登录
【即学即练】
1. 如图，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x＜0) $ 的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上. 若B(-1,4)，$ S_{□ ABCO}=4 $，则常数k的值为
1. 如图，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x＜0) $ 的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上. 若B(-1,4)，$ S_{□ ABCO}=4 $，则常数k的值为
-8
.答案
1. -8
解析
【分析】
解题思路如下：①先根据平行四边形对边平行的性质，结合OC在x轴上，可得AB为水平线段，因此点A的纵坐标与点B相同，都是4；②再利用平行四边形面积=底×高，高为点的纵坐标长度4，已知面积为4，可算出底OC的长度为1，由平行四边形对边相等得AB长度也为1；③结合点B坐标(-1,4)，点A在点B左侧，可得点A的横坐标为-1-1=-2，即得点A坐标；④最后将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB//OC，AB=OC，
又
∵OC在x轴上，
∴AB为水平线段，点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，即A的纵坐标为4。
平行四边形ABCO的面积$S = OC × 高$，此处高为AB到x轴的距离，即纵坐标长度4，
已知$S_{□ABCO}=4$，代入得：$OC × 4 = 4$，解得$OC=1$，
∴AB=OC=1，
∵点B坐标为$(-1,4)$，点A在点B左侧，
∴点A的横坐标为$-1 - 1 = -2$，即点A坐标为$(-2,4)$，
将$A(-2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：
$4 = \frac{k}{-2}$，解得$k = 4 × (-2) = -8$。
【答案】
-8
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数解析式确定；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合基础题，解题的核心是利用平行四边形的性质准确求出反比例函数上点A的坐标，再代入解析式求解即可，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①先根据平行四边形对边平行的性质，结合OC在x轴上，可得AB为水平线段，因此点A的纵坐标与点B相同，都是4；②再利用平行四边形面积=底×高，高为点的纵坐标长度4，已知面积为4，可算出底OC的长度为1，由平行四边形对边相等得AB长度也为1；③结合点B坐标(-1,4)，点A在点B左侧，可得点A的横坐标为-1-1=-2，即得点A坐标；④最后将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB//OC，AB=OC，
又
∵OC在x轴上，
∴AB为水平线段，点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，即A的纵坐标为4。
平行四边形ABCO的面积$S = OC × 高$，此处高为AB到x轴的距离，即纵坐标长度4，
已知$S_{□ABCO}=4$，代入得：$OC × 4 = 4$，解得$OC=1$，
∴AB=OC=1，
∵点B坐标为$(-1,4)$，点A在点B左侧，
∴点A的横坐标为$-1 - 1 = -2$，即点A坐标为$(-2,4)$，
将$A(-2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：
$4 = \frac{k}{-2}$，解得$k = 4 × (-2) = -8$。
【答案】
-8
【知识点】
平行四边形的性质；反比例函数解析式确定；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合基础题，解题的核心是利用平行四边形的性质准确求出反比例函数上点A的坐标，再代入解析式求解即可，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
【典型例题 2】如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数$y_1=ax$（$a$为常数，$a≠0$）的图象与反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}(a≠2)$的图象相交于点$A$和点$B$。若点$A$的横坐标为 1，则点$B$的坐标为。
思路导引 根据点$A$的坐标为$(1,a)$，且点$A$在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，求出$a$的值，进而求出两个函数的解析式，最后求出点$B$的坐标。
【解析】∵点$A$的横坐标为 1，
∴点$A$的坐标为$(1,a)$。
又点$A$在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，
∴$a=\frac{2-a}{1}$。解得$a=1$。
∴$y_1=x$，$y_2=\frac{1}{x}$。
令$x=\frac{1}{x}$。解得$x=±1$。
当$x=-1$时，$y=-1$。
∴点$B$的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】$(-1,-1)$
规律方法 对于双曲线$y=\frac{k_1}{x}(k_1$为常数，$k_1≠0)$与直线$y=k_2x(k_2$为常数，$k_2≠0)$：
(1)当$k_1,k_2$异号时，双曲线与直线无公共点。
(2)当$k_1,k_2$同号时，双曲线与直线有两个公共点，且两个公共点的横、纵坐标分别互为相反数。
思路导引 根据点$A$的坐标为$(1,a)$，且点$A$在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，求出$a$的值，进而求出两个函数的解析式，最后求出点$B$的坐标。
【解析】∵点$A$的横坐标为 1，
∴点$A$的坐标为$(1,a)$。
又点$A$在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，
∴$a=\frac{2-a}{1}$。解得$a=1$。
∴$y_1=x$，$y_2=\frac{1}{x}$。
令$x=\frac{1}{x}$。解得$x=±1$。
当$x=-1$时，$y=-1$。
∴点$B$的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】$(-1,-1)$
规律方法 对于双曲线$y=\frac{k_1}{x}(k_1$为常数，$k_1≠0)$与直线$y=k_2x(k_2$为常数，$k_2≠0)$：
(1)当$k_1,k_2$异号时，双曲线与直线无公共点。
(2)当$k_1,k_2$同号时，双曲线与直线有两个公共点，且两个公共点的横、纵坐标分别互为相反数。
答案
解：
∵点A的横坐标为1，且点A在正比例函数$y_1=ax$的图象上，
∴点A的坐标为$(1,a)$。
∵点A在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，
∴$a=\frac{2-a}{1}$，
解得$a=1$。
∴正比例函数解析式为$y_1=x$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{1}{x}$。
令$x=\frac{1}{x}$，
解得$x=\pm1$。
当$x=-1$时，$y=-1$，
∴点B的坐标为$(-1,-1)$。
∵点A的横坐标为1，且点A在正比例函数$y_1=ax$的图象上，
∴点A的坐标为$(1,a)$。
∵点A在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，
∴$a=\frac{2-a}{1}$，
解得$a=1$。
∴正比例函数解析式为$y_1=x$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{1}{x}$。
令$x=\frac{1}{x}$，
解得$x=\pm1$。
当$x=-1$时，$y=-1$，
∴点B的坐标为$(-1,-1)$。
解析
【分析】
解题时首先明确交点的性质：交点坐标同时满足两个相交函数的解析式。已知点A的横坐标为1，代入正比例函数可得到点A的纵坐标为a，即A(1,a)；再将A点坐标代入反比例函数解析式，建立关于a的一元一次方程，解出a的值后就能确定两个函数的具体解析式；最后联立两个函数的解析式求解，或者利用“正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称”的规律，即可快速得到点B的坐标。
【解析】
∵点A的横坐标为1，且点A在正比例函数$y_1=ax$的图象上，
∴点A的坐标为$(1,a)$。
∵点A在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，
∴将$A(1,a)$代入反比例函数解析式得：$a=\frac{2-a}{1}$，
解得$a=1$。
∴正比例函数解析式为$y_1=x$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{1}{x}$。
联立两个函数解析式得$x=\frac{1}{x}$，
解得$x=\pm1$。
当$x=-1$时，$y=-1$，
∴点B的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
$(-1,-1)$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、交点坐标求解
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数结合的基础常考题，核心考查函数交点的性质，既可以通过联立解析式解方程的方法求解，也可以利用两类函数交点关于原点对称的性质简化计算，能很好地考查学生对函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确交点的性质：交点坐标同时满足两个相交函数的解析式。已知点A的横坐标为1，代入正比例函数可得到点A的纵坐标为a，即A(1,a)；再将A点坐标代入反比例函数解析式，建立关于a的一元一次方程，解出a的值后就能确定两个函数的具体解析式；最后联立两个函数的解析式求解，或者利用“正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称”的规律，即可快速得到点B的坐标。
【解析】
∵点A的横坐标为1，且点A在正比例函数$y_1=ax$的图象上，
∴点A的坐标为$(1,a)$。
∵点A在反比例函数$y_2=\frac{2-a}{x}$的图象上，
∴将$A(1,a)$代入反比例函数解析式得：$a=\frac{2-a}{1}$，
解得$a=1$。
∴正比例函数解析式为$y_1=x$，反比例函数解析式为$y_2=\frac{1}{x}$。
联立两个函数解析式得$x=\frac{1}{x}$，
解得$x=\pm1$。
当$x=-1$时，$y=-1$，
∴点B的坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
$(-1,-1)$
【知识点】
正比例函数、反比例函数、交点坐标求解
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数结合的基础常考题，核心考查函数交点的性质，既可以通过联立解析式解方程的方法求解，也可以利用两类函数交点关于原点对称的性质简化计算，能很好地考查学生对函数基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
2. 若过原点的直线与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象交于$A(m,n),B(m-6,n-6)$两点，则常数$k$的值为
9
。答案
2. 9
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质：过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称，关于原点对称的两个点横、纵坐标均互为相反数，即两点横坐标之和为0，纵坐标之和为0，据此可列方程求出A点的横、纵坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。也可通过两点均在反比例函数和正比例函数上的关系列方程求解，利用对称性解题更简便。
【解析】
解：
∵ 过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象交于A、B两点，
∴ A、B两点关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，
可列方程组：$\begin{cases}m + (m - 6) = 0 \\ n + (n - 6) = 0\end{cases}$
分别解方程得：$m=3$，$n=3$，即点A的坐标为$(3,3)$，
将$A(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，解得$k=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的对称性，原点对称的坐标特征，待定系数法求反比例函数系数
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称的性质，运用该性质可大幅简化计算，也可通过联立函数解析式的方法求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的图象性质：过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称，关于原点对称的两个点横、纵坐标均互为相反数，即两点横坐标之和为0，纵坐标之和为0，据此可列方程求出A点的横、纵坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值。也可通过两点均在反比例函数和正比例函数上的关系列方程求解，利用对称性解题更简便。
【解析】
解：
∵ 过原点的直线与反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象交于A、B两点，
∴ A、B两点关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，
可列方程组：$\begin{cases}m + (m - 6) = 0 \\ n + (n - 6) = 0\end{cases}$
分别解方程得：$m=3$，$n=3$，即点A的坐标为$(3,3)$，
将$A(3,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{3}$，解得$k=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数的对称性，原点对称的坐标特征，待定系数法求反比例函数系数
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握过原点的直线与反比例函数的两个交点关于原点对称的性质，运用该性质可大幅简化计算，也可通过联立函数解析式的方法求解。
【难度系数】
0.7
【典型例题3】如图，已知$A(-4,n)$，$B(2,-4)$是一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象和反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象的两个公共点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及$△ AOB$的面积.
(3)直接写出关于$x$的方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解.
(4)直接写出关于$x$的不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$的解集.
【解】(1)因为点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，所以$m=-8$.
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$.
因为点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，所以$n=2$.
所以点$A$的坐标为$(-4,2)$.
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2),B(2,-4)$两点，
所以$\begin{cases}-4k+b=2, \\2k+b=-4.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=-2.\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-x-2$.
(2)因为点$C$是直线$AB$与$x$轴的交点，对于$y=-x-2$，当$y=0$时，$x=-2$，所以点$C$的坐标为$(-2,0)$.所以$OC=2$.
所以$S_{△ AOB}=S_{△ ACO}+S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$.
(3)$x_1=-4,x_2=2$.
(4)$-4＜x＜0$或$x＞2$.
规律方法 1. 在平面直角坐标系中求图形的面积，当图形的面积不易直接求出时，常用的一个方法是先把图形分割成易于计算面积的两个或多个图形，再利用图形的顶点坐标分别求出这些分割而成的图形的面积，最后相加.
2. 在典型例题3的(3)(4)问中，可以把解方程和解不等式的问题转化，利用函数的图象求解.解方程就是求两个函数图象公共点的横坐标；解不等式就是求一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时，对应的$x$的取值范围.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及$△ AOB$的面积.
(3)直接写出关于$x$的方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解.
(4)直接写出关于$x$的不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$的解集.
【解】(1)因为点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，所以$m=-8$.
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$.
因为点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，所以$n=2$.
所以点$A$的坐标为$(-4,2)$.
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2),B(2,-4)$两点，
所以$\begin{cases}-4k+b=2, \\2k+b=-4.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1, \\b=-2.\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-x-2$.
(2)因为点$C$是直线$AB$与$x$轴的交点，对于$y=-x-2$，当$y=0$时，$x=-2$，所以点$C$的坐标为$(-2,0)$.所以$OC=2$.
所以$S_{△ AOB}=S_{△ ACO}+S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$.
(3)$x_1=-4,x_2=2$.
(4)$-4＜x＜0$或$x＞2$.
规律方法 1. 在平面直角坐标系中求图形的面积，当图形的面积不易直接求出时，常用的一个方法是先把图形分割成易于计算面积的两个或多个图形，再利用图形的顶点坐标分别求出这些分割而成的图形的面积，最后相加.
2. 在典型例题3的(3)(4)问中，可以把解方程和解不等式的问题转化，利用函数的图象求解.解方程就是求两个函数图象公共点的横坐标；解不等式就是求一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时，对应的$x$的取值范围.
答案
解：
(1) 因为点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$B(2,-4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$-4=\frac{m}{2}$，解得$m=-8$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
因为点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
将$A(-4,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$n=-\frac{8}{-4}=2$，
所以点$A$的坐标为$(-4,2)$。
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2)$，$B(2,-4)$两点，
将两点坐标代入解析式得
$\begin{cases}-4k+b=2 \\2k+b=-4\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k=-1 \\b=-2\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2) 令一次函数$y=-x-2$中$y=0$，则$-x-2=0$，解得$x=-2$，
所以点$C$的坐标为$(-2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ ACO}+S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$
(3) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解为$x_1=-4$，$x_2=2$。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$的解集为$-4＜x＜0$或$x＞2$。
(1) 因为点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$B(2,-4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$-4=\frac{m}{2}$，解得$m=-8$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
因为点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
将$A(-4,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$n=-\frac{8}{-4}=2$，
所以点$A$的坐标为$(-4,2)$。
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2)$，$B(2,-4)$两点，
将两点坐标代入解析式得
$\begin{cases}-4k+b=2 \\2k+b=-4\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k=-1 \\b=-2\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2) 令一次函数$y=-x-2$中$y=0$，则$-x-2=0$，解得$x=-2$，
所以点$C$的坐标为$(-2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ ACO}+S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$
(3) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解为$x_1=-4$，$x_2=2$。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$的解集为$-4＜x＜0$或$x＞2$。
解析
【分析】
(1)采用待定系数法求解析式：反比例函数仅含1个未知参数m，先将已知点B坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出纵坐标n得到完整的A点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的k、b值，确定解析式。
(2)求直线与x轴交点时，令一次函数y=0求解x即可得到C点坐标；△AOB无法直接计算面积，采用分割法拆分为以OC为公共底的△ACO和△BCO，两个三角形的高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别求面积后求和即可。
(3)方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$等价于$kx+b=\frac{m}{x}$，其解就是两个函数图象交点的横坐标，直接取A、B两点的横坐标即可。
(4)不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$等价于$kx+b＜\frac{m}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合图象分区间分析即可得到解集。
【解析】
(1) 因为点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$B(2,-4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$-4=\frac{m}{2}$，解得$m=-8$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
因为点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
将$A(-4,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$n=-\frac{8}{-4}=2$，
所以点$A$的坐标为$(-4,2)$。
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2)$，$B(2,-4)$两点，
将两点坐标代入解析式得
$\begin{cases}-4k+b=2 \\2k+b=-4\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k=-1 \\b=-2\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2) 令一次函数$y=-x-2$中$y=0$，则$-x-2=0$，解得$x=-2$，
所以点$C$的坐标为$(-2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ ACO}+S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$
(3) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解对应两个函数交点的横坐标，为$x_1=-4$，$x_2=2$。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，对应图象中一次函数在反比例函数下方的区间，解集为$-4＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1)反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x-2}$；
(2)点$C$坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$，$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(3)方程的解为$\boldsymbol{x_1=-4,x_2=2}$；
(4)不等式的解集为$\boldsymbol{-4＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，坐标系面积计算，函数与方程不等式的关系
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，既考查了求函数解析式的基础方法，也渗透了数形结合的核心思想，能帮助学生理解函数、方程、不等式三者的关联，分割法求面积的技巧也适用于多数坐标系中的图形面积计算，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1)采用待定系数法求解析式：反比例函数仅含1个未知参数m，先将已知点B坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再将点A的横坐标代入反比例函数，求出纵坐标n得到完整的A点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可得到一次函数的k、b值，确定解析式。
(2)求直线与x轴交点时，令一次函数y=0求解x即可得到C点坐标；△AOB无法直接计算面积，采用分割法拆分为以OC为公共底的△ACO和△BCO，两个三角形的高分别为A、B两点纵坐标的绝对值，分别求面积后求和即可。
(3)方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$等价于$kx+b=\frac{m}{x}$，其解就是两个函数图象交点的横坐标，直接取A、B两点的横坐标即可。
(4)不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$等价于$kx+b＜\frac{m}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合图象分区间分析即可得到解集。
【解析】
(1) 因为点$B(2,-4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$B(2,-4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$-4=\frac{m}{2}$，解得$m=-8$。
所以反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
因为点$A(-4,n)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上，
将$A(-4,n)$代入$y=-\frac{8}{x}$，得$n=-\frac{8}{-4}=2$，
所以点$A$的坐标为$(-4,2)$。
因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-4,2)$，$B(2,-4)$两点，
将两点坐标代入解析式得
$\begin{cases}-4k+b=2 \\2k+b=-4\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k=-1 \\b=-2\end{cases}$
所以一次函数的解析式为$y=-x-2$。
(2) 令一次函数$y=-x-2$中$y=0$，则$-x-2=0$，解得$x=-2$，
所以点$C$的坐标为$(-2,0)$，$OC=2$。
$S_{△ AOB}=S_{△ ACO}+S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×4=6$
(3) 方程$kx+b-\frac{m}{x}=0$的解对应两个函数交点的横坐标，为$x_1=-4$，$x_2=2$。
(4) 不等式$kx+b-\frac{m}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，对应图象中一次函数在反比例函数下方的区间，解集为$-4＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
(1)反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{8}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x-2}$；
(2)点$C$坐标为$\boldsymbol{(-2,0)}$，$△ AOB$的面积为$\boldsymbol{6}$；
(3)方程的解为$\boldsymbol{x_1=-4,x_2=2}$；
(4)不等式的解集为$\boldsymbol{-4＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，坐标系面积计算，函数与方程不等式的关系
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的典型综合题，既考查了求函数解析式的基础方法，也渗透了数形结合的核心思想，能帮助学生理解函数、方程、不等式三者的关联，分割法求面积的技巧也适用于多数坐标系中的图形面积计算，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
