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1. 如图，正方形ABCD的外接圆为$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{CD}$上（不与点C重合），则$∠ BPC$的度数是
45°
.若$\odot O$的半径为8，则正方形ABCD的边长为8√2
.答案
1. $45°$ $8\sqrt{2}$
解析
【分析】
第一问求∠BPC的度数：首先利用正多边形的中心角计算公式，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得到∠BPC的度数。第二问求正方形边长：明确正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，已知圆的半径可得直径，再结合勾股定理计算正方形的边长即可。
【解析】
1. 计算∠BPC的度数：
连接OB、OC，
∵正方形ABCD是$\odot O$的内接正四边形，
∴正四边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠BPC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
2. 计算正方形ABCD的边长：
已知$\odot O$的半径为8，则外接圆直径为$2×8=16$，即正方形的对角线长度为16。
设正方形边长为$a$，由勾股定理得：$a^2+a^2=16^2$，
整理得$2a^2=256$，即$a^2=128$，解得$a=8\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
$45°$；$8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆的性质；勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的核心是掌握正多边形中心角的计算方法，以及正多边形外接圆和正多边形边长、对角线的对应关系，熟练运用圆周角定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
第一问求∠BPC的度数：首先利用正多边形的中心角计算公式，先求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得到∠BPC的度数。第二问求正方形边长：明确正方形外接圆的直径等于正方形的对角线长度，已知圆的半径可得直径，再结合勾股定理计算正方形的边长即可。
【解析】
1. 计算∠BPC的度数：
连接OB、OC，
∵正方形ABCD是$\odot O$的内接正四边形，
∴正四边形的中心角$∠ BOC=\frac{360°}{4}=90°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠BPC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠BOC是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，
∴$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×90°=45°$。
2. 计算正方形ABCD的边长：
已知$\odot O$的半径为8，则外接圆直径为$2×8=16$，即正方形的对角线长度为16。
设正方形边长为$a$，由勾股定理得：$a^2+a^2=16^2$，
整理得$2a^2=256$，即$a^2=128$，解得$a=8\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
$45°$；$8\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆的性质；勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题的核心是掌握正多边形中心角的计算方法，以及正多边形外接圆和正多边形边长、对角线的对应关系，熟练运用圆周角定理和勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
【典型例题2】用圆规和量角器等分圆周,画$\odot O$的内接正八边形.(保留用圆规作图的痕迹,不写作法)
【解】如图,正八边形ABCDEFGH即为所求.
规律方法 等分圆周作正多边形的方法:
(1)只用量角器:用量角器把$360°$的圆心角$n$等分,相应地,圆周也被$n$等分,顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(2)用量角器和圆规:先用量角器画一个$\frac{360°}{n}$的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的$n$个等分点,再顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(3)用直尺和圆规:用直尺和圆规等分圆周,可以作正六边形、正方形等特殊的正多边形.
【解】如图,正八边形ABCDEFGH即为所求.
规律方法 等分圆周作正多边形的方法:
(1)只用量角器:用量角器把$360°$的圆心角$n$等分,相应地,圆周也被$n$等分,顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(2)用量角器和圆规:先用量角器画一个$\frac{360°}{n}$的圆心角,它对着一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,就得到圆的$n$个等分点,再顺次连接各分点,即可得到正$n$边形.
(3)用直尺和圆规:用直尺和圆规等分圆周,可以作正六边形、正方形等特殊的正多边形.
答案
解：
如图，正八边形ABCDEFGH即为所求。
（作图说明：先用量角器在圆心O处依次画出8个45°的圆心角，得到圆周上8个等分点，用圆规依次截取等弧保留作图痕迹，顺次连接8个分点，得到⊙O的内接正八边形。）
如图，正八边形ABCDEFGH即为所求。
（作图说明：先用量角器在圆心O处依次画出8个45°的圆心角，得到圆周上8个等分点，用圆规依次截取等弧保留作图痕迹，顺次连接8个分点，得到⊙O的内接正八边形。）
解析
【分析】
要画$\odot O$的内接正八边形，需结合正多边形与圆的关系思考：同圆内相等的圆心角所对的弧、弦都相等，正八边形的8个中心角总和为$360°$，因此每个中心角为$360°÷8=45°$。结合题目给出的圆规和量角器工具，解题思路为：先计算正八边形的中心角度数，再用量角器画出第一个$45°$圆心角得到初始分点，用圆规依次截取等长的弧得到全部8个等分点，最后顺次连接各分点即可得到所求正八边形。
【解析】
1. 计算正八边形的中心角：$\dfrac{360°}{8}=45°$，即圆周每一等分对应的圆心角为$45°$；
2. 用量角器以圆心$O$为顶点，任意画出一个$45°$的圆心角，角的两边与$\odot O$交于两点，得到第一段等弧的两个端点；
3. 用圆规量取该$45°$圆心角所对弧的弦长，从交点开始在圆周上依次截取7次，总共得到8个圆周等分点；
4. 按顺序顺次连接这8个等分点，保留所有作图痕迹，所得图形就是$\odot O$的内接正八边形。
【答案】
如图，正八边形ABCDEFGH即为所求。
（作图说明：先用量角器在圆心O处依次画出8个45°的圆心角，得到圆周上8个等分点，用圆规依次截取等弧保留作图痕迹，顺次连接8个分点，得到⊙O的内接正八边形。）
【知识点】
1. 正多边形与圆的关系
2. 等分圆周作图
3. 正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础作图类题型，重点考察对正多边形和圆对应关系的理解，要求熟练掌握正多边形中心角的计算方法，以及量角器、圆规的基本作图操作，是正多边形相关作图的基础题型。
【难度系数】
0.8
要画$\odot O$的内接正八边形，需结合正多边形与圆的关系思考：同圆内相等的圆心角所对的弧、弦都相等，正八边形的8个中心角总和为$360°$，因此每个中心角为$360°÷8=45°$。结合题目给出的圆规和量角器工具，解题思路为：先计算正八边形的中心角度数，再用量角器画出第一个$45°$圆心角得到初始分点，用圆规依次截取等长的弧得到全部8个等分点，最后顺次连接各分点即可得到所求正八边形。
【解析】
1. 计算正八边形的中心角：$\dfrac{360°}{8}=45°$，即圆周每一等分对应的圆心角为$45°$；
2. 用量角器以圆心$O$为顶点，任意画出一个$45°$的圆心角，角的两边与$\odot O$交于两点，得到第一段等弧的两个端点；
3. 用圆规量取该$45°$圆心角所对弧的弦长，从交点开始在圆周上依次截取7次，总共得到8个圆周等分点；
4. 按顺序顺次连接这8个等分点，保留所有作图痕迹，所得图形就是$\odot O$的内接正八边形。
【答案】
如图，正八边形ABCDEFGH即为所求。
（作图说明：先用量角器在圆心O处依次画出8个45°的圆心角，得到圆周上8个等分点，用圆规依次截取等弧保留作图痕迹，顺次连接8个分点，得到⊙O的内接正八边形。）
【知识点】
1. 正多边形与圆的关系
2. 等分圆周作图
3. 正多边形中心角计算
【点评】
本题属于基础作图类题型，重点考察对正多边形和圆对应关系的理解，要求熟练掌握正多边形中心角的计算方法，以及量角器、圆规的基本作图操作，是正多边形相关作图的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知$\odot O$和$\odot O$上的一点A，用直尺和圆规作$\odot O$的内接正八边形，使点A为它的一个顶点.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
2.【解】如图,正八边形ABCDEFGH即为所求。
解析
【分析】
要作$\odot O$的内接正八边形，本质是将$\odot O$的圆周8等分：正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，可按以下思路操作：第一步作过点A的直径，将圆二等分；第二步作该直径的垂直平分线，得到互相垂直的两条直径，将圆四等分，此时每个中心角为$90°$；第三步将每个$90°$的圆心角平分，得到$45°$的圆心角，对应的圆周分点就是正八边形的顶点，最后顺次连接所有分点即可得到点A为顶点的正八边形。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 连接AO并延长，交$\odot O$于点E，得到直径AE；
2. 作线段AE的垂直平分线，交$\odot O$于C、G两点，此时AE⊥CG，$\odot O$被四等分，分点为A、C、E、G；
3. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$的角平分线，交$\odot O$于点B、D；
4. 分别延长BO、DO，交$\odot O$于点H、F；
5. 顺次连接A、B、C、D、E、F、G、H，所得八边形即为所求$\odot O$的内接正八边形。
【答案】
如图,正八边形ABCDEFGH即为所求。
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，圆心角定理
【点评】
本题考查正多边形与圆的对应关系，作图核心是利用正八边形中心角为$45°$的特点，通过先四等分圆、再平分每段弧的方式实现八等分圆，需要熟练掌握尺规作垂直平分线、角平分线的基本操作，锻炼动手实践能力。
【难度系数】
0.7
要作$\odot O$的内接正八边形，本质是将$\odot O$的圆周8等分：正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，可按以下思路操作：第一步作过点A的直径，将圆二等分；第二步作该直径的垂直平分线，得到互相垂直的两条直径，将圆四等分，此时每个中心角为$90°$；第三步将每个$90°$的圆心角平分，得到$45°$的圆心角，对应的圆周分点就是正八边形的顶点，最后顺次连接所有分点即可得到点A为顶点的正八边形。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 连接AO并延长，交$\odot O$于点E，得到直径AE；
2. 作线段AE的垂直平分线，交$\odot O$于C、G两点，此时AE⊥CG，$\odot O$被四等分，分点为A、C、E、G；
3. 分别作$∠ AOC$、$∠ COE$的角平分线，交$\odot O$于点B、D；
4. 分别延长BO、DO，交$\odot O$于点H、F；
5. 顺次连接A、B、C、D、E、F、G、H，所得八边形即为所求$\odot O$的内接正八边形。
【答案】
如图,正八边形ABCDEFGH即为所求。
【知识点】
正多边形与圆，尺规作图，圆心角定理
【点评】
本题考查正多边形与圆的对应关系，作图核心是利用正八边形中心角为$45°$的特点，通过先四等分圆、再平分每段弧的方式实现八等分圆，需要熟练掌握尺规作垂直平分线、角平分线的基本操作，锻炼动手实践能力。
【难度系数】
0.7
1.正十边形的每个中心角的度数都是（
A.$72°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$18°$
B
）A.$72°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$18°$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算正十边形的每个中心角度数，首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的中心角是以其外接圆圆心为顶点，连接相邻两个顶点形成的角，正n边形共有n个大小完全相等的中心角，且所有中心角的和恰好等于周角360°，因此只需用周角总度数除以正多边形的边数，即可求出单个中心角的度数。
【解析】
解：已知正多边形的所有中心角之和为360°，且正n边形的每个中心角度数相等，可得公式：
正n边形每个中心角的度数 = $\frac{360°}{n}$
本题中是正十边形，即边数$n=10$，代入公式得：
每个中心角的度数 = $\frac{360°}{10}=36°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题是基础类题型，主要考查正多边形中心角的计算方法，牢记计算公式即可快速求解，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
要计算正十边形的每个中心角度数，首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的中心角是以其外接圆圆心为顶点，连接相邻两个顶点形成的角，正n边形共有n个大小完全相等的中心角，且所有中心角的和恰好等于周角360°，因此只需用周角总度数除以正多边形的边数，即可求出单个中心角的度数。
【解析】
解：已知正多边形的所有中心角之和为360°，且正n边形的每个中心角度数相等，可得公式：
正n边形每个中心角的度数 = $\frac{360°}{n}$
本题中是正十边形，即边数$n=10$，代入公式得：
每个中心角的度数 = $\frac{360°}{10}=36°$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形中心角计算；正多边形与圆
【点评】
本题是基础类题型，主要考查正多边形中心角的计算方法，牢记计算公式即可快速求解，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$.若$\odot O$的周长是$12π$，则点F到BC的距离是（
A.$3$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6$
D.$6\sqrt{3}$
D
）A.$3$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6$
D.$6\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先从已知的圆周长入手，先计算出外接圆的半径；再利用正六边形的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，相邻顶点与中心的夹角（中心角）为60°，且对边互相平行；可知点F到BC的距离就是正六边形一组平行对边之间的距离，等于2倍的正六边形边心距，最后通过解直角三角形求出边心距即可得到最终结果。
【解析】
解：①求$\odot O$的半径：
已知$\odot O$的周长为$12π$，由圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=12π$，解得$r=6$，即$\odot O$的半径为6。
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，因此正六边形的边长等于外接圆半径，各边长均为6，每个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
②求正六边形的边心距：
过点O作$OH⊥ BC$于点H，$△ OBC$是边长为6的等边三角形，在$Rt△ OBH$中：
$OH=OB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，即正六边形的边心距为$3\sqrt{3}$。
③求点F到BC的距离：
正六边形对边平行，即$FE// BC$，点F到BC的距离等于FE与BC两条平行线之间的距离，等于2倍的边心距：
距离$=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆的周长计算，解直角三角形
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型基础题，解题核心是熟练掌握正六边形的特殊性质，结合圆的周长公式和解直角三角形的相关知识即可快速求解，考查学生对基础图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的圆周长入手，先计算出外接圆的半径；再利用正六边形的性质：正六边形的边长等于外接圆半径，相邻顶点与中心的夹角（中心角）为60°，且对边互相平行；可知点F到BC的距离就是正六边形一组平行对边之间的距离，等于2倍的正六边形边心距，最后通过解直角三角形求出边心距即可得到最终结果。
【解析】
解：①求$\odot O$的半径：
已知$\odot O$的周长为$12π$，由圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=12π$，解得$r=6$，即$\odot O$的半径为6。
正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，因此正六边形的边长等于外接圆半径，各边长均为6，每个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
②求正六边形的边心距：
过点O作$OH⊥ BC$于点H，$△ OBC$是边长为6的等边三角形，在$Rt△ OBH$中：
$OH=OB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，即正六边形的边心距为$3\sqrt{3}$。
③求点F到BC的距离：
正六边形对边平行，即$FE// BC$，点F到BC的距离等于FE与BC两条平行线之间的距离，等于2倍的边心距：
距离$=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆的性质，圆的周长计算，解直角三角形
【点评】
本题是正多边形与圆结合的典型基础题，解题核心是熟练掌握正六边形的特殊性质，结合圆的周长公式和解直角三角形的相关知识即可快速求解，考查学生对基础图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
