基础知识·预习
问题1 类比学习过的圆的内接三角形和三角形的外接圆，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫什么？这个圆叫什么？
问题2 圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为$360°$的性质，是否还有其他性质？

解：
问题1：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
问题2：圆内接四边形还有其他性质：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）。

【分析】
问题1可采用类比迁移的思路思考：我们已经学过圆内接三角形和三角形外接圆的定义，只需要将定义中的“三角形”替换为一般“多边形”，就能对应得到本题要找的概念。问题2可结合已学的圆周角定理推导：圆内接四边形的每组对角所对的弧拼接后刚好是完整的圆周，完整圆周对应的圆心角为360°，根据圆周角等于其所对圆心角的一半，可推出每组对角的和为180°，即对角互补；再结合补角的性质，可进一步推出外角等于内对角的结论。
【解析】
问题1：类比圆内接三角形、三角形外接圆的定义可得，若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，对应的这个圆叫做该多边形的外接圆。
问题2：圆内接四边形存在区别于一般四边形的特殊性质：首先其对角互补，其次任意一个外角都等于它的内对角，也就是与该外角相邻的内角的对角。
【答案】
问题1：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
问题2：圆内接四边形还有其他性质：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）。
【知识点】
圆内接多边形的定义；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对圆相关基础概念、性质的理解和记忆，是后续解决圆与四边形结合的综合题的基础，需要熟练掌握相关内容。
【难度系数】
0.9

【典型例题】如图,四边形ABCD内接于一圆,点E在BC的延长线上,连接AC,BD.

(1)求证:$∠ DAB=∠ DCE$.
(2)若$∠ DAB=65°,∠ ACB=70°$,求$∠ ABD$的度数.
(1)【证明】$\because$四边形ABCD内接于圆,
$\therefore ∠ DAB+∠ DCB=180°$.
由题图知,$∠ DCE+∠ DCB=180°$,
$\therefore ∠ DAB=∠ DCE$.
(2)【解】$\because ∠ ACB=70°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=70°$.
$\therefore ∠ ABD=180°-∠ DAB-∠ ADB=180°-65°-70°=45°$.
规律方法 解决此类问题时,结合邻补角互补与圆内接四边形的对角互补求解.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ DAB + ∠ DCB = 180°$。
由点E在BC的延长线上可知，$∠ DCE + ∠ DCB = 180°$，
∴ $∠ DAB = ∠ DCE$。
(2) 解：
∵ $∠ ACB = 70°$，$∠ ADB$与$∠ ACB$是同弧$AB$所对的圆周角，
∴ $∠ ADB = ∠ ACB = 70°$。
在$△ ABD$中，
$∠ ABD = 180° - ∠ DAB - ∠ ADB = 180° - 65° - 70° = 45°$。
答：$∠ ABD$的度数为$45°$。

【分析】
(1) 要证明∠DAB=∠DCE，首先利用圆内接四边形的性质得到∠DAB与∠DCB互补，再结合邻补角的定义得到∠DCE与∠DCB互补，最后根据同角的补角相等即可完成证明；
(2) 求∠ABD的度数时，观察∠ABD在△ABD中，已知∠DAB的度数，只需先求出∠ADB的度数即可：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=∠ACB，再利用三角形内角和为180°，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ $∠ DAB + ∠ DCB = 180°$，
∵ 点E在BC的延长线上，
∴ $∠ DCE + ∠ DCB = 180°$，
∴ $∠ DAB = ∠ DCE$。
(2) 解：
∵ $∠ ADB$与$∠ ACB$都是弧$AB$所对的圆周角，
∴ $∠ ADB = ∠ ACB = 70°$，
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABD = 180° - ∠ DAB - ∠ ADB = 180° - 65° - 70° = 45°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boxed{45°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补、同弧所对圆周角相等的性质，结合补角的性质和三角形内角和定理即可快速求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85

如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接BO并延长,交⊙O于点E.若∠DCE=20°,则∠A的度数为.

110°

【分析】
要求∠A的度数，首先回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，因此只要先求出∠BCD的度数，就可以通过互补关系算出∠A。已知BE是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠BCE=90°，结合已知∠DCE=20°，即可求出∠BCD的度数，进而求得∠A。
【解析】
解：
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠DCE=20°，
∴∠BCD=∠BCE - ∠DCE=90° - 20°=70°。
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A + ∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠A=180° - 70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
直径所对圆周角的性质；圆内接四边形对角互补
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，解题的关键是熟练掌握直径对直角、圆内接四边形对角互补这两个核心性质，将已知角和待求角建立联系即可求解。
【难度系数】
0.7