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7.我国拥有丰富的旅游资源，某景区研发了一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售量$ y $(件)与销售单价$ x $(元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)直接写出$ y $与$ x $的关系式。
(2)若每天的销售利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(1)直接写出$ y $与$ x $的关系式。
(2)若每天的销售利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
解:(1)$y$与$x$的关系式为$y=-2x+160(30≤ x≤ 54)$。
(2)设每天的销售利润为$w$元。
根据题意，得$w=(x-30)y$
$=(x-30)(-2x+160)$
$=-2x^2+220x-4800$。
当$w=1200$时，
$-2x^2+220x-4800=1200$。
解得$x_1=50,x_2=60$(不符合题意，舍去)。
$\therefore$销售单价应定为50元。
(3)$\because w=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$，
$\therefore$当$x＜55$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\because 30≤ x≤ 54$，
$\therefore$当$x=54$时，$w$取得最大值，最大值为1248。
$\therefore$当销售单价是54元时，每天的销售利润最大，最大利润是1248元。
(2)设每天的销售利润为$w$元。
根据题意，得$w=(x-30)y$
$=(x-30)(-2x+160)$
$=-2x^2+220x-4800$。
当$w=1200$时，
$-2x^2+220x-4800=1200$。
解得$x_1=50,x_2=60$(不符合题意，舍去)。
$\therefore$销售单价应定为50元。
(3)$\because w=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$，
$\therefore$当$x＜55$时，$w$随$x$的增大而增大。
$\because 30≤ x≤ 54$，
$\therefore$当$x=54$时，$w$取得最大值，最大值为1248。
$\therefore$当销售单价是54元时，每天的销售利润最大，最大利润是1248元。
8.某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则租出床位减少10张。以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高（
A.4或6元
B.4元
C.6元
D.8元
C
）。A.4或6元
B.4元
C.6元
D.8元
答案
8. C
9.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润$y$(元)与每件的售价$x$(元)之间的关系满足$y=-2(x-20)^2+1558$，由于某种原因，价格只能满足$15≤x≤19$，那么一周可获得的最大利润是
1 556
元。答案
9. 1 556
10.某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元。经市场调查发现：每天的销售量$ y $（kg）是销售单价$ x $（元）的一次函数，且当$ x=60 $时，$ y=80 $；当$ x=50 $时，$ y=100 $。在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。
（1）求出$ y $与$ x $的关系式，并写出自变量$ x $的取值范围。
（2）求该公司销售该原料每天的利润$ W $（元）与销售单价$ x $（元）之间的关系式。
（3）当销售单价为多少元时，该公司销售该原料每天的利润最大？最大利润是多少元？
（1）求出$ y $与$ x $的关系式，并写出自变量$ x $的取值范围。
（2）求该公司销售该原料每天的利润$ W $（元）与销售单价$ x $（元）之间的关系式。
（3）当销售单价为多少元时，该公司销售该原料每天的利润最大？最大利润是多少元？
答案
解:(1)设 $y=kx+b$。根据题意,得
$\begin{cases}80=60k+b,\\100=50k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200。\end{cases}$
$\therefore y=-2x+200(30≤ x≤ 60)$。
(2)根据题意,得 $W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6\ 450=-2(x-65)^2+2\ 000$。
(3)对于函数 $W=-2(x-65)^2+2\ 000$,
$\because 30≤ x≤ 60$,
$\therefore$ 当 $x=60$ 时,$W$ 有最大值,为 1 950。
$\therefore$ 当销售单价为 60 元时,该公司销售该原料每天的利润最大,最大利润为1 950元。
$\begin{cases}80=60k+b,\\100=50k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200。\end{cases}$
$\therefore y=-2x+200(30≤ x≤ 60)$。
(2)根据题意,得 $W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x^2+260x-6\ 450=-2(x-65)^2+2\ 000$。
(3)对于函数 $W=-2(x-65)^2+2\ 000$,
$\because 30≤ x≤ 60$,
$\therefore$ 当 $x=60$ 时,$W$ 有最大值,为 1 950。
$\therefore$ 当销售单价为 60 元时,该公司销售该原料每天的利润最大,最大利润为1 950元。
11.某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售价格p(元/kg)与时间t(天)之间的关系式为 $ p = \begin{cases} \dfrac{1}{4}t + 30 & (1≤ t≤24,t为整数), \\ -\dfrac{1}{2}t + 48 & (25≤ t≤48,t为整数), \end{cases} $ 且其
日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表：
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求第30天的日销售量。
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg水果就捐赠n(n＜9)元利润给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间t的增大而增大，求n的取值范围。
日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表：
(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求第30天的日销售量。
(2)哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1 kg水果就捐赠n(n＜9)元利润给“精准扶贫”对象。现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间t的增大而增大，求n的取值范围。
答案
解：(1)设 $y=kt+b$，把 $t=1,y=118$；$t=3,y=114$ 代入，
得$\begin{cases} k+b=118, \\ 3k+b=114, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=120。 \end{cases}$
$\therefore y=-2t+120$。
将 $t=30$ 代入上式，得 $y=-2×30+120=60$。
$\therefore$ 第 30 天的日销售量是 60 kg。
(2)设第 t 天的销售利润为 w 元。
当 $1≤ t≤ 24$ 时，由题意，得 $w=(-2t+120)· (\dfrac{1}{4}t+30-20)=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1\ 250$。
$\therefore$ 当 $t=10$ 时，$w_{\mathrm{最大}}=1\ 250$。
当 $25≤ t≤ 48$ 时，$w=(-2t+120)· (-\dfrac{1}{2}t+48-20)=t^2-116t+3\ 360=(t-58)^2-4$。
$\because$ 图象的对称轴为直线 $t=58$，
$\therefore$ 在对称轴左侧 w 随着 t 的增大而减小，
$\therefore$ 当 $t=25$ 时，$w_{\mathrm{最大}}=1\ 085$。
综上所述，第 10 天的销售利润最大，最大日销售利润为 1 250 元。
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为 m 元。
由题意，得 $m=(-2t+120)· (\dfrac{1}{4}t+30-20)-(-2t+120)n=-\dfrac{1}{2}t^2+(10+2n)t+1\ 200-120n$。
$\because$ 在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间 t 的增大而增大，
$\therefore -\dfrac{10+2n}{2×(-\dfrac{1}{2})}≥ 24,\therefore n≥ 7$。
又 $\because n＜9,\therefore n$ 的取值范围为 $7≤ n＜9$。
得$\begin{cases} k+b=118, \\ 3k+b=114, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2, \\ b=120。 \end{cases}$
$\therefore y=-2t+120$。
将 $t=30$ 代入上式，得 $y=-2×30+120=60$。
$\therefore$ 第 30 天的日销售量是 60 kg。
(2)设第 t 天的销售利润为 w 元。
当 $1≤ t≤ 24$ 时，由题意，得 $w=(-2t+120)· (\dfrac{1}{4}t+30-20)=-\dfrac{1}{2}(t-10)^2+1\ 250$。
$\therefore$ 当 $t=10$ 时，$w_{\mathrm{最大}}=1\ 250$。
当 $25≤ t≤ 48$ 时，$w=(-2t+120)· (-\dfrac{1}{2}t+48-20)=t^2-116t+3\ 360=(t-58)^2-4$。
$\because$ 图象的对称轴为直线 $t=58$，
$\therefore$ 在对称轴左侧 w 随着 t 的增大而减小，
$\therefore$ 当 $t=25$ 时，$w_{\mathrm{最大}}=1\ 085$。
综上所述，第 10 天的销售利润最大，最大日销售利润为 1 250 元。
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为 m 元。
由题意，得 $m=(-2t+120)· (\dfrac{1}{4}t+30-20)-(-2t+120)n=-\dfrac{1}{2}t^2+(10+2n)t+1\ 200-120n$。
$\because$ 在前 24 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随着时间 t 的增大而增大，
$\therefore -\dfrac{10+2n}{2×(-\dfrac{1}{2})}≥ 24,\therefore n≥ 7$。
又 $\because n＜9,\therefore n$ 的取值范围为 $7≤ n＜9$。
