10. 将一个含$30°$角的透明直角三角尺按如图所示的方式放置在$\odot O$上.已知点A，B，C都在$\odot O$上，连接BC.若$\overset{\frown}{AC}=\frac{3}{2}\overset{\frown}{BC}$，则$\frac{AC}{BC}$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.1

（第10题图）
（第11题图）

10.B

【分析】
解题思路：首先利用含30°角的直角三角尺的特征得到圆周角∠CAB的度数，结合圆周角定理求出弧BC对应的圆心角度数，推出弦BC与圆半径的关系；再根据两段弧的数量关系求出弧AC对应的圆心角度数，推出弦AC与圆半径的关系；最后计算两条弦的比值即可得到结果。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$R$，连接$OA$、$OB$、$OC$。
∵三角尺为含$30°$角的直角三角尺，$\therefore ∠ CAB=30°$。
根据圆周角定理，弧$BC$所对的圆心角$∠ BOC=2∠ CAB=2×30°=60°$。
又$\because OB=OC=R$，$\therefore △ BOC$是等边三角形，$\therefore BC=R$。
$\because \overset{\frown}{AC}=\frac{3}{2}\overset{\frown}{BC}$，同圆中弧的度数比等于所对圆心角的度数比，
$\therefore$弧$AC$所对的圆心角$∠ AOC=\frac{3}{2}∠ BOC=\frac{3}{2}×60°=90°$。
又$\because OA=OC=R$，$\therefore △ AOC$是等腰直角三角形，
$\therefore AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}R}{R}=\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与特殊三角形的综合应用题，解题的核心是将弧的数量关系转化为圆心角的度数关系，再结合特殊三角形的边长特征求解弦长比值，能很好地考查知识点的融合应用能力。
【难度系数】
0.65

11.如图,在半径为5的$\odot O$中,弦$AB$,$CD$所对的圆心角分别为$∠ AOB$和$∠ COD$.若$CD=6$,$∠ AOB$与$∠ COD$互补,则弦$AB$的长为________.

11.8

【分析】
已知∠AOB与∠COD互补，我们可以通过旋转△COD，让OC与OB重合，利用互补的性质得到A、O、D三点共线，即AD为圆的直径，再结合直径所对圆周角是直角的性质，构造直角三角形，最后用勾股定理计算AB的长度。
【解析】
将△COD绕点O旋转，使OC与OB重合，此时点D的对应点仍在$\odot O$上，可得$BD=CD=6$，且$∠BOD=∠COD$。
$\because ∠AOB + ∠COD = 180°$，
$\therefore ∠AOB + ∠BOD = 180°$，即A、O、D三点共线，
$\therefore AD$是$\odot O$的直径，$AD=2×5=10$。
根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ABD=90°$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
【答案】
8
【知识点】
圆周角定理，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题核心是利用旋转将互补的圆心角转化为平角，构造出直径所对的直角三角形，将未知弦长转化为直角三角形的边长求解，考查了几何转化的思维能力。
【难度系数】
0.6

12. 已知$\odot O$的半径为10，AB是$\odot O$的弦，AB=10.
(1) 如图1，作弦AC，点E在$\odot O$上. 若$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，则$∠ BAC$的度数为.
(2) 如图2，若C，D是$\odot O$上两点，连接CD，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，求CD的长.

12.【解】(1)$90°$
(2)如图,连接 BO 并延长,交⊙O 于点 F,连接 AF.
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}(\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD})=\overset{\frown}{BAF}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}$.
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$.
∴AF=CD.
∵BF 为⊙O 的直径，
∴∠BAF=90°.
又⊙O 的半径为 10，
∴BF=20.
在 Rt△ABF 中, AF = $\sqrt{BF^2-AB^2}$ = $\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}$.
∴CD=$10\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 首先根据已知半径和AB的长度，可判断△AOB为等边三角形，得到弧AB的度数；再结合弧的和的条件，推出∠BAC所对弧的度数，最后利用圆周角定理即可求出角度。
(2) 首先根据弧的和的关系，推出弧AB与弧CD的度数和为180°；再构造直径BF，可得弧AB与弧AF的度数和为180°，从而推出弧AF=弧CD，得到AF=CD；最后利用直径所对圆周角为直角，结合勾股定理计算AF的长度，即可得到CD的长。
【解析】
(1) 连接OA、OB，
∵⊙O的半径为10，AB=10，
∴OA=OB=AB=10，即△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，对应弧AB的度数为60°。
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BEC}$，且整个圆周的度数为360°，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BEC}=2\overset{\frown}{BEC}=360°$，解得$\overset{\frown}{BEC}=180°$。
∵∠BAC是圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BEC}$，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×180°=90°$。
(2) 连接BO并延长，交⊙O于点F，连接AF，
∵$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}$，且$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}×360°=180°$。
∵BF为⊙O的直径，
∴$\overset{\frown}{BAF}=180°$，即$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AF}=180°$，
∴$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AF=CD$。
∵BF为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ BAF=90°$，
又⊙O的半径为10，
∴$BF=2×10=20$，
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$，
∴$CD=AF=10\sqrt{3}$。

【答案】
(1)$90°$；(2)$10\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理及推论，同圆弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆周角之间的对应关系，通过构造直径作为辅助线，将未知线段转化到直角三角形中求解，能有效考查对相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65

13. 如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，$∠ ACB=2∠ BAC$.
(1)求证：$∠ AOB=2∠ BOC$.
(2)若$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径长.

13. (1)【证明】
∵∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB,∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC,∠ACB=2∠BAC，
∴∠AOB=2∠BOC.
(2)【解】如图,过点 O 作 OD⊥AB,垂足为 E,交⊙O 于点 D,连接 DB.
∴AE=BE.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
∴∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOB.
由(1)知,∠AOB=2∠BOC，
∴∠DOB=∠BOC.
∴BD=BC.
∵AB=4,BC=$\sqrt{5}$，
∴BE=2,BD=$\sqrt{5}$.
在 Rt△BDE 中,∠DEB=90°，
∴DE=$\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$.
在 Rt△BOE 中,∠OEB=90°，
∴OB²=OE²+BE².
∵OE=OD-DE=OB-1，
∴OB²=(OB-1)²+2².
∴OB=$\frac{5}{2}$,即⊙O 的半径长是$\frac{5}{2}$.

【分析】
(1) 要证明∠AOB=2∠BOC，可利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。观察图形可知∠ACB是弧AB对应的圆周角，对应圆心角为∠AOB；∠BAC是弧BC对应的圆周角，对应圆心角为∠BOC，结合已知∠ACB=2∠BAC，代入圆周角和圆心角的关系即可推导结论。
(2) 求圆的半径可借助垂径定理构造直角三角形求解：过圆心作AB的垂线，可平分AB、平分弧AB，得到∠DOB=½∠AOB，结合第一问结论可推出∠DOB=∠BOC，进而得到BD=BC，再在两个直角三角形中用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得
$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC$，
已知$∠ ACB=2∠ BAC$，
代入得 $\frac{1}{2}∠ AOB = 2×\frac{1}{2}∠ BOC$，
化简可得 $∠ AOB=2∠ BOC$，得证。
(2) 解：如图，过点$O$作$OD⊥ AB$，垂足为$E$，交$\odot O$于点$D$，连接$DB$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，
$\therefore AE=BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore ∠ DOB=\frac{1}{2}∠ AOB$。
由(1)知$∠ AOB=2∠ BOC$，
$\therefore ∠ DOB=∠ BOC$，
在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，
$\therefore BD=BC$。
已知$AB=4$，$BC=\sqrt{5}$，
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=2$，$BD=\sqrt{5}$。
在$Rt△ BDE$中，$∠ DEB=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$，$OE=OD-DE=r-1$，
在$Rt△ BOE$中，$∠ OEB=90°$，由勾股定理得：
$OB^2=OE^2+BE^2$，
代入得 $r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开化简得$2r=5$，解得$r=\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\odot O$的半径长为$\frac{5}{2}$。

【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问直接考查圆周角定理的应用，第二问通过作垂线构造直角三角形，结合同圆中圆心角与弦的关系转化已知条件，再用勾股定理列方程求解，是圆中求半径的典型考法，需熟练掌握这类构造辅助线的思路。
【难度系数】
0.7

14.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，弦BD交AC于点E，$AE=DE$，$BC=CE$，过点O作$OF⊥ AC$，垂足为F，延长FO交BE于点G.已知$DE=6$，$EG=4$.
(1)求EF的长.
(2)求AB的长.

14.【解】(1)如图,连接 CD.
∵∠A = ∠D, AE = DE,∠AEB=∠DEC，
∴△AEB≌△DEC(ASA).
∴BE=CE.
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC.
∴△EBC 为等边三角形.
∴∠BEC=60°.
∵OF⊥AC，
∴∠GFE=90°.
∴∠EGF=180°-90°-60°=30°.
∴EF=$\frac{1}{2}$EG=2.

(2)如图,过点 B 作 BM⊥AC,垂足为 M.
∴∠BMC=90°.
∵OF⊥AC，
∴AF=CF.
由(1)可知△EBC 为等边三角形,EF=2.
∵AE=DE=6，
∴CF=AF=AE+EF=8.
∴AC=16,CE=10.
∴BC=10.
∵∠BMC=90°,∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°.
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=5.
∴BM = $\sqrt{BC^2-CM^2}$ = $\sqrt{10^2-5^2}$ = $5\sqrt{3}$, AM=AC-CM=11.
∴AB=$\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{11^2+(5\sqrt{3})^2}=14$.

【分析】
(1)求EF的长：首先利用同弧所对圆周角相等、已知的AE=DE以及对顶角相等，证明△AEB和△DEC全等，得到BE=CE，结合BC=CE可推出△EBC是等边三角形，得到∠BEC=60°；再根据OF⊥AC可知△EFG是直角三角形，利用30°角所对直角边为斜边一半的性质即可求出EF。
(2)求AB的长：先根据垂径定理得到AF=CF，结合已知线段长度算出AC、CE的长度，即等边△EBC的边长；过B作BM⊥AC构造直角三角形，利用等边三角形的性质求出CM和BM的长度，最后在Rt△ABM中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
(1)如图，连接CD.
∵∠A = ∠D, AE = DE,∠AEB=∠DEC，
∴△AEB≌△DEC(ASA).
∴BE=CE.
∵BC=CE，
∴BE=CE=BC.
∴△EBC 为等边三角形.
∴∠BEC=60°.
∵OF⊥AC，
∴∠GFE=90°.
∴∠EGF=180°-90°-60°=30°.
∴EF=$\frac{1}{2}$EG=2.

(2)如图,过点 B 作 BM⊥AC,垂足为 M.
∴∠BMC=90°.
∵OF⊥AC，
∴AF=CF.
由(1)可知△EBC 为等边三角形,EF=2.
∵AE=DE=6，
∴CF=AF=AE+EF=8.
∴AC=16,CE=10.
∴BC=10.
∵∠BMC=90°,∠BCM=60°，
∴∠MBC=30°.
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=5.
∴BM = $\sqrt{BC^2-CM^2}$ = $\sqrt{10^2-5^2}$ = $5\sqrt{3}$, AM=AC-CM=11.
∴AB=$\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{11^2+(5\sqrt{3})^2}=14$.

【答案】
(1)EF的长为2；(2)AB的长为14。


【知识点】
圆周角定理；全等三角形判定与性质；垂径定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质、三角形全等、等边三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题核心是先通过全等推导得到等边三角形，再结合直角三角形性质和垂径定理逐步求解，对学生综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6