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一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.(2025·青浦区月考)下列说法正确的是(
A.命题一定有逆命题
B.真命题一定是定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
1.(2025·青浦区月考)下列说法正确的是(
A
)A.命题一定有逆命题
B.真命题一定是定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题
答案
1.A
2. 用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是(
A.同旁内角不互补的两条直线平行
B.同旁内角互补的两条直线不平行
C.同旁内角互补的两条直线平行
D.同旁内角不互补的两条直线不平行
A
)A.同旁内角不互补的两条直线平行
B.同旁内角互补的两条直线不平行
C.同旁内角互补的两条直线平行
D.同旁内角不互补的两条直线不平行
答案
2.A
3. 佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为 $1080^{\circ}$ 的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(
A.$36^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
C
)A.$36^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
3.C
解析
设这个正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}=1080^{\circ}$，解得$n = 8$。因为多边形外角和为$360^{\circ}$，所以每个外角为$360^{\circ}÷8 = 45^{\circ}$。
C
C
4. 如图，$AB // CD$，点 $E$ 在 $AB$ 上，$EC$ 平分 $∠ AED$。若 $∠ 1 = 65^{\circ}$，则 $∠ 2$ 的度数为(
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
C
)A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$65^{\circ}$
答案
4.C
解析
解：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ AEC = ∠ 1 = 65°$（两直线平行，内错角相等）。
设 $∠ AED = 2x$，
∵ $EC$ 平分 $∠ AED$，
∴ $∠ AEC = ∠ CED = x$，即 $x = 65°$，
∴ $∠ AED = 2x = 130°$。
∵ $A$，$E$，$B$ 在同一直线上，
∴ $∠ AED + ∠ 2 = 180°$（平角定义），
∴ $∠ 2 = 180° - 130° = 50°$。
答案：C
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ AEC = ∠ 1 = 65°$（两直线平行，内错角相等）。
设 $∠ AED = 2x$，
∵ $EC$ 平分 $∠ AED$，
∴ $∠ AEC = ∠ CED = x$，即 $x = 65°$，
∴ $∠ AED = 2x = 130°$。
∵ $A$，$E$，$B$ 在同一直线上，
∴ $∠ AED + ∠ 2 = 180°$（平角定义），
∴ $∠ 2 = 180° - 130° = 50°$。
答案：C
5. 如图，$AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$B$，$C$，$E$ 三点共线，则 $α$，$β$，$\gamma$ 之间的数量关系是(
A.$α + β = \gamma$
B.$2β - α = \gamma$
C.$2α - β = \gamma$
D.$2\gamma - α = β$
B
)A.$α + β = \gamma$
B.$2β - α = \gamma$
C.$2α - β = \gamma$
D.$2\gamma - α = β$
答案
5.B
解析
解：设$∠ BAD = ∠ CAD = θ$。
在$△ ABD$中，$β = α + θ$，则$θ = β - α$。
在$△ ADC$中，$\gamma = θ + ∠ ADC$，又$∠ ADC = 180° - β$，所以$\gamma = θ + 180° - β$。
将$θ = β - α$代入上式：$\gamma = (β - α) + 180° - β = 180° - α$，此步骤有误，重新推导。
正确推导：在$△ ABC$中，$∠ ACB = 180° - \gamma$。
$∠ BAC = 2θ$，由三角形内角和得：$α + 2θ + (180° - \gamma) = 180°$，即$α + 2θ = \gamma$。
又因为$β = α + θ$，所以$θ = β - α$，代入$α + 2θ = \gamma$得：$α + 2(β - α) = \gamma$，化简得$2β - α = \gamma$。
答案：B
在$△ ABD$中，$β = α + θ$，则$θ = β - α$。
在$△ ADC$中，$\gamma = θ + ∠ ADC$，又$∠ ADC = 180° - β$，所以$\gamma = θ + 180° - β$。
将$θ = β - α$代入上式：$\gamma = (β - α) + 180° - β = 180° - α$，此步骤有误，重新推导。
正确推导：在$△ ABC$中，$∠ ACB = 180° - \gamma$。
$∠ BAC = 2θ$，由三角形内角和得：$α + 2θ + (180° - \gamma) = 180°$，即$α + 2θ = \gamma$。
又因为$β = α + θ$，所以$θ = β - α$，代入$α + 2θ = \gamma$得：$α + 2(β - α) = \gamma$，化简得$2β - α = \gamma$。
答案：B
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
6. 命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是
6. 命题“正数的绝对值是它本身”的逆命题是
绝对值等于它本身的数是正数
。答案
6.绝对值等于它本身的数是正数
7. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A = 52^{\circ}$，将其折叠，使点 $A$ 落在边 $BC$ 上的点 $E$ 处，$CA$ 与 $CE$ 重合，折痕为 $CD$，则 $∠ EDB$ 的度数是
14°
。答案
7.14°
解析
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠A=52^{\circ}$，
$\therefore ∠B=180^{\circ}-∠ACB-∠A=180^{\circ}-90^{\circ}-52^{\circ}=38^{\circ}$。
由折叠性质得：$∠CED=∠A=52^{\circ}$，$∠ECD=∠ACD$。
$\because CA$与$CE$重合，
$\therefore CE=CA$，$CD$为折痕，
$\therefore ∠ECD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
在$△CED$中，$∠CDE=180^{\circ}-∠CED-∠ECD=180^{\circ}-52^{\circ}-45^{\circ}=83^{\circ}$。
在$△ABC$中，$∠ADC=180^{\circ}-∠A-∠ACD=180^{\circ}-52^{\circ}-45^{\circ}=83^{\circ}$。
$\because ∠CDE+∠EDB+∠ADC=180^{\circ}$（平角定义），
$\therefore ∠EDB=180^{\circ}-∠CDE-∠ADC=180^{\circ}-83^{\circ}-83^{\circ}=14^{\circ}$。
14°
$\therefore ∠B=180^{\circ}-∠ACB-∠A=180^{\circ}-90^{\circ}-52^{\circ}=38^{\circ}$。
由折叠性质得：$∠CED=∠A=52^{\circ}$，$∠ECD=∠ACD$。
$\because CA$与$CE$重合，
$\therefore CE=CA$，$CD$为折痕，
$\therefore ∠ECD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
在$△CED$中，$∠CDE=180^{\circ}-∠CED-∠ECD=180^{\circ}-52^{\circ}-45^{\circ}=83^{\circ}$。
在$△ABC$中，$∠ADC=180^{\circ}-∠A-∠ACD=180^{\circ}-52^{\circ}-45^{\circ}=83^{\circ}$。
$\because ∠CDE+∠EDB+∠ADC=180^{\circ}$（平角定义），
$\therefore ∠EDB=180^{\circ}-∠CDE-∠ADC=180^{\circ}-83^{\circ}-83^{\circ}=14^{\circ}$。
14°
8. 将一副三角尺按如图所示摆放在一组平行线内，$∠ 1 = 25^{\circ}$，$∠ 2 = 30^{\circ}$，则 $∠ 3$ 的度数为
70°
。答案
8.70°
9. 如图，五角星的五个角 $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$ 的度数是
180°
。答案
9.180°
解析
证明：连接CD。
在△ACD中，∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°。
∵∠B + ∠E = ∠ECD + ∠BDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠A + ∠B + ∠ACE + ∠ADB + ∠E = ∠A + (∠B + ∠E) + ∠ACE + ∠ADB = ∠A + (∠ECD + ∠BDC) + ∠ACE + ∠ADB = ∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°。
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
180°
在△ACD中，∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°。
∵∠B + ∠E = ∠ECD + ∠BDC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠A + ∠B + ∠ACE + ∠ADB + ∠E = ∠A + (∠B + ∠E) + ∠ACE + ∠ADB = ∠A + (∠ECD + ∠BDC) + ∠ACE + ∠ADB = ∠A + ∠ACD + ∠ADC = 180°。
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
180°
