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基础知识·预习
问题1 在平面直角坐标系中，求有顶点在反比例函数图象上的几何图形的面积的方法有哪些？
问题2 你能类比求两个一次函数图象公共点坐标的方法找出一次函数与反比例函数图象的公共点坐标吗？
问题3 你能利用数形结合思想直接得出不等式的解集或方程的解吗？
问题1 在平面直角坐标系中，求有顶点在反比例函数图象上的几何图形的面积的方法有哪些？
问题2 你能类比求两个一次函数图象公共点坐标的方法找出一次函数与反比例函数图象的公共点坐标吗？
问题3 你能利用数形结合思想直接得出不等式的解集或方程的解吗？
答案
解：
问题1
求顶点在反比例函数图象上的几何图形面积的常用方法：
① 割补法：将待求图形分割为多个易求面积的基本图形，或补全为大的规则图形，通过面积的和差计算得到结果；
② 坐标法：先确定图形所有顶点的坐标，利用坐标求出对应水平、竖直方向的边长，再代入对应图形的面积公式计算；
③ 利用反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可利用该性质快速计算相关图形面积。
问题2
可以求出公共点坐标，方法如下：
类比求两个一次函数图象公共点的方法，将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组，方程组的实数解就是两个函数图象的公共点的坐标。若方程组有两组不同的实数解，则两个图象有2个公共点；若只有一组实数解，则有1个公共点；若无实数解，则两个图象没有公共点。
问题3
可以利用数形结合思想得到对应结果：
① 方程的解：若方程可变形为两个函数值相等的形式，则方程的解就是对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解；
② 不等式的解集：若不等式可变形为两个函数的函数值的大小比较形式，在坐标系中观察图象，找到满足对应大小关系的图象部分，该部分图象对应的自变量$x$的取值范围，就是不等式的解集。
问题1
求顶点在反比例函数图象上的几何图形面积的常用方法：
① 割补法：将待求图形分割为多个易求面积的基本图形，或补全为大的规则图形，通过面积的和差计算得到结果；
② 坐标法：先确定图形所有顶点的坐标，利用坐标求出对应水平、竖直方向的边长，再代入对应图形的面积公式计算；
③ 利用反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可利用该性质快速计算相关图形面积。
问题2
可以求出公共点坐标，方法如下：
类比求两个一次函数图象公共点的方法，将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组，方程组的实数解就是两个函数图象的公共点的坐标。若方程组有两组不同的实数解，则两个图象有2个公共点；若只有一组实数解，则有1个公共点；若无实数解，则两个图象没有公共点。
问题3
可以利用数形结合思想得到对应结果：
① 方程的解：若方程可变形为两个函数值相等的形式，则方程的解就是对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解；
② 不等式的解集：若不等式可变形为两个函数的函数值的大小比较形式，在坐标系中观察图象，找到满足对应大小关系的图象部分，该部分图象对应的自变量$x$的取值范围，就是不等式的解集。
解析
【分析】
这三个问题是反比例函数综合应用的基础认知问题，解题思路如下：
1. 求解反比例函数相关几何图形面积时，可先结合通用的图形面积计算方法，再关联反比例函数独有的$k$的几何意义，归纳分类得到常用求解方法；
2. 求解函数图象公共点时，类比一次函数交点的求解逻辑：公共点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可通过联立两个函数解析式组成方程组求解；
3. 利用数形结合求解方程的解和不等式的解集时，紧扣函数图象的意义：图象交点对应两个函数值相等的情况，图象的上下位置对应函数值的大小关系，由此即可对应得到方程的解和不等式的解集。
【解析】
问题1解答
求顶点在反比例函数图象上的几何图形面积的常用方法：
① 割补法：将待求图形分割为多个易求面积的基本图形，或补全为大的规则图形，通过面积的和差计算得到结果；
② 坐标法：先确定图形所有顶点的坐标，利用坐标求出对应水平、竖直方向的边长，再代入对应图形的面积公式计算；
③ 利用反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可利用该性质快速计算相关图形面积。
问题2解答
可以求出公共点坐标，方法如下：
类比求两个一次函数图象公共点的方法，将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组，方程组的实数解就是两个函数图象的公共点的坐标。若方程组有两组不同的实数解，则两个图象有2个公共点；若只有一组实数解，则有1个公共点；若无实数解，则两个图象没有公共点。
问题3解答
可以利用数形结合思想得到对应结果：
① 方程的解：若方程可变形为两个函数值相等的形式，则方程的解就是对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解；
② 不等式的解集：若不等式可变形为两个函数的函数值的大小比较形式，在坐标系中观察图象，找到满足对应大小关系的图象部分，该部分图象对应的自变量$x$的取值范围，就是不等式的解集。
【答案】
问题1解答
求顶点在反比例函数图象上的几何图形面积的常用方法：
① 割补法：将待求图形分割为多个易求面积的基本图形，或补全为大的规则图形，通过面积的和差计算得到结果；
② 坐标法：先确定图形所有顶点的坐标，利用坐标求出对应水平、竖直方向的边长，再代入对应图形的面积公式计算；
③ 利用反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可利用该性质快速计算相关图形面积。
问题2解答
可以求出公共点坐标，方法如下：
类比求两个一次函数图象公共点的方法，将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组，方程组的实数解就是两个函数图象的公共点的坐标。若方程组有两组不同的实数解，则两个图象有2个公共点；若只有一组实数解，则有1个公共点；若无实数解，则两个图象没有公共点。
问题3解答
可以利用数形结合思想得到对应结果：
① 方程的解：若方程可变形为两个函数值相等的形式，则方程的解就是对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解；
② 不等式的解集：若不等式可变形为两个函数的函数值的大小比较形式，在坐标系中观察图象，找到满足对应大小关系的图象部分，该部分图象对应的自变量$x$的取值范围，就是不等式的解集。
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.函数图象交点求解
3.数形结合思想
【点评】
本题属于反比例函数综合应用的基础梳理题，系统归纳了反比例函数应用中三类核心基础方法，帮助学生建立该模块知识的基本解题框架，为后续解决复杂综合题做好铺垫。
【难度系数】
0.8
这三个问题是反比例函数综合应用的基础认知问题，解题思路如下：
1. 求解反比例函数相关几何图形面积时，可先结合通用的图形面积计算方法，再关联反比例函数独有的$k$的几何意义，归纳分类得到常用求解方法；
2. 求解函数图象公共点时，类比一次函数交点的求解逻辑：公共点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可通过联立两个函数解析式组成方程组求解；
3. 利用数形结合求解方程的解和不等式的解集时，紧扣函数图象的意义：图象交点对应两个函数值相等的情况，图象的上下位置对应函数值的大小关系，由此即可对应得到方程的解和不等式的解集。
【解析】
问题1解答
求顶点在反比例函数图象上的几何图形面积的常用方法：
① 割补法：将待求图形分割为多个易求面积的基本图形，或补全为大的规则图形，通过面积的和差计算得到结果；
② 坐标法：先确定图形所有顶点的坐标，利用坐标求出对应水平、竖直方向的边长，再代入对应图形的面积公式计算；
③ 利用反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可利用该性质快速计算相关图形面积。
问题2解答
可以求出公共点坐标，方法如下：
类比求两个一次函数图象公共点的方法，将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组，方程组的实数解就是两个函数图象的公共点的坐标。若方程组有两组不同的实数解，则两个图象有2个公共点；若只有一组实数解，则有1个公共点；若无实数解，则两个图象没有公共点。
问题3解答
可以利用数形结合思想得到对应结果：
① 方程的解：若方程可变形为两个函数值相等的形式，则方程的解就是对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解；
② 不等式的解集：若不等式可变形为两个函数的函数值的大小比较形式，在坐标系中观察图象，找到满足对应大小关系的图象部分，该部分图象对应的自变量$x$的取值范围，就是不等式的解集。
【答案】
问题1解答
求顶点在反比例函数图象上的几何图形面积的常用方法：
① 割补法：将待求图形分割为多个易求面积的基本图形，或补全为大的规则图形，通过面积的和差计算得到结果；
② 坐标法：先确定图形所有顶点的坐标，利用坐标求出对应水平、竖直方向的边长，再代入对应图形的面积公式计算；
③ 利用反比例函数中$k$的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作$x$轴、$y$轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可利用该性质快速计算相关图形面积。
问题2解答
可以求出公共点坐标，方法如下：
类比求两个一次函数图象公共点的方法，将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立，组成方程组，方程组的实数解就是两个函数图象的公共点的坐标。若方程组有两组不同的实数解，则两个图象有2个公共点；若只有一组实数解，则有1个公共点；若无实数解，则两个图象没有公共点。
问题3解答
可以利用数形结合思想得到对应结果：
① 方程的解：若方程可变形为两个函数值相等的形式，则方程的解就是对应两个函数图象交点的横坐标，直接读取交点的横坐标即可得到方程的解；
② 不等式的解集：若不等式可变形为两个函数的函数值的大小比较形式，在坐标系中观察图象，找到满足对应大小关系的图象部分，该部分图象对应的自变量$x$的取值范围，就是不等式的解集。
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.函数图象交点求解
3.数形结合思想
【点评】
本题属于反比例函数综合应用的基础梳理题，系统归纳了反比例函数应用中三类核心基础方法，帮助学生建立该模块知识的基本解题框架，为后续解决复杂综合题做好铺垫。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数，k≠0)的部分图象如图所示，且AB//y轴.若△ABC的面积为5，则k的值为 （）
A.－5 B.$\frac{5}{2}$ C.－10 D.－15
【解析】如图，连接OA.
根据题意，得$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$.
所以$\frac{1}{2}|k|=5$.
解得$k=\pm10$.
因为k＜0，所以k＝－10.
故选C.
【答案】C
A.－5 B.$\frac{5}{2}$ C.－10 D.－15
【解析】如图，连接OA.
根据题意，得$S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$.
所以$\frac{1}{2}|k|=5$.
解得$k=\pm10$.
因为k＜0，所以k＝－10.
故选C.
【答案】C
答案
解：连接OA.
∵ AB//y轴，
∴ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，
∴ $S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$.
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$AB⊥ x$轴，根据反比例函数的几何意义可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$|k|=10$，即$k=\pm10$.
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$.
故选C.
∵ AB//y轴，
∴ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，
∴ $S_{△ ABO}=S_{△ ABC}=5$.
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$AB⊥ x$轴，根据反比例函数的几何意义可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$|k|=10$，即$k=\pm10$.
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$.
故选C.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知AB平行于y轴，要结合反比例函数k的几何意义求解k值，需要先将已知的△ABC的面积转化为过反比例函数上点与原点构成的直角三角形的面积。首先AB平行于y轴即平行于x轴上的线段OC，因此△ABC和△ABO以AB为公共底，点C和点O到直线AB的距离相等，二者同底等高面积相等，得到△ABO的面积后，再利用反比例函数|k|的几何意义求出|k|，最后根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，即可确定k的取值。
【解析】
解：连接OA，
∵ AB//y轴，OC在x轴上，
∴ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，
∴ $S_{△ABO}=S_{△ABC}=5$，
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$|k|=10$，即$k=\pm10$，
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；同底等高三角形面积性质；反比例函数图象与性质
【点评】
本题是反比例函数与三角形面积结合的典型题，解题核心是利用平行线的性质完成面积转化，再结合k的几何意义求解，需要注意不要遗漏根据图象所在象限判断k的符号这一步骤，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征，已知AB平行于y轴，要结合反比例函数k的几何意义求解k值，需要先将已知的△ABC的面积转化为过反比例函数上点与原点构成的直角三角形的面积。首先AB平行于y轴即平行于x轴上的线段OC，因此△ABC和△ABO以AB为公共底，点C和点O到直线AB的距离相等，二者同底等高面积相等，得到△ABO的面积后，再利用反比例函数|k|的几何意义求出|k|，最后根据反比例函数图象所在的象限判断k的正负，即可确定k的取值。
【解析】
解：连接OA，
∵ AB//y轴，OC在x轴上，
∴ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，
∴ $S_{△ABO}=S_{△ABC}=5$，
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且AB⊥x轴，根据反比例函数k的几何意义可得：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}|k|=5$，
解得$|k|=10$，即$k=\pm10$，
由图象可知反比例函数的图象位于第二象限，因此$k＜0$，
∴ $k=-10$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；同底等高三角形面积性质；反比例函数图象与性质
【点评】
本题是反比例函数与三角形面积结合的典型题，解题核心是利用平行线的性质完成面积转化，再结合k的几何意义求解，需要注意不要遗漏根据图象所在象限判断k的符号这一步骤，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
