3.如图，点A，B，C，D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的中心. 若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为.

3.9

【分析】
解题时首先回忆正多边形的性质：正多边形的所有中心角都相等，且所有中心角的和为360°。先观察已知角∠AOD的组成：该角是由3个相邻的正多边形中心角相加得到的，因此可以先求出单个中心角的度数，再根据中心角和为360°计算正多边形的边数。
【解析】
设该正多边形的中心角为$α$，边数为$n$。
由图可知，∠AOD由3个相等的中心角构成，因此：
$3α = ∠ AOD = 120°$
解得$α = 40°$
又因为正多边形所有中心角的和为$360°$，即$nα = 360°$，代入$α=40°$得：
$n = \frac{360°}{40°} = 9$
【答案】
9
【知识点】
正多边形的性质；中心角计算
【点评】
本题考查正多边形和中心角的相关计算，解题的核心是掌握正多边形中心角相等、所有中心角和为360°的性质，结合图形判断已知角包含的中心角个数即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

4.如图,点A是$\odot O$上一点.请利用直尺和圆规画出$\odot O$的内接正三角形ABC.(保留作图痕迹,不写作法)

4.【解】如图,$△ ABC$即为所求。

【分析】
要绘制⊙O的内接正三角形ABC，核心是将圆周三等分，使每段弧对应的圆心角为360°÷3=120°。思考步骤：① 回忆圆的性质：同圆中，长度等于半径的弦所对的圆心角为60°，因此两次连续截取等半径的弦，对应的总圆心角就是120°，正好对应正三角形一条边所对的弧；② 以点A为起点，用圆规取⊙O的半径为固定长度，在圆周上依次截取等长的弧，得到另外两个三等分点B、C；③ 顺次连接A、B、C三点，即可得到所求的内接正三角形。
【解析】
作图依据：圆内接正三角形的三个顶点将圆周三等分，每段弧的度数为120°，同圆中相等的弧对应的弦相等。
作图逻辑：首先以点A为圆心，⊙O的半径长为半径画弧，与⊙O交于两个交点；再以其中一个交点为圆心，保持半径长度不变继续画弧，依次操作得到圆周上与A点间隔120°弧的两个点B、C；最后顺次连接AB、BC、CA，保留所有作图的弧痕迹，得到的△ABC即为所求。
【答案】

【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、弧弦圆心角关系
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对圆内接正多边形性质的应用能力，熟练掌握圆的基本性质和尺规作图的基本操作是正确解题的核心。
【难度系数】
0.8

5. 如图，正八边形的对角线AB，CD相交于点E.若正八边形的边长为4，则线段AB的长为（）

A.$6\sqrt{2}$
B.$4+2\sqrt{2}$
C.$4+4\sqrt{2}$
D.12

5.C

【分析】
要计算线段AB的长，首先需要明确正八边形的内角特征，再分析AB的构成：首先计算正八边形的每个内角度数，可发现AB两端与正八边形的边围成的是等腰直角三角形，斜边等于正八边形的边长，我们可以先求出等腰直角三角形的直角边长度，再结合AB中间部分等于正八边形的边长，将三部分长度相加即可得到AB的总长。
【解析】
解：第一步，计算正八边形的内角度数：
正多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，代入$n=8$得内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
因此正八边形每个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
第二步，分析AB两端的三角形特征：
由图形可知，AB与正八边形相邻边的夹角为$135°-90°=45°$，因此AB两端的三角形均为斜边长等于正八边形边长4的等腰直角三角形。
第三步，计算等腰直角三角形的直角边长度：
设直角边长为$x$，由勾股定理得$x^2+x^2=4^2$，
解得$x=2\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
第四步，计算AB的总长：
AB中间线段的长度等于正八边形的边长4，因此$AB=2\sqrt{2}+4+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、等腰直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题将正多边形性质和特殊三角形计算结合，解题的关键是合理拆分所求线段，把未知长度转化为已知边长的三角形边和正多边形边长的和，是正多边形相关的典型应用题。
【难度系数】
0.6

6.如图，$\odot O$的直径为20，根据八个方位将圆八等分.过点E作$\odot O$的切线，与AG的延长线相交于点M，连接AE，EG.
(1)相邻两个方位之间的弧所对的圆心角的度数为.
(2)求AG的长.
(3)求线段ME与EG的长.

6.【解】(1)$45°$
(2)$\because AE$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AGE=90°$.
$\because \overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{EG}$，
$\therefore AG=EG$.
在$\mathrm{Rt}△ AGE$ 中, 根据勾股定理, 得 $AG^2 + EG^2=AE^2$.
$\therefore AG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}× 20=10\sqrt{2}$.
(3)$\because ME$ 为 $\odot O$ 的切线，
$\therefore ∠ AEM=90°$.
由(2)可知$∠ AGE=90°,EG=AG=10\sqrt{2}$.
$\therefore ∠ GAE=45°$.
$\therefore ∠ M=180°-90°-45°=45°$.
$\therefore ME=AE=20$.

【分析】
(1) 整个圆周对应的圆心角为360°，题目将圆八等分，相邻两个方位的弧对应的圆心角就是360°除以等分份数，直接计算即可。
(2) 首先AE是圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，可得∠AGE=90°；再结合八等分的条件，弧AG和弧EG相等，对应弦AG=EG，即△AGE是等腰直角三角形，已知直径长度，用勾股定理即可求出AG的长。
(3) 根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得∠AEM=90°；由(2)可知∠GAE=45°，可推出△AEM是等腰直角三角形，即可得到ME的长度，EG的长度可由(2)的结论直接得到。
【解析】
(1) 圆周对应的圆心角为360°，将圆八等分，相邻两个方位的弧所对的圆心角度数为：$360°÷8=45°$。
(2) $\because AE$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AGE=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
$\because$圆被八等分，$\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{EG}$，
$\therefore AG=EG$，即$\mathrm{Rt}△ AGE$为等腰直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AGE$中，由勾股定理得$AG^2+EG^2=AE^2$，代入$AE=20$，$AG=EG$，
得$2AG^2=20^2$，解得$AG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}×20=10\sqrt{2}$。
(3) $\because ME$为$\odot O$的切线，E为切点，
$\therefore ∠ AEM=90°$（切线垂直于过切点的半径）。
由(2)可知$∠ GAE=45°$，
在$△ AEM$中，$∠ M=180°-90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ M=∠ GAE$，$\therefore ME=AE=20$。
同时由(2)可得$EG=AG=10\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $45°$
(2) $10\sqrt{2}$
(3) $ME=20$，$EG=10\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合方位角背景考查圆的基础几何性质，题目难度递进，侧重对基础知识点的理解和综合运用，只要熟练掌握圆的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.75

7. 如图,正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异,我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.

(1)定义正n边形的角的“接近度”:设正n边形的每个内角都为$m°$,将正n边形的角的“接近度”定义为$|180 - m|$.于是$|180 - m|$的值越小,该正n边形就越接近圆.
①正三角形的角的“接近度”的值为;正二十边形的角的“接近度”的值为.
②当正n边形的角的“接近度”的值为时,正n边形就成了圆.
(2)定义正n边形的边的“接近度”:设正n边形的外接圆的半径为$R$,正n边形的边心距为$r$,将正n边形的边的“接近度”定义为$\left| \frac{r}{R} -1 \right|$.分别计算当$n=3,n=6$时,正n边形的边的“接近度”的值,并猜测当正n边形的边的“接近度”的值为多少时,正n边形就成了圆.

7.【解】(1)①120 18
②0
(2)如图, 当 $n=3$ 时, $\odot O$ 为正三角形 $ABC$ 的外接圆, 连接 $OA,OD⊥ AB$, 垂足为 $D$.
易得$∠ CAB=60°,∠ OAD=30°,∠ ODA=90°$.
$\therefore \dfrac{OD}{OA}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{1}{2}$.
$\therefore \left| \dfrac{r}{R}-1 \right|=\dfrac{1}{2}$.

如图, 当 $n=6$ 时, $\odot O$ 为正六边形的外接圆, 连接 $OF$, $OH⊥ FG$, 垂足为 $H$.
易得 $∠ EFG = 120°$, $∠ OFH=60°$.
$\because ∠ OHF=90°$,
$\therefore ∠ FOH=180°-90°-60°=30°$.
$\therefore FH=\dfrac{1}{2}OF$.
在 $\mathrm{Rt}△ OFH$ 中, 根据勾股定理, 得 $OH^2 + FH^2=OF^2$.
$\therefore OH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}OF$.
$\therefore \dfrac{OH}{OF}=\dfrac{r}{R}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore \left| \dfrac{r}{R}-1 \right|=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

当正 $n$ 边形的边的“接近度”的值为 0 时, 正 $n$ 边形就成了圆.

【分析】
本题是结合正多边形与圆的新定义类题目，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先回忆正n边形内角公式$m=\frac{(n-2)×180°}{n}$，根据题中给出的角的“接近度”定义$|180-m|$，代入n值计算即可；当正n边形完全接近圆时，内角接近180°，对应接近度为0。
2. 解决第(2)问：正n边形的外接圆半径R、边心距r、边长的一半恰好构成直角三角形，结合正三角形、正六边形的内角特征，求出r与R的比值，再代入边的“接近度”定义$|\frac{r}{R}-1|$计算即可；当正n边形为圆时，边心距r等于外接圆半径R，对应接近度为0。
【解析】
(1)①正三角形的每个内角$m=\frac{(3-2)×180°}{3}=60°$，则角的“接近度”为$|180-60|=120$；
正二十边形的每个内角$m=\frac{(20-2)×180°}{20}=162°$，则角的“接近度”为$|180-162|=18$。
②当正n边形的角的“接近度”为0时，$m=180°$，此时正n边形就成了圆。
(2)当$n=3$时，$\odot O$为正三角形$ABC$的外接圆，连接$OA$，$OD⊥ AB$，垂足为$D$。
易得$∠ CAB=60°$，$∠ OAD=30°$，$∠ ODA=90°$，
$\therefore \frac{OD}{OA}=\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \left| \frac{r}{R}-1 \right|=\left|\frac{1}{2}-1\right|=\frac{1}{2}$。

当$n=6$时，$\odot O$为正六边形的外接圆，连接$OF$，$OH⊥ FG$，垂足为$H$。
易得$∠ EFG = 120°$，$∠ OFH=60°$，
$\because ∠ OHF=90°$，$\therefore ∠ FOH=180°-90°-60°=30°$，
$\therefore FH=\frac{1}{2}OF$，
在$\mathrm{Rt}△ OFH$中，根据勾股定理，得$OH^2 + FH^2=OF^2$，
$\therefore OH=\frac{\sqrt{3}}{2}OF$，即$\frac{OH}{OF}=\frac{r}{R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore \left| \frac{r}{R}-1 \right|=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

当正n边形的边的“接近度”的值为0时，$r=R$，正n边形就成了圆。
【答案】
(1)①$\boxed{120}$；$\boxed{18}$ ②$\boxed{0}$
(2)$n=3$时，边的“接近度”为$\boxed{\frac{1}{2}}$；$n=6$时，边的“接近度”为$\boxed{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$；当边的“接近度”为$\boxed{0}$时，正n边形成为圆。


【知识点】
正多边形内角计算；正多边形与圆；新定义理解
【点评】
本题以新定义“接近度”为载体，考查正多边形的内角、外接圆半径、边心距等基础知识点，解题的关键是准确理解新定义的含义，结合正多边形的几何性质进行计算，同时可以通过本题体会正多边形边数越多越接近圆的规律。
【难度系数】
0.7