的值即可。
【解析】
类比归纳
(1) 把20拆为15与5的和，$10\sqrt{3}$转化为$2×\sqrt{15}×\sqrt{5}$，可得：
$20+10\sqrt{3}=15+5+2×\sqrt{15×5}=(\sqrt{15})^2+(\sqrt{5})^2+2×\sqrt{15}×\sqrt{5}=(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2$
(2) 先化简根号内的式子，把11拆为9与2的和，$6\sqrt{2}$转化为$2×3×\sqrt{2}$，可得：
$11-6\sqrt{2}=9+2-2×\sqrt{9×2}=3^2+(\sqrt{2})^2-2×3×\sqrt{2}=(3-\sqrt{2})^2$
再根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为实数），结合$3＞\sqrt{2}$得：
$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$
变式探究
先将右侧完全平方展开：
$(\sqrt{m}\pm\sqrt{n})^2=(\sqrt{m})^2\pm2×\sqrt{m}×\sqrt{n}+(\sqrt{n})^2=m+n\pm2\sqrt{mn}$
对比左侧$a\pm2\sqrt{21}$，可得等量关系：$m+n=a$，$mn=21$。
已知$a,m,n$均为正整数，21的正整数因数对为$\begin{cases}m=1,n=21\\m=3,n=7\end{cases}$，代入得：
当$m=1,n=21$时，$a=1+21=22$；当$m=3,n=7$时，$a=3+7=10$。
【答案】
(1) $20+10\sqrt{3}=(\sqrt{15}+\sqrt{5})^2$
(2) $\sqrt{11-6\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}$
变式探究：$a$的值为22或10
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，二次根式化简
【点评】
本题侧重考查类比推理能力，需要结合已有方法解决新问题，解题时要注意拆分常数项时需匹配根号内的乘积项，化简算术平方根时保证结果非负，求正整数解时做到分类讨论不遗漏。
【难度系数】
0.7
10.【阅读材料】
两个不等于0的根式的积不含根式,则称这两个根式互为共轭根式。例如:$\sqrt{a}$与$\sqrt{a}$,$a+\sqrt{b}$与$a-\sqrt{b}$,$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}$与$a\sqrt{b}-b\sqrt{c}$,共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉。
在二次根式的运算中,经常会出现诸如$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}}$的式子,对这类式子进行分母有理化,可以通过分子和分母同时乘分母的共轭根式实现。例如,$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}}$中分母的共轭根式分别为$\sqrt{2}+1$,$\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}$,则$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1×(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$;
$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}}=\frac{1×(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2})}{(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2})×(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2})}=\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}}{4}$。
【解决问题】
(1)分母有理化:$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$;
(2)分母有理化:$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$;
(3)应用:在光学中,凸透镜成像的公式为$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$,其中$f$为焦距,$u$为物距,$v$为像距。已知某凸透镜的物距$u=(\sqrt{6}+\sqrt{2})\mathrm{cm}$,像距$v=(\sqrt{6}-\sqrt{2})\mathrm{cm}$,求该凸透镜的焦距$f$。
两个不等于0的根式的积不含根式,则称这两个根式互为共轭根式。例如:$\sqrt{a}$与$\sqrt{a}$,$a+\sqrt{b}$与$a-\sqrt{b}$,$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}$与$a\sqrt{b}-b\sqrt{c}$,共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉。
在二次根式的运算中,经常会出现诸如$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}}$的式子,对这类式子进行分母有理化,可以通过分子和分母同时乘分母的共轭根式实现。例如,$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}}$中分母的共轭根式分别为$\sqrt{2}+1$,$\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}$,则$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1×(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$;
$\frac{1}{\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}}=\frac{1×(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2})}{(\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2})×(\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2})}=\frac{\sqrt{a+2}-\sqrt{a-2}}{4}$。
【解决问题】
(1)分母有理化:$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$;
(2)分母有理化:$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$;
(3)应用:在光学中,凸透镜成像的公式为$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$,其中$f$为焦距,$u$为物距,$v$为像距。已知某凸透镜的物距$u=(\sqrt{6}+\sqrt{2})\mathrm{cm}$,像距$v=(\sqrt{6}-\sqrt{2})\mathrm{cm}$,求该凸透镜的焦距$f$。
答案
10. 解：(1)$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$。
(3)将$u=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$v=\sqrt{6}-\sqrt{2}$代入$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得
$\frac{1}{f}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以$f=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\mathrm{cm})$。
答：该凸透镜的焦距$f$为$\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{cm}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$。
(3)将$u=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$v=\sqrt{6}-\sqrt{2}$代入$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得
$\frac{1}{f}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以$f=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\mathrm{cm})$。
答：该凸透镜的焦距$f$为$\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题考查分母有理化的应用，解题思路如下：
1. 分母有理化的核心是找到分母的共轭根式，即和分母相乘可利用平方差公式去掉根号的式子，分子分母同时乘该共轭根式，将分母化为有理数后再化简。
2. 第(1)问：分母为$\sqrt{6}+\sqrt{3}$，对应共轭根式是$\sqrt{6}-\sqrt{3}$，利用平方差公式计算分母后约分化简即可。
3. 第(2)问：分母为$\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$，对应共轭根式是$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$，相乘后分母化简为1，直接得到化简结果。
4. 第(3)问：先将物距、像距代入凸透镜成像公式，对两个分式分别分母有理化后相加得到$\frac{1}{f}$的值，再求倒数并有理化即可得到焦距$f$。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}-\sqrt{3}$：
$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$。
(2) 对$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$：
$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(x+1)-x}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$。
(3) 将$u=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$v=\sqrt{6}-\sqrt{2}$代入$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得：
$\frac{1}{f}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
分别对两个分式分母有理化：
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$
计算分母得：
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
合并分子化简：
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
对$f=\frac{2}{\sqrt{6}}$有理化得：
$f=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}-\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$；(3) 该凸透镜的焦距$f$为$\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题结合给定的共轭根式材料考查二次根式的化简计算，同时结合物理学科的凸透镜成像公式拓展应用，既考查对新定义的理解能力，也考查二次根式的运算技能，掌握找共轭根式利用平方差去根号的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题考查分母有理化的应用，解题思路如下：
1. 分母有理化的核心是找到分母的共轭根式，即和分母相乘可利用平方差公式去掉根号的式子，分子分母同时乘该共轭根式，将分母化为有理数后再化简。
2. 第(1)问：分母为$\sqrt{6}+\sqrt{3}$，对应共轭根式是$\sqrt{6}-\sqrt{3}$，利用平方差公式计算分母后约分化简即可。
3. 第(2)问：分母为$\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$，对应共轭根式是$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$，相乘后分母化简为1，直接得到化简结果。
4. 第(3)问：先将物距、像距代入凸透镜成像公式，对两个分式分别分母有理化后相加得到$\frac{1}{f}$的值，再求倒数并有理化即可得到焦距$f$。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}-\sqrt{3}$：
$\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{6-3}=\frac{3(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{3}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$。
(2) 对$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$：
$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(x+1)-x}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$。
(3) 将$u=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$v=\sqrt{6}-\sqrt{2}$代入$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得：
$\frac{1}{f}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
分别对两个分式分母有理化：
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$
计算分母得：
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
合并分子化简：
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
对$f=\frac{2}{\sqrt{6}}$有理化得：
$f=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\sqrt{6}-\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$；(3) 该凸透镜的焦距$f$为$\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{cm}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题结合给定的共轭根式材料考查二次根式的化简计算，同时结合物理学科的凸透镜成像公式拓展应用，既考查对新定义的理解能力，也考查二次根式的运算技能，掌握找共轭根式利用平方差去根号的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
