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1. 如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连接OA，OB，OC.若$∠ AOB=40°$，$∠ OCA=30°$，则$∠ BCO$的度数为（
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
（第1题图）
（第2题图）
C
）A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先利用同圆半径相等的性质，得到等腰三角形△OAC和△OBC。首先在等腰△OAC中，根据已知底角∠OCA的度数求出顶角∠AOC的度数，再结合∠AOB的度数求出∠BOC的度数，最后在等腰△OBC中利用三角形内角和即可算出∠BCO的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA=30°
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
∵∠AOB=40°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵OB、OC均为⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠CBO
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.7
解题时先利用同圆半径相等的性质，得到等腰三角形△OAC和△OBC。首先在等腰△OAC中，根据已知底角∠OCA的度数求出顶角∠AOC的度数，再结合∠AOB的度数求出∠BOC的度数，最后在等腰△OBC中利用三角形内角和即可算出∠BCO的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴∠OAC=∠OCA=30°
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
∵∠AOB=40°
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°
又
∵OB、OC均为⊙O的半径
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠CBO
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.7
2.如图,点A,B,C都在$\odot O$上,$∠ BAC=50°$,则$∠ OBC=$
40
°.答案
2.40
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确∠BAC是弧BC所对的圆周角，要求的∠OBC在△OBC中。第一步根据圆周角定理，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第二步由OB、OC都是圆的半径，可得△OBC为等腰三角形，两个底角相等；最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°，
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先明确∠BAC是弧BC所对的圆周角，要求的∠OBC在△OBC中。第一步根据圆周角定理，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；第二步由OB、OC都是圆的半径，可得△OBC为等腰三角形，两个底角相等；最后结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°，
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
40
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题关键是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合等腰三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
【典型例题2】如图，AC为$\odot O$的直径，点B，D都在$\odot O$上，$∠ ABD=60°$，$CD=2$，连接AD，则AD的长为（）
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 4
【解析】$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$.
$\because ∠ ABD=60°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD=60°$.
$\therefore ∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$.
$\because CD=2$，
$\therefore AC=2CD=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
故选C.
【答案】C
A. 2
B. $2\sqrt{2}$
C. $2\sqrt{3}$
D. 4
【解析】$\because AC$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADC=90°$.
$\because ∠ ABD=60°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD=60°$.
$\therefore ∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$.
$\because CD=2$，
$\therefore AC=2CD=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.
故选C.
【答案】C
答案
解：
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$。
∵ $∠ ABD=60°$，且$∠ ABD$与$∠ ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴ $∠ ACD=∠ ABD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$。
∵ $CD=2$，
∴ $AC=2CD=4$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
故选C。
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$。
∵ $∠ ABD=60°$，且$∠ ABD$与$∠ ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴ $∠ ACD=∠ ABD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$。
∵ $CD=2$，
∴ $AC=2CD=4$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
故选C。
解析
【分析】
解题时先从已知条件“AC是⊙O的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得到△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°。接下来要求AD的长度，已知CD=2，需要先求出△ADC中其余的边或角：观察到∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠ABD=60°，进而求出∠DAC=30°，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长度，最后用勾股定理即可算出AD的长。
【解析】
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$。
∵ $∠ ABD=60°$，且$∠ ABD$与$∠ ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴ $∠ ACD=∠ ABD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$。
∵ $CD=2$，
∴ $AC=2CD=4$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中计算的基础常考题，解题的核心是通过同弧所对圆周角相等完成角的转化，再结合直径所对圆周角为直角构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解，思路较为固定。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“AC是⊙O的直径”入手，根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，可得到△ADC是直角三角形，即∠ADC=90°。接下来要求AD的长度，已知CD=2，需要先求出△ADC中其余的边或角：观察到∠ABD和∠ACD都是弧AD所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠ABD=60°，进而求出∠DAC=30°，再利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长度，最后用勾股定理即可算出AD的长。
【解析】
∵ AC为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADC=90°$。
∵ $∠ ABD=60°$，且$∠ ABD$与$∠ ACD$都是弧$AD$所对的圆周角，
∴ $∠ ACD=∠ ABD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-90°-60°=30°$。
∵ $CD=2$，
∴ $AC=2CD=4$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理推论，直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆中计算的基础常考题，解题的核心是通过同弧所对圆周角相等完成角的转化，再结合直径所对圆周角为直角构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解，思路较为固定。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB为$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。若$∠ CDB = 24°$，则$∠ ACD$的度数为
$66°$
。答案
3.$66°$
解析
【分析】
解题时可结合圆周角定理、垂径定理推论逐步推导：首先根据同弧所对圆周角相等，由已知的∠CDB求出同弧BC对应的圆周角∠CAB的度数；再利用直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，算出∠ABC的度数；接着由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，结合AB是直径，根据垂径定理推论可知AB垂直于弦CD，进而求出∠BCD的度数；最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数，也可通过弧的度数与圆周角的对应关系直接求解。
【解析】
解：
1. 由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠CDB和∠CAB，因此$∠ CAB = ∠ CDB = 24°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，故$∠ ACB = 90°$。在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC = 90° - ∠ CAB = 90° - 24° = 66°$。
3. 已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB为直径，根据垂径定理的推论：平分弧（非直径）的直径垂直于该弧所对的弦，可得$AB ⊥ CD$，即AB与CD的夹角为$90°$。
4. 在AB、CD、BC构成的直角三角形中，$∠ BCD = 90° - ∠ ABC = 90° - 66° = 24°$。
5. 因此$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 24° = 66°$。
（也可通过弧的度数直接计算：$∠ CDB=24°$，对应的$\overset{\frown}{BC}$度数为$2×24°=48°$，由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$得$\overset{\frown}{BD}=48°$，则$\overset{\frown}{AD}=180° - 48°=132°$，$∠ ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，故$∠ ACD=\frac{1}{2}×132°=66°$）
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，核心是建立角与弧的对应关系，结合直角三角形的角度计算即可求解，需要熟练掌握圆周角定理和垂径定理的相关推论。
【难度系数】
0.7
解题时可结合圆周角定理、垂径定理推论逐步推导：首先根据同弧所对圆周角相等，由已知的∠CDB求出同弧BC对应的圆周角∠CAB的度数；再利用直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，算出∠ABC的度数；接着由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，结合AB是直径，根据垂径定理推论可知AB垂直于弦CD，进而求出∠BCD的度数；最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数，也可通过弧的度数与圆周角的对应关系直接求解。
【解析】
解：
1. 由圆周角定理可知，同弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠CDB和∠CAB，因此$∠ CAB = ∠ CDB = 24°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，故$∠ ACB = 90°$。在$Rt△ ACB$中，$∠ ABC = 90° - ∠ CAB = 90° - 24° = 66°$。
3. 已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，AB为直径，根据垂径定理的推论：平分弧（非直径）的直径垂直于该弧所对的弦，可得$AB ⊥ CD$，即AB与CD的夹角为$90°$。
4. 在AB、CD、BC构成的直角三角形中，$∠ BCD = 90° - ∠ ABC = 90° - 66° = 24°$。
5. 因此$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 24° = 66°$。
（也可通过弧的度数直接计算：$∠ CDB=24°$，对应的$\overset{\frown}{BC}$度数为$2×24°=48°$，由$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$得$\overset{\frown}{BD}=48°$，则$\overset{\frown}{AD}=180° - 48°=132°$，$∠ ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，故$∠ ACD=\frac{1}{2}×132°=66°$）
【答案】
$66°$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，核心是建立角与弧的对应关系，结合直角三角形的角度计算即可求解，需要熟练掌握圆周角定理和垂径定理的相关推论。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D都在圆上，且$AC = CD$。若$∠ ABC = 32°$，则$∠ DAB$的度数为
$26°$
。答案
4.$26°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，看到AB是圆的直径，先联想到直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形，结合已知的∠ABC的度数即可算出∠BAC的度数；其次，已知AC=CD，根据同圆中相等的弦对应的劣弧相等，可得弧AC和弧CD相等，再根据等弧对应的圆周角相等，可推出∠CAD的度数；最后用∠BAC减去∠CAD就能得到∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=32°$，
∴$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-32°=58°$，
∵$AC=CD$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等），
∴$∠ CAD=∠ ABC=32°$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DAB=∠ BAC-∠ CAD=58°-32°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆周角定理及其推论；同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题属于圆周角相关的基础计算题，解题核心是熟练运用直径的性质、等弦对等弧、等弧对等圆周角的性质逐步推导，理清角与弧的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先，看到AB是圆的直径，先联想到直径所对的圆周角为直角，可得△ACB是直角三角形，结合已知的∠ABC的度数即可算出∠BAC的度数；其次，已知AC=CD，根据同圆中相等的弦对应的劣弧相等，可得弧AC和弧CD相等，再根据等弧对应的圆周角相等，可推出∠CAD的度数；最后用∠BAC减去∠CAD就能得到∠DAB的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=32°$，
∴$∠ BAC=90°-∠ ABC=90°-32°=58°$，
∵$AC=CD$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等），
∴$∠ CAD=∠ ABC=32°$（等弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DAB=∠ BAC-∠ CAD=58°-32°=26°$。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆周角定理及其推论；同圆中弦与弧的关系
【点评】
本题属于圆周角相关的基础计算题，解题核心是熟练运用直径的性质、等弦对等弧、等弧对等圆周角的性质逐步推导，理清角与弧的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
