登录
1.如图,点A,B,C都在⊙O上,∠AOB=100°,∠C的度数是 (
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
（第1题图）
（第2题图）
B
)A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形，确定∠AOB是⊙O的圆心角，∠C是⊙O的圆周角，且两个角所对的弧是同一段弧AB。回忆圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此直接用圆心角的度数除以2即可得到∠C的度数。
【解析】
解：由图可知，圆心角∠AOB和圆周角∠C同对弧AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，确定∠AOB是⊙O的圆心角，∠C是⊙O的圆周角，且两个角所对的弧是同一段弧AB。回忆圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此直接用圆心角的度数除以2即可得到∠C的度数。
【解析】
解：由图可知，圆心角∠AOB和圆周角∠C同对弧AB，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧所对的圆心角和圆周角，熟练掌握定理内容即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，A,B,C是$\odot O$上的点，BC是$\odot O$的直径，在BA的延长线上取一点D，使$AD=AC$，连接CD，则$∠ ACD$的度数是 （
A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
C
）A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件对应相关性质：首先看到BC是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可先求出∠BAC的度数，进而得到其邻补角∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，可知△ACD是等腰直角三角形，最后根据等腰三角形的角度计算规则就能求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，
∴由直径所对的圆周角为直角，可得∠BAC=90°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
又
∵AD=AC，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ACD=(180°-∠CAD)÷2=(180°-90°)÷2=45°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，等腰三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，再结合等腰三角形的角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件对应相关性质：首先看到BC是圆的直径，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，可先求出∠BAC的度数，进而得到其邻补角∠CAD的度数；再结合AD=AC的条件，可知△ACD是等腰直角三角形，最后根据等腰三角形的角度计算规则就能求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，
∴由直径所对的圆周角为直角，可得∠BAC=90°，
∴∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
又
∵AD=AC，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ACD=(180°-∠CAD)÷2=(180°-90°)÷2=45°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，等腰三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，再结合等腰三角形的角度关系计算即可。
【难度系数】
0.8
3.如图,点A,B,C,D都在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,则AD=
（第3题图）
（第4题图）
$2\sqrt{21}$
.（第3题图）
（第4题图）
答案
3.$2\sqrt{21}$
解析
【分析】首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，得到∠ABC=90°；再结合圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，推出AC是圆的直径；然后根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ADC=90°，最后在Rt△ADC中用勾股定理计算AD的长度即可。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=8，BC=6，AC=10，
则$AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ ABC=90°$。
2. 确定AC为圆的直径：
因为A、B、C、D都在圆上，$∠ ABC$是圆周角且$∠ ABC=90°$，
根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知AC是该圆的直径。
3. 判断△ADC为直角三角形：
根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ADC=90°$，即△ADC为直角三角形。
4. 计算AD的长度：
在Rt△ADC中，AC=10，CD=4，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。
【答案】$2\sqrt{21}$
【知识点】勾股定理逆定理；圆周角定理推论；勾股定理
【点评】本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的突破口是通过边长关系先判断出AC为圆的直径，再利用圆周角定理的推论得到直角三角形，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知AB=8，BC=6，AC=10，
则$AB^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$∠ ABC=90°$。
2. 确定AC为圆的直径：
因为A、B、C、D都在圆上，$∠ ABC$是圆周角且$∠ ABC=90°$，
根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可知AC是该圆的直径。
3. 判断△ADC为直角三角形：
根据“直径所对的圆周角是直角”，可得$∠ ADC=90°$，即△ADC为直角三角形。
4. 计算AD的长度：
在Rt△ADC中，AC=10，CD=4，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。
【答案】$2\sqrt{21}$
【知识点】勾股定理逆定理；圆周角定理推论；勾股定理
【点评】本题是圆与直角三角形结合的基础题，解题的突破口是通过边长关系先判断出AC为圆的直径，再利用圆周角定理的推论得到直角三角形，结合勾股定理即可求解。
【难度系数】0.7
4.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点.若$∠ CAB=50°$，则$∠ D$的度数为
$40°$
.答案
4.$40°$
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角的推论，可连接BC得到Rt△ABC，结合已知∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠D与∠ABC度数相等，即可得到结果。
【解析】
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠CAB=50°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-50°=40°，
∵∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠ABC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理及推论，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到AB是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角的推论，可连接BC得到Rt△ABC，结合已知∠CAB的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠ABC的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，可知∠D与∠ABC度数相等，即可得到结果。
【解析】
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠CAB=50°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-50°=40°，
∵∠D和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D=∠ABC=40°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理及推论，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，解题核心是熟练运用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，再结合同弧圆周角相等的性质求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，CD是$\odot O$的直径，点A，B都在$\odot O$上.若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$∠ AOC = 32°$，则$∠ D$的度数是
（第5题图）（第6题图）
$16°$
.（第5题图）（第6题图）
答案
5.$16°$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆圆的相关性质：首先等弧所对的圆心角相等，其次圆周角定理规定同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半。第一步先根据$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，推出两个弧对应的圆心角相等，得到$∠BOC$的度数；第二步找准$∠D$是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，结合圆周角定理即可计算出$∠D$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore ∠BOC=∠AOC=32°$（等弧所对的圆心角相等）
$\because ∠D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
$\therefore ∠D=\frac{1}{2}∠BOC$（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
$\therefore ∠D=\frac{1}{2}×32°=16°$
【答案】
$16°$
【知识点】
等弧的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础类题型，解题核心是准确找到圆周角对应的圆心角，熟练掌握圆周角定理即可快速得出结果，出错点通常是找错角对应的弧。
【难度系数】
0.85
解题时先结合已知条件回忆圆的相关性质：首先等弧所对的圆心角相等，其次圆周角定理规定同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半。第一步先根据$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，推出两个弧对应的圆心角相等，得到$∠BOC$的度数；第二步找准$∠D$是$\overset{\frown}{BC}$对应的圆周角，结合圆周角定理即可计算出$∠D$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore ∠BOC=∠AOC=32°$（等弧所对的圆心角相等）
$\because ∠D$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
$\therefore ∠D=\frac{1}{2}∠BOC$（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
$\therefore ∠D=\frac{1}{2}×32°=16°$
【答案】
$16°$
【知识点】
等弧的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础类题型，解题核心是准确找到圆周角对应的圆心角，熟练掌握圆周角定理即可快速得出结果，出错点通常是找错角对应的弧。
【难度系数】
0.85
6.如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上两点，BA平分$∠ CBD$.若$∠ AOD=50°$，则$∠ A$的度数为
$65°$
.答案
6.$65°$
解析
【分析】
解题先从已知圆心角∠AOD入手，利用同弧对应的圆周角是圆心角的一半求出∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后根据直径所对的圆周角为直角，可知△ACB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAB的度数。
【解析】
1.
∵∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理可得：
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$
2.
∵BA平分$∠ CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$
3.
∵AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$
4. 在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB+∠ ABC=90°$，因此：
$∠ CAB=90°-25°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和三角形基础知识点结合考查，解题的核心是熟练运用圆周角定理及其推论梳理角的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题先从已知圆心角∠AOD入手，利用同弧对应的圆周角是圆心角的一半求出∠ABD的度数；再结合角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后根据直径所对的圆周角为直角，可知△ACB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAB的度数。
【解析】
1.
∵∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠ABD是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理可得：
$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×50°=25°$
2.
∵BA平分$∠ CBD$，
∴$∠ ABC=∠ ABD=25°$
3.
∵AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$
4. 在$Rt△ ACB$中，$∠ CAB+∠ ABC=90°$，因此：
$∠ CAB=90°-25°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
圆周角定理，直角三角形性质，角平分线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和三角形基础知识点结合考查，解题的核心是熟练运用圆周角定理及其推论梳理角的数量关系。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AC为$\odot O$的直径，点B，D都在$\odot O$上，$∠ ADB=∠ CDB$，连接AB，BC.
(1)判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论.
(2)若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.
(1)判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论.
(2)若$AB=\sqrt{2}$，$AD=1$，求CD的长.
答案
7.【解】(1)△ABC 是等腰直角三角形.
证明:
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°.
∵∠ADB=∠CDB，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
∴AB=BC.
又∠ABC=90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC=AB=$\sqrt{2}$.
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$.
由题意知∠ADC=90°，
在Rt△ADC 中,AD=1,AC=2，
∴CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
证明:
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ABC=90°.
∵∠ADB=∠CDB，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
∴AB=BC.
又∠ABC=90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC 是等腰直角三角形，
∴BC=AB=$\sqrt{2}$.
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$.
由题意知∠ADC=90°，
在Rt△ADC 中,AD=1,AC=2，
∴CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，首先利用“直径所对的圆周角为直角”可证△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，根据“同圆中相等的圆周角所对的弧相等”可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，再由“等弧对等弦”得到AB=BC，即可判断三角形形状。
(2) 先由(1)的结论结合AB的长度，用勾股定理求出直径AC的长度；再根据“直径所对的圆周角为直角”得到∠ADC=90°，在Rt△ADC中已知AD、AC的长度，用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC为$\odot O$的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC，
又
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
(2) 由(1)知△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
∵AC为$\odot O$的直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
∴CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) △ABC是等腰直角三角形；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；勾股定理；弧、弦、圆周角的关系
【点评】
本题侧重对圆周角相关基础性质的考查，结合勾股定理进行计算，解题时要注意灵活运用直径所对圆周角为直角、等角对等弧等性质，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABC的形状，首先利用“直径所对的圆周角为直角”可证△ABC是直角三角形；再结合已知∠ADB=∠CDB，根据“同圆中相等的圆周角所对的弧相等”可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，再由“等弧对等弦”得到AB=BC，即可判断三角形形状。
(2) 先由(1)的结论结合AB的长度，用勾股定理求出直径AC的长度；再根据“直径所对的圆周角为直角”得到∠ADC=90°，在Rt△ADC中已知AD、AC的长度，用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
(1) △ABC是等腰直角三角形，证明如下：
∵AC为$\odot O$的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴AB=BC，
又
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
(2) 由(1)知△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，
∵AC为$\odot O$的直径，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，
∴CD=$\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) △ABC是等腰直角三角形；(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理及其推论；勾股定理；弧、弦、圆周角的关系
【点评】
本题侧重对圆周角相关基础性质的考查，结合勾股定理进行计算，解题时要注意灵活运用直径所对圆周角为直角、等角对等弧等性质，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦AC延长线上一点，$AC=CD$，DB的延长线交$\odot O$于点E，连接CE.
(1)求证：$∠ E=∠ D$.
(2)若$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，求$∠ E$的度数.
(1)求证：$∠ E=∠ D$.
(2)若$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$104°$，求$∠ E$的度数.
答案
8. (1)【证明】如图,连接 BC.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∴BC⊥AD.
又 AC=CD，
∴BA=BD.
∴∠A=∠D.
∵在⊙O 中,∠A 与∠E 所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠A=∠E.
∴∠E=∠D.
(2)【解】如图,连接 BC,OE.
∵$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为 104°，
∴∠AOE=104°.
∴∠ACE=52°.
∵∠ACE=∠CED+∠D,且∠CED=∠D，
∴∠CED=$\frac{1}{2}$∠ACE=26°.
解析
【分析】
(1) 要证∠E=∠D，可通过等量代换推导：首先利用直径所对圆周角为直角的性质，可得BC⊥AD，结合AC=CD可知BC是AD的垂直平分线，即可推出BA=BD，得到∠A=∠D；再根据同弧所对圆周角相等，可得∠A=∠E，最终即可证得∠E=∠D。
(2) 求∠E的度数时，先根据弧AE对应的圆心角为104°，由圆周角定理可得该弧对应的圆周角∠ACE的度数为圆心角的一半；再结合三角形外角性质，∠ACE是△CED的外角，等于∠E与∠D的和，结合(1)的结论∠E=∠D，即可求出∠E的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BC。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AD。
又
∵AC=CD，
∴BC垂直平分AD，
∴BA=BD，
∴∠A=∠D。
∵在$\odot O$中，∠A与∠E所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠A=∠E，
∴∠E=∠D。
(2) 解：如图，连接BC、OE。
∵$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为104°，
∴∠AOE=104°，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ AOE=52°$。
∵∠ACE是△CED的外角，
∴∠ACE=∠E+∠D，
又
∵∠E=∠D，
∴$∠ E=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
(1) ∠E=∠D得证；
(2) $∠ E=26°$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题关键是合理添加辅助线，通过角度的等量代换完成推导，能有效巩固圆周角定理、等腰三角形性质等核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠E=∠D，可通过等量代换推导：首先利用直径所对圆周角为直角的性质，可得BC⊥AD，结合AC=CD可知BC是AD的垂直平分线，即可推出BA=BD，得到∠A=∠D；再根据同弧所对圆周角相等，可得∠A=∠E，最终即可证得∠E=∠D。
(2) 求∠E的度数时，先根据弧AE对应的圆心角为104°，由圆周角定理可得该弧对应的圆周角∠ACE的度数为圆心角的一半；再结合三角形外角性质，∠ACE是△CED的外角，等于∠E与∠D的和，结合(1)的结论∠E=∠D，即可求出∠E的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接BC。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AD。
又
∵AC=CD，
∴BC垂直平分AD，
∴BA=BD，
∴∠A=∠D。
∵在$\odot O$中，∠A与∠E所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，
∴∠A=∠E，
∴∠E=∠D。
(2) 解：如图，连接BC、OE。
∵$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为104°，
∴∠AOE=104°，
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ AOE=52°$。
∵∠ACE是△CED的外角，
∴∠ACE=∠E+∠D，
又
∵∠E=∠D，
∴$∠ E=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×52°=26°$。
【答案】
(1) ∠E=∠D得证；
(2) $∠ E=26°$
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合基础题，解题关键是合理添加辅助线，通过角度的等量代换完成推导，能有效巩固圆周角定理、等腰三角形性质等核心知识点。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AD是$\odot O$的直径，点B，C都在圆上，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上。若$∠ PCB = 130°$，则$∠ PBA$的度数为（
A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
B
）A.$105°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$70°$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先从直径的性质入手，直径对应的半圆弧度数为180°，结合三段弧相等的条件先求出每段等弧的度数；再利用圆周角定理，即圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由已知的∠PCB的度数推导对应优弧的度数，反向求出劣弧的度数，逐步算出各段未知弧的度数，最后找到∠PBA所对应弧的度数，除以2即可得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵AD是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{ABD}$的度数为$180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\frac{180°}{3}=60°$。
∵$∠PCB=130°$，它是顶点在圆上的圆周角，所对的弧为优弧$\overset{\frown}{BP}$，
根据圆周角定理，优弧$\overset{\frown}{BP}$的度数$=2×130°=260°$，
∴劣弧$\overset{\frown}{BP}$的度数$=360°-260°=100°$。
∵劣弧$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CP}$，且$\overset{\frown}{BC}=60°$，
∴$\overset{\frown}{CP}=100°-60°=40°$，
∴$\overset{\frown}{PD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{CP}=60°-40°=20°$。
$∠PBA$为圆周角，所对的弧为经过点D的$\overset{\frown}{AP}$，
$\overset{\frown}{AP}$的度数$=\overset{\frown}{AD}$的度数$+\overset{\frown}{PD}$的度数$=180°+20°=200°$，
∴$∠PBA=\frac{1}{2}×200°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧与角的对应关系，直径的性质
【点评】
本题核心是对圆周角定理的灵活运用，解题时要注意区分钝角圆周角对应优弧、锐角圆周角对应劣弧的情况，理清各段弧之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
解题时先从直径的性质入手，直径对应的半圆弧度数为180°，结合三段弧相等的条件先求出每段等弧的度数；再利用圆周角定理，即圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由已知的∠PCB的度数推导对应优弧的度数，反向求出劣弧的度数，逐步算出各段未知弧的度数，最后找到∠PBA所对应弧的度数，除以2即可得到所求角的度数。
【解析】
解：
∵AD是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{ABD}$的度数为$180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\frac{180°}{3}=60°$。
∵$∠PCB=130°$，它是顶点在圆上的圆周角，所对的弧为优弧$\overset{\frown}{BP}$，
根据圆周角定理，优弧$\overset{\frown}{BP}$的度数$=2×130°=260°$，
∴劣弧$\overset{\frown}{BP}$的度数$=360°-260°=100°$。
∵劣弧$\overset{\frown}{BP}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CP}$，且$\overset{\frown}{BC}=60°$，
∴$\overset{\frown}{CP}=100°-60°=40°$，
∴$\overset{\frown}{PD}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{CP}=60°-40°=20°$。
$∠PBA$为圆周角，所对的弧为经过点D的$\overset{\frown}{AP}$，
$\overset{\frown}{AP}$的度数$=\overset{\frown}{AD}$的度数$+\overset{\frown}{PD}$的度数$=180°+20°=200°$，
∴$∠PBA=\frac{1}{2}×200°=100°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧与角的对应关系，直径的性质
【点评】
本题核心是对圆周角定理的灵活运用，解题时要注意区分钝角圆周角对应优弧、锐角圆周角对应劣弧的情况，理清各段弧之间的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
