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22.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)若要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)若要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
答案
(1)由题意,得 $60×(360-280)=4\ 800$(元).
故降价前商场每月销售该商品的利润是 4 800 元.
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到 7 200 元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 60 元.
故降价前商场每月销售该商品的利润是 4 800 元.
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到 7 200 元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价 60 元.
解析
【分析】
(1) 计算降价前的月利润需用到利润计算基本公式：总利润=单件利润×销售数量。先求出每件商品的利润（售价减进价），再乘降价前的月销售量即可得到结果。
(2) 第二问是典型的一元二次方程实际应用问题，先设每件商品降价x元，分别表示出降价后的单件利润和月销售量，再根据总利润为7200元的等量关系列方程求解。最后结合“更有利于减少库存”的要求，选择降价更多的解（降价越多销量越高，去库存越快）。
【解析】
(1) 降价前每件商品的利润为：$360-280=80$（元）
降价前月总利润为：$60×80=4800$（元）
(2) 设每件商品应降价$x$元，根据题意：
降价后单件利润为$(360-280-x)=(80-x)$元，
降价后月销售量为$(60+5x)$件，
列方程得：
$(80-x)(60+5x)=7200$
展开整理得：$x^2-68x+480=0$
因式分解得：$(x-8)(x-60)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=60$
因为要更有利于减少库存，需销量尽可能大，因此选择降价更多的$x=60$。
【答案】
(1) 降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
(2) 每件商品应降价60元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题根的取舍
【点评】
本题属于销售类常考应用题，解题核心是抓住利润计算的基本公式找到等量关系列方程，解题时要注意结合实际场景的限制条件对方程的解进行合理取舍，避免出现多解错选的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 计算降价前的月利润需用到利润计算基本公式：总利润=单件利润×销售数量。先求出每件商品的利润（售价减进价），再乘降价前的月销售量即可得到结果。
(2) 第二问是典型的一元二次方程实际应用问题，先设每件商品降价x元，分别表示出降价后的单件利润和月销售量，再根据总利润为7200元的等量关系列方程求解。最后结合“更有利于减少库存”的要求，选择降价更多的解（降价越多销量越高，去库存越快）。
【解析】
(1) 降价前每件商品的利润为：$360-280=80$（元）
降价前月总利润为：$60×80=4800$（元）
(2) 设每件商品应降价$x$元，根据题意：
降价后单件利润为$(360-280-x)=(80-x)$元，
降价后月销售量为$(60+5x)$件，
列方程得：
$(80-x)(60+5x)=7200$
展开整理得：$x^2-68x+480=0$
因式分解得：$(x-8)(x-60)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=60$
因为要更有利于减少库存，需销量尽可能大，因此选择降价更多的$x=60$。
【答案】
(1) 降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
(2) 每件商品应降价60元。
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程应用，实际问题根的取舍
【点评】
本题属于销售类常考应用题，解题核心是抓住利润计算的基本公式找到等量关系列方程，解题时要注意结合实际场景的限制条件对方程的解进行合理取舍，避免出现多解错选的问题。
【难度系数】
0.7
23. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值。
答案
(1)$\because b^2 -4ac=[-(2k+1)]^2 -4(k^2 +k)=1＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$k$ 的值为 5 或 4.
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
(2)$k$ 的值为 5 或 4.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＞0$即可得证；
（2）先求出方程的两个实数根，结合等腰三角形两腰相等的性质，由于方程两根不相等，因此分两种情况讨论：其中一根等于第三边BC的长5，分别求解k后验证三边是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2k+1)$，常数项$c=k^2+k$，
∴判别式$\Delta = b^2 -4ac = [-(2k+1)]^2 -4×1×(k^2 +k) = 4k^2+4k+1 -4k^2 -4k = 1$，
∵$\Delta=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）解：对一元二次方程因式分解可得：
$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = (x -k)(x - (k+1)) = 0$，
解得方程的两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
由（1）可知AB≠AC，又△ABC是等腰三角形，BC=5，因此分两种情况：
①当$x_1=k=5$时，另一根$x_2=6$，此时△ABC三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，符合题意；
②当$x_2=k+1=5$时，解得$k=4$，另一根$x_1=4$，此时△ABC三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，k的值为4或5。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $k$ 的值为 5 或 4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与几何图形的综合题，解题时要注意分类讨论思想的运用，求出k值后需验证三边是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta＞0$即可得证；
（2）先求出方程的两个实数根，结合等腰三角形两腰相等的性质，由于方程两根不相等，因此分两种情况讨论：其中一根等于第三边BC的长5，分别求解k后验证三边是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2k+1)$，常数项$c=k^2+k$，
∴判别式$\Delta = b^2 -4ac = [-(2k+1)]^2 -4×1×(k^2 +k) = 4k^2+4k+1 -4k^2 -4k = 1$，
∵$\Delta=1＞0$，
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）解：对一元二次方程因式分解可得：
$x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = (x -k)(x - (k+1)) = 0$，
解得方程的两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
由（1）可知AB≠AC，又△ABC是等腰三角形，BC=5，因此分两种情况：
①当$x_1=k=5$时，另一根$x_2=6$，此时△ABC三边长为5、5、6，满足三角形三边关系，符合题意；
②当$x_2=k+1=5$时，解得$k=4$，另一根$x_1=4$，此时△ABC三边长为4、5、5，满足三角形三边关系，符合题意。
综上，k的值为4或5。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $k$ 的值为 5 或 4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质
【点评】
本题是一元二次方程与几何图形的综合题，解题时要注意分类讨论思想的运用，求出k值后需验证三边是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
24. 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读材料，解答问题：
为解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$，我们可以将$x^2 -1$看作一个整体，然后设$x^2 -1=y$，那么原方程可化为$y^2 -5y +4=0$①，解得$y_1=1,y_2=4$。当$y_1=1$时，$x^2 -1=1$。所以$x^2=2$。所以$x=\pm\sqrt{2}$。当$y=4$时，$x^2 -1=4$。所以$x^2=5$。所以$x=\pm\sqrt{5}$，故原方程的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$。上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想。请利用以上知识解方程：$x^4 -x^2 -6=0$。
为解方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$，我们可以将$x^2 -1$看作一个整体，然后设$x^2 -1=y$，那么原方程可化为$y^2 -5y +4=0$①，解得$y_1=1,y_2=4$。当$y_1=1$时，$x^2 -1=1$。所以$x^2=2$。所以$x=\pm\sqrt{2}$。当$y=4$时，$x^2 -1=4$。所以$x^2=5$。所以$x=\pm\sqrt{5}$，故原方程的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$。上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想。请利用以上知识解方程：$x^4 -x^2 -6=0$。
答案
设 $x^2 = y$,则原方程可化为 $y^2 -y -6=0$,
解得 $y_1=3,y_2=-2$(舍去).
所以 $x^2=3$,解得 $x=\pm\sqrt{3}.$
解得 $y_1=3,y_2=-2$(舍去).
所以 $x^2=3$,解得 $x=\pm\sqrt{3}.$
解析
【分析】
观察到原方程是关于x的四次方程，我们已经熟练掌握一元二次方程的解法，因此可以参照材料中的换元法思路降次：将$x^2$看作一个整体设为y，此时$x^4=(x^2)^2=y^2$，原方程即可转化为关于y的一元二次方程，先求解y，再结合平方的非负性筛选符合条件的y值，最后求解x即可。
【解析】
解：设$x^2 = y$，则$x^4=(x^2)^2=y^2$，原方程可化为：
$y^2 - y - 6 = 0$
对该一元二次方程因式分解得$(y - 3)(y + 2) = 0$，解得$y_1=3$，$y_2=-2$。
∵$x^2=y≥0$，
∴$y=-2$不符合题意，舍去。
∴$x^2=3$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法降次，一元二次方程求解，平方的非负性
【点评】
本题依托阅读理解给出换元法的应用思路，考查转化思想的实际应用，通过换元将陌生的高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时需注意结合换元后代数式的取值范围排除增根，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
观察到原方程是关于x的四次方程，我们已经熟练掌握一元二次方程的解法，因此可以参照材料中的换元法思路降次：将$x^2$看作一个整体设为y，此时$x^4=(x^2)^2=y^2$，原方程即可转化为关于y的一元二次方程，先求解y，再结合平方的非负性筛选符合条件的y值，最后求解x即可。
【解析】
解：设$x^2 = y$，则$x^4=(x^2)^2=y^2$，原方程可化为：
$y^2 - y - 6 = 0$
对该一元二次方程因式分解得$(y - 3)(y + 2) = 0$，解得$y_1=3$，$y_2=-2$。
∵$x^2=y≥0$，
∴$y=-2$不符合题意，舍去。
∴$x^2=3$，开平方得$x=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
【知识点】
换元法降次，一元二次方程求解，平方的非负性
【点评】
本题依托阅读理解给出换元法的应用思路，考查转化思想的实际应用，通过换元将陌生的高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时需注意结合换元后代数式的取值范围排除增根，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
