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8.如图,已知AB,CD是⊙O的两条弦,且AB=CD.若∠BOD=84°,则∠ACO的度数是 (
A.42°
B.44°
C.46°
D.48°
D
)A.42°
B.44°
C.46°
D.48°
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先回忆圆的弧、弦、圆心角的关系：同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应相等的圆心角。首先由已知AB=CD推出弧AB=弧CD，两个弧同时减去公共弧BC，可得弧AC=弧BD，进而得到∠AOC=∠BOD；再结合OA、OC都是⊙O的半径，可知△AOC是等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理就能算出∠ACO的度数。
【解析】
∵ AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD
∴ 弧AB=弧CD（同圆中等弦对等弧）
∴ 弧AB - 弧BC = 弧CD - 弧BC，即弧AC=弧BD
∴ ∠AOC=∠BOD（同圆中等弧对等圆心角）
已知∠BOD=84°，则∠AOC=84°
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，△AOC为等腰三角形
∴ ∠OAC=∠ACO
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACO = (180° - ∠AOC)÷2 = (180° - 84°)÷2 = 48°
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础考题，解题核心是通过等弦推导等弧，进而得到对应圆心角的度数，考查的都是核心基础知识点，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆的弧、弦、圆心角的关系：同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应相等的圆心角。首先由已知AB=CD推出弧AB=弧CD，两个弧同时减去公共弧BC，可得弧AC=弧BD，进而得到∠AOC=∠BOD；再结合OA、OC都是⊙O的半径，可知△AOC是等腰三角形，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理就能算出∠ACO的度数。
【解析】
∵ AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD
∴ 弧AB=弧CD（同圆中等弦对等弧）
∴ 弧AB - 弧BC = 弧CD - 弧BC，即弧AC=弧BD
∴ ∠AOC=∠BOD（同圆中等弧对等圆心角）
已知∠BOD=84°，则∠AOC=84°
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，△AOC为等腰三角形
∴ ∠OAC=∠ACO
根据三角形内角和为180°，可得：
∠ACO = (180° - ∠AOC)÷2 = (180° - 84°)÷2 = 48°
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础考题，解题核心是通过等弦推导等弧，进而得到对应圆心角的度数，考查的都是核心基础知识点，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
9. AB,CD 是同圆的两段弧,且 AB=2CD,
则 AB 与 2CD 之间的关系为 (
A.AB=2CD
B.AB＜2CD
C.AB＞2CD
D.不能确定
则 AB 与 2CD 之间的关系为 (
B
)A.AB=2CD
B.AB＜2CD
C.AB＞2CD
D.不能确定
答案
9.B
解析
【分析】
要判断同圆中弧AB=2弧CD时弦AB和2CD的大小关系，可利用同圆中等弧对等弦的性质，将弧AB拆分为两段与弧CD相等的弧，得到对应的等弦，再借助三角形三边关系进行比较，注意不能直接认为弧长的倍数关系等同于弦长的倍数关系。
【解析】
在该圆中取弧AB的中点E，连接AE、BE。
∵ 弧AB=2弧CD，
∴ 弧AE=弧BE=弧CD，
根据同圆中等弧对等弦的性质，可得AE=BE=CD。
在△ABE中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得AE+BE＞AB，
将AE=BE=CD代入，得CD+CD＞AB，即2CD＞AB，也就是AB＜2CD。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题，解题关键是将弧的倍数关系转化为相等的弧，进而得到等弦，再结合三角形三边关系推导弦长的大小关系，需注意避免直接将弧长的倍数关系等同于弦长的倍数关系的错误。
【难度系数】
0.7
要判断同圆中弧AB=2弧CD时弦AB和2CD的大小关系，可利用同圆中等弧对等弦的性质，将弧AB拆分为两段与弧CD相等的弧，得到对应的等弦，再借助三角形三边关系进行比较，注意不能直接认为弧长的倍数关系等同于弦长的倍数关系。
【解析】
在该圆中取弧AB的中点E，连接AE、BE。
∵ 弧AB=2弧CD，
∴ 弧AE=弧BE=弧CD，
根据同圆中等弧对等弦的性质，可得AE=BE=CD。
在△ABE中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得AE+BE＞AB，
将AE=BE=CD代入，得CD+CD＞AB，即2CD＞AB，也就是AB＜2CD。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；三角形三边关系
【点评】
本题是圆中弦长比较的典型题，解题关键是将弧的倍数关系转化为相等的弧，进而得到等弦，再结合三角形三边关系推导弦长的大小关系，需注意避免直接将弧长的倍数关系等同于弦长的倍数关系的错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图，AB是$\odot O$的直径，$AC=CD=\overset{\frown}{BD}$，$CE⊥ AB$，垂足为E，连接DO，则$∠ ACE$的度数为
（第10题图）（第11题图）
30°
。（第10题图）（第11题图）
答案
10.30°
解析
【分析】
解题时首先从弧的等量关系入手：AB是圆的直径，对应半圆的总度数为180°，结合三段弧相等的条件可求出每段弧对应的圆心角度数。再连接OC构造圆心角，利用同圆半径相等可得△AOC为等边三角形，求出∠CAE的度数，最后结合CE⊥AB的垂直条件，在直角三角形中利用内角和即可求出∠ACE的度数。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
由题意得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴每段弧的度数为$180°÷3=60°$，即$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC=60°$，
又
∵OA=OC（同圆的半径相等），
∴$△ AOC$是等边三角形，
∴$∠ CAE=60°$，
∵CE⊥AB，
∴$∠ AEC=90°$，
在Rt$△ AEC$中，$∠ ACE=90°-∠ CAE=90°-60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；等边三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形知识结合的典型题，解题的关键是通过弧相等推导圆心角度数，利用等边三角形的性质简化角度计算，需熟练掌握圆的基本性质和特殊三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
解题时首先从弧的等量关系入手：AB是圆的直径，对应半圆的总度数为180°，结合三段弧相等的条件可求出每段弧对应的圆心角度数。再连接OC构造圆心角，利用同圆半径相等可得△AOC为等边三角形，求出∠CAE的度数，最后结合CE⊥AB的垂直条件，在直角三角形中利用内角和即可求出∠ACE的度数。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，
由题意得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴每段弧的度数为$180°÷3=60°$，即$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC=60°$，
又
∵OA=OC（同圆的半径相等），
∴$△ AOC$是等边三角形，
∴$∠ CAE=60°$，
∵CE⊥AB，
∴$∠ AEC=90°$，
在Rt$△ AEC$中，$∠ ACE=90°-∠ CAE=90°-60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
圆心角与弧的关系；等边三角形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础性质与三角形知识结合的典型题，解题的关键是通过弧相等推导圆心角度数，利用等边三角形的性质简化角度计算，需熟练掌握圆的基本性质和特殊三角形的判定定理。
【难度系数】
0.7
11.如图，在$\odot O$中，$AB=2AC$，且$AD⊥ OC$，垂足为$D$。若$AB=8$，$CD=2$，则$\odot O$的半径长为
5
。答案
11.5
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AD垂直于半径OC，可联想到垂径定理，因此延长AD交⊙O于点E，由垂径定理可得AD=DE，弧AC=弧CE，即弧AE=2弧AC。结合已知弧AB=2弧AC，可得弧AB=弧AE，根据等弧对等弦可知AB=AE，进而求出AD的长度。再设⊙O的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，最后在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长。
【解析】
解：延长AD交⊙O于点E。
∵AD⊥OC，OC为⊙O的半径，
∴由垂径定理得：$AD=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴$AB=AE=8$，
∴$AD=\frac{1}{2}AE=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$，
∵$CD=2$，
∴$OD=OC-CD=r-2$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
化简得：$4r=20$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题目，解题关键是通过作辅助线构造垂径定理的适用条件，结合等弧对等弦转化线段长度，再利用勾股定理建立方程求解，很好地考察了圆的基础性质和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AD垂直于半径OC，可联想到垂径定理，因此延长AD交⊙O于点E，由垂径定理可得AD=DE，弧AC=弧CE，即弧AE=2弧AC。结合已知弧AB=2弧AC，可得弧AB=弧AE，根据等弧对等弦可知AB=AE，进而求出AD的长度。再设⊙O的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，最后在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长。
【解析】
解：延长AD交⊙O于点E。
∵AD⊥OC，OC为⊙O的半径，
∴由垂径定理得：$AD=DE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴$AB=AE=8$，
∴$AD=\frac{1}{2}AE=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OC=r$，
∵$CD=2$，
∴$OD=OC-CD=r-2$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$，
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
化简得：$4r=20$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；弧弦关系；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题目，解题关键是通过作辅助线构造垂径定理的适用条件，结合等弧对等弦转化线段长度，再利用勾股定理建立方程求解，很好地考察了圆的基础性质和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$\odot O$中,$AB=AC$,OM 和 ON是$\odot O$的半径,且$OM⊥ AB$,$ON⊥ AC$,垂足分别为 D,E.
(1)求证:$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$.
(2)若$\odot O$的半径为 5,$AB=8$,求 EN的长.
(1)求证:$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$.
(2)若$\odot O$的半径为 5,$AB=8$,求 EN的长.
答案
12.(1)【证明】
∵在$\odot O$中,AB=AC,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.
∵$OM⊥AB$,$ON⊥AC$,
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$.
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$.
(2)【解】如图,连接OA.
∵在$\odot O$中,AC=AB=8,$ON⊥AC$,
∴$AE=\frac{1}{2}AC=4$.
∵OA=ON=5,
∴$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
∴$EN=5-3=2$.
解析
【分析】
(1) 要证$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，首先利用同圆中等弦对等弧的性质，由$AB=AC$得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，等量代换即可完成证明。
(2) 求$EN$的长时，观察可知$EN=ON-OE$，$ON$是半径为已知量，因此只需计算$OE$的长度。连接$OA$后，根据垂径定理可求出$AE=\frac{1}{2}AC=4$，在$Rt△ OAE$中利用勾股定理算出$OE$，代入$EN=ON-OE$即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵在$\odot O$中，$AB=AC$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
∵$OM⊥AB$，$ON⊥AC$，$OM$、$ON$均为$\odot O$的半径，
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
(2) 解：
如图，连接$OA$。
∵在$\odot O$中，$AC=AB=8$，$ON⊥AC$，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=4$。
∵$OA=ON=5$，
∴在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$EN=ON-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$得证；
(2) $EN=2$，辅助线如图：
【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，第一问依托同圆中弦与弧的对应关系和垂径定理证明弧相等，是圆内弧相等证明的常见思路；第二问将垂径定理与勾股定理结合求解线段长度，是圆中计算类题目的常规考法，扎实掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要证$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，首先利用同圆中等弦对等弧的性质，由$AB=AC$得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，可得$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$，等量代换即可完成证明。
(2) 求$EN$的长时，观察可知$EN=ON-OE$，$ON$是半径为已知量，因此只需计算$OE$的长度。连接$OA$后，根据垂径定理可求出$AE=\frac{1}{2}AC=4$，在$Rt△ OAE$中利用勾股定理算出$OE$，代入$EN=ON-OE$即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵在$\odot O$中，$AB=AC$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$。
∵$OM⊥AB$，$ON⊥AC$，$OM$、$ON$均为$\odot O$的半径，
∴$\overset{\frown}{BM}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CN}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$。
∴$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$。
(2) 解：
如图，连接$OA$。
∵在$\odot O$中，$AC=AB=8$，$ON⊥AC$，
∴$AE=\frac{1}{2}AC=4$。
∵$OA=ON=5$，
∴在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴$EN=ON-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$得证；
(2) $EN=2$，辅助线如图：
【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，第一问依托同圆中弦与弧的对应关系和垂径定理证明弧相等，是圆内弧相等证明的常见思路；第二问将垂径定理与勾股定理结合求解线段长度，是圆中计算类题目的常规考法，扎实掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
13.如图，AB是$\odot O$的一条弦，$OD⊥ AB$，垂足为C，OD交$\odot O$于点D，点E在$\odot O$上，连接DE.
(1)若B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，求证：$AB=DE$.
(2)若$CD=2$，$AB=12$，求$\odot O$的半径长.
(1)若B是$\overset{\frown}{DE}$的中点，求证：$AB=DE$.
(2)若$CD=2$，$AB=12$，求$\odot O$的半径长.
答案
13.(1)【证明】
∵在$\odot O$中,$OD⊥AB$,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
∵B是$\overset{\frown}{DE}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$.
∴$AB=DE$.
(2)【解】如图,连接OA.
设$\odot O$的半径长为r.
∵CD=2,
∴$OC=OD-CD=r-2$.
∵$OD⊥AB$,$AB=12$,
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=6$.
∵在$\mathrm{Rt}△AOC$中,$OA^2=AC^2+OC^2$,
∴$r^2=6^2+(r-2)^2$.
解得$r=10$.
∴$\odot O$的半径长为10.
解析
【分析】
(1)要证明同圆中两条弦相等，可转化为证明两条弦所对的弧相等：先根据垂径定理，由$OD⊥AB$得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，再结合B是$\overset{\frown}{DE}$的中点得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，通过等量代换推导出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，即可得到弦相等的结论。
(2)求圆的半径可结合垂径定理和勾股定理求解：先连接OA构造直角三角形，设半径为r，用含r的式子表示OC的长度，再根据垂径定理求出AC的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)【证明】
∵在$\odot O$中,$OD⊥AB$,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
∵B是$\overset{\frown}{DE}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$.
∴$AB=DE$.
(2)【解】如图,连接OA.
设$\odot O$的半径长为r.
∵CD=2,
∴$OC=OD-CD=r-2$.
∵$OD⊥AB$,$AB=12$,
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=6$.
∵在$\mathrm{Rt}△AOC$中,$OA^2=AC^2+OC^2$,
∴$r^2=6^2+(r-2)^2$.
解得$r=10$.
∴$\odot O$的半径长为10.
【答案】
(1)已证得$AB=DE$；
(2)$\odot O$的半径长为$\boxed{10}$，辅助线如图：
【知识点】
垂径定理；弧与弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，第一小问利用同圆中弧和弦的对应关系完成证明，第二小问结合垂径定理和方程思想，将几何问题转化为一元一次方程求解，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要证明同圆中两条弦相等，可转化为证明两条弦所对的弧相等：先根据垂径定理，由$OD⊥AB$得到$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，再结合B是$\overset{\frown}{DE}$的中点得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，通过等量代换推导出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，即可得到弦相等的结论。
(2)求圆的半径可结合垂径定理和勾股定理求解：先连接OA构造直角三角形，设半径为r，用含r的式子表示OC的长度，再根据垂径定理求出AC的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)【证明】
∵在$\odot O$中,$OD⊥AB$,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
∵B是$\overset{\frown}{DE}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$.
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}+\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$.
∴$AB=DE$.
(2)【解】如图,连接OA.
设$\odot O$的半径长为r.
∵CD=2,
∴$OC=OD-CD=r-2$.
∵$OD⊥AB$,$AB=12$,
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=6$.
∵在$\mathrm{Rt}△AOC$中,$OA^2=AC^2+OC^2$,
∴$r^2=6^2+(r-2)^2$.
解得$r=10$.
∴$\odot O$的半径长为10.
【答案】
(1)已证得$AB=DE$；
(2)$\odot O$的半径长为$\boxed{10}$，辅助线如图：
【知识点】
垂径定理；弧与弦的关系；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，第一小问利用同圆中弧和弦的对应关系完成证明，第二小问结合垂径定理和方程思想，将几何问题转化为一元一次方程求解，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在$\odot O$中,C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,弦CM交半径OA于点D,弦CN交半径OB于点E,连接OC,OM,ON.已知$AD=BE$.求证:
(1)$∠ CDO=∠ CEO$.
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1)$∠ CDO=∠ CEO$.
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
14.【证明】(1)
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴$∠COD=∠COE$.
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
在$△ COD$和$△ COE$中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴$△ COD≌△ COE(\mathrm{SAS})$.
∴$∠CDO=∠CEO$.
(2)由(1)可知$△ COD≌△ COE$,
∴$∠CDO=∠CEO$,$∠OCD=∠OCE$.
∵OC=OM=ON,
∴$∠OCM=∠OMC$,$∠OCN=∠ONC$.
∴$∠OMC=∠ONC$.
∵$∠CDO = ∠OMC + ∠MOD$,$∠CEO = ∠ONC+∠NOE$,
∴$∠MOD=∠NOE$.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.
∴$∠COD=∠COE$.
∵OA=OB,AD=BE,
∴OD=OE.
在$△ COD$和$△ COE$中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴$△ COD≌△ COE(\mathrm{SAS})$.
∴$∠CDO=∠CEO$.
(2)由(1)可知$△ COD≌△ COE$,
∴$∠CDO=∠CEO$,$∠OCD=∠OCE$.
∵OC=OM=ON,
∴$∠OCM=∠OMC$,$∠OCN=∠ONC$.
∴$∠OMC=∠ONC$.
∵$∠CDO = ∠OMC + ∠MOD$,$∠CEO = ∠ONC+∠NOE$,
∴$∠MOD=∠NOE$.
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
解析
【分析】
(1) 要证∠CDO=∠CEO，可通过证明包含这两个角的△COD和△COE全等来推导。首先由C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，可得等弧对应的圆心角相等，即∠COD=∠COE；再结合OA、OB是半径长度相等，已知AD=BE，可推出OD=OE，加上公共边OC=OC，即可用SAS判定两三角形全等，得到对应角相等。
(2) 要证$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据同圆中弧相等等价于对应圆心角相等，只需证明∠AOM=∠BON。由(1)的全等可得∠OCD=∠OCE，再结合OC=OM=ON，利用等腰三角形等边对等角的性质推出∠OMC=∠ONC；最后结合三角形外角的性质，利用∠CDO=∠CEO即可推导出∠MOD=∠NOE，得到对应弧相等。
【解析】
(1) 证明：
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠COD=∠COE$。
∵OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴OA=OB，
又
∵AD=BE，
∴OA-AD=OB-BE，即$OD=OE$。
在$△ COD$和$△ COE$中：
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴$△ COD≌△ COE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠CDO=∠CEO$。
(2) 证明：
由(1)得$△ COD≌△ COE$，
∴$∠OCD=∠OCE$。
∵OC、OM、ON均为$\odot O$的半径，
∴OC=OM=ON，
∴$∠OCM=∠OMC$，$∠OCN=∠ONC$，
∴$∠OMC=∠ONC$。
根据三角形外角性质可得：
$∠CDO = ∠OMC + ∠MOD$，$∠CEO = ∠ONC+∠NOE$，
又
∵$∠CDO=∠CEO$，$∠OMC=∠ONC$，
∴$∠MOD=∠NOE$，即$∠AOM=∠BON$，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CDO=∠CEO}$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}}$，证明成立。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了圆的基本性质、全等三角形、等腰三角形及三角形外角的相关知识，解题核心是通过等弧推导等角，再借助全等转化角的关系，熟练掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证∠CDO=∠CEO，可通过证明包含这两个角的△COD和△COE全等来推导。首先由C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，可得等弧对应的圆心角相等，即∠COD=∠COE；再结合OA、OB是半径长度相等，已知AD=BE，可推出OD=OE，加上公共边OC=OC，即可用SAS判定两三角形全等，得到对应角相等。
(2) 要证$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$，根据同圆中弧相等等价于对应圆心角相等，只需证明∠AOM=∠BON。由(1)的全等可得∠OCD=∠OCE，再结合OC=OM=ON，利用等腰三角形等边对等角的性质推出∠OMC=∠ONC；最后结合三角形外角的性质，利用∠CDO=∠CEO即可推导出∠MOD=∠NOE，得到对应弧相等。
【解析】
(1) 证明：
∵C是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠COD=∠COE$。
∵OA、OB均为$\odot O$的半径，
∴OA=OB，
又
∵AD=BE，
∴OA-AD=OB-BE，即$OD=OE$。
在$△ COD$和$△ COE$中：
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠COD=∠COE, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴$△ COD≌△ COE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠CDO=∠CEO$。
(2) 证明：
由(1)得$△ COD≌△ COE$，
∴$∠OCD=∠OCE$。
∵OC、OM、ON均为$\odot O$的半径，
∴OC=OM=ON，
∴$∠OCM=∠OMC$，$∠OCN=∠ONC$，
∴$∠OMC=∠ONC$。
根据三角形外角性质可得：
$∠CDO = ∠OMC + ∠MOD$，$∠CEO = ∠ONC+∠NOE$，
又
∵$∠CDO=∠CEO$，$∠OMC=∠ONC$，
∴$∠MOD=∠NOE$，即$∠AOM=∠BON$，
∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CDO=∠CEO}$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}}$，证明成立。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，结合了圆的基本性质、全等三角形、等腰三角形及三角形外角的相关知识，解题核心是通过等弧推导等角，再借助全等转化角的关系，熟练掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
