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18. 新考法 新定义问题 对于实数$a,b$,定义运算“*”:$a*b=\begin{cases}a^2 - ab & (a≥ b), \\ab - b^2 & (a ＜ b).\end{cases}$ 例如$4*2$,因为$4＞2$,所以$4*2=4^2 -4×2=8$.若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x +6=0$的两个根,则$x_1*x_2=$ ______ .
答案
18.3 或 −3
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考：第一步先求解一元二次方程，得到两个根；第二步结合新定义运算的规则，由于x₁、x₂的大小关系没有明确给出，需要分两种情况讨论，分别代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解可得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x=2$或$x=3$，即$x_1、x_2$的取值为2和3，分两种情况计算：
1. 当$x_1=3，x_2=2$时，满足$a≥b$的运算条件，代入对应公式：
$x_1*x_2=3^2 - 3×2=9-6=3$
2. 当$x_1=2，x_2=3$时，满足$a＜b$的运算条件，代入对应公式：
$x_1*x_2=2×3 - 3^2=6-9=-3$
综上，$x_1*x_2$的值为3或-3。
【答案】
3或−3
【知识点】
解一元二次方程；新定义运算；分类讨论
【点评】
本题是新定义类基础题，将新运算规则和一元二次方程解法结合考查，解题时要注意新运算的使用前提是比较两个运算数的大小，避免遗漏分类情况导致丢分。
【难度系数】
0.6
解决本题需要分两步思考：第一步先求解一元二次方程，得到两个根；第二步结合新定义运算的规则，由于x₁、x₂的大小关系没有明确给出，需要分两种情况讨论，分别代入对应公式计算即可得到结果。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解可得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x=2$或$x=3$，即$x_1、x_2$的取值为2和3，分两种情况计算：
1. 当$x_1=3，x_2=2$时，满足$a≥b$的运算条件，代入对应公式：
$x_1*x_2=3^2 - 3×2=9-6=3$
2. 当$x_1=2，x_2=3$时，满足$a＜b$的运算条件，代入对应公式：
$x_1*x_2=2×3 - 3^2=6-9=-3$
综上，$x_1*x_2$的值为3或-3。
【答案】
3或−3
【知识点】
解一元二次方程；新定义运算；分类讨论
【点评】
本题是新定义类基础题，将新运算规则和一元二次方程解法结合考查，解题时要注意新运算的使用前提是比较两个运算数的大小，避免遗漏分类情况导致丢分。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19. 用适当的方法解下列方程：
(1)$9x^2 - 16 = 0$；
(2)$7x(5x + 2) = 6(5x + 2)$；
(3)$6x - 7 = x^2$；
(4)$2x^2 - 5x - 7 = 0$。
19. 用适当的方法解下列方程：
(1)$9x^2 - 16 = 0$；
(2)$7x(5x + 2) = 6(5x + 2)$；
(3)$6x - 7 = x^2$；
(4)$2x^2 - 5x - 7 = 0$。
答案
(1)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}.$
(2)$x_1=-\frac{2}{5},x_2=\frac{6}{7}.$
(3)$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}.$
(4)$x_1=\frac{7}{2},x_2=-1.$
(2)$x_1=-\frac{2}{5},x_2=\frac{6}{7}.$
(3)$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}.$
(4)$x_1=\frac{7}{2},x_2=-1.$
解析
【分析】
这是一组一元二次方程求解的题目，需根据每个方程的特征选择最简便的解法：(1)方程无一次项，可变形为平方等于常数的形式，用直接开平方法求解；(2)方程左右两边有共同的公因式$(5x+2)$，优先用提公因式法因式分解求解，注意不要直接两边除以公因式避免漏根；(3)先整理为一元二次方程一般式，观察系数特征用配方法求解更简便；(4)可直接用公式法求解，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 解：移项得 $9x^2=16$，
系数化为1得 $x^2=\frac{16}{9}$，
开平方得 $x=\pm\frac{4}{3}$。
(2) 解：移项得 $7x(5x+2)-6(5x+2)=0$，
提取公因式得 $(5x+2)(7x-6)=0$，
则$5x+2=0$或$7x-6=0$，
分别解得 $x=-\frac{2}{5}$ 或 $x=\frac{6}{7}$。
(3) 解：整理为一般式得 $x^2-6x+7=0$，
移项得 $x^2-6x=-7$，
配方得 $x^2-6x+9=-7+9$，即 $(x-3)^2=2$，
开平方得 $x-3=\pm\sqrt{2}$，
解得 $x=3\pm\sqrt{2}$。
(4) 解：这里$a=2,b=-5,c=-7$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-7)=25+56=81＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm9}{4}$，
则$x_1=\frac{5+9}{4}=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{5-9}{4}=-1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}.$
(2)$x_1=-\frac{2}{5},x_2=\frac{6}{7}.$
(3)$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}.$
(4)$x_1=\frac{7}{2},x_2=-1.$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种求解方法，解题时需先观察方程结构特征，选择最简便的解法，既能提升计算效率也能降低出错概率，需注意移项变号、漏根等常见错误。
【难度系数】
0.7
这是一组一元二次方程求解的题目，需根据每个方程的特征选择最简便的解法：(1)方程无一次项，可变形为平方等于常数的形式，用直接开平方法求解；(2)方程左右两边有共同的公因式$(5x+2)$，优先用提公因式法因式分解求解，注意不要直接两边除以公因式避免漏根；(3)先整理为一元二次方程一般式，观察系数特征用配方法求解更简便；(4)可直接用公式法求解，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 解：移项得 $9x^2=16$，
系数化为1得 $x^2=\frac{16}{9}$，
开平方得 $x=\pm\frac{4}{3}$。
(2) 解：移项得 $7x(5x+2)-6(5x+2)=0$，
提取公因式得 $(5x+2)(7x-6)=0$，
则$5x+2=0$或$7x-6=0$，
分别解得 $x=-\frac{2}{5}$ 或 $x=\frac{6}{7}$。
(3) 解：整理为一般式得 $x^2-6x+7=0$，
移项得 $x^2-6x=-7$，
配方得 $x^2-6x+9=-7+9$，即 $(x-3)^2=2$，
开平方得 $x-3=\pm\sqrt{2}$，
解得 $x=3\pm\sqrt{2}$。
(4) 解：这里$a=2,b=-5,c=-7$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-7)=25+56=81＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm9}{4}$，
则$x_1=\frac{5+9}{4}=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{5-9}{4}=-1$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{4}{3},x_2=-\frac{4}{3}.$
(2)$x_1=-\frac{2}{5},x_2=\frac{6}{7}.$
(3)$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}.$
(4)$x_1=\frac{7}{2},x_2=-1.$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种求解方法，解题时需先观察方程结构特征，选择最简便的解法，既能提升计算效率也能降低出错概率，需注意移项变号、漏根等常见错误。
【难度系数】
0.7
20. 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下列材料：
问题:已知方程$x^2 + x -1 =0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$,则$y=2x$,
所以$x=\frac{y}{2}$,把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程,得
$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -1 =0$.
化简,得$y^2 +2y -4=0$,
故所求方程为$y^2 +2y -4=0$,
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程.
(要求:把所求方程化为一般形式)
(1)已知方程$x^2 +2x -1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
问题:已知方程$x^2 + x -1 =0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为$y$,则$y=2x$,
所以$x=\frac{y}{2}$,把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程,得
$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -1 =0$.
化简,得$y^2 +2y -4=0$,
故所求方程为$y^2 +2y -4=0$,
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程.
(要求:把所求方程化为一般形式)
(1)已知方程$x^2 +2x -1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为
$y^2 - 2y - 1 = 0$
;(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.
答案
(1)$y^2 - 2y - 1 = 0.$
(2)设所求方程的根为$y$,
则 $y=\frac{1}{x}(x≠0)$,于是 $x=\frac{1}{y}(y≠0)$,
把 $x=\frac{1}{y}$ 代入方程 $ax^2 +bx +c=0$,
得 $a (\frac{1}{y})^2 +b (\frac{1}{y}) +c=0$,
去分母,得 $a +by +cy^2=0$,
若 $c=0$,有 $ax^2 +bx=0$,
于是,方程 $ax^2 +bx +c=0$ 有一个根为 0,不合题意,
$\therefore c≠0$,
故所求方程为 $a +by +cy^2=0(c≠0).$
(2)设所求方程的根为$y$,
则 $y=\frac{1}{x}(x≠0)$,于是 $x=\frac{1}{y}(y≠0)$,
把 $x=\frac{1}{y}$ 代入方程 $ax^2 +bx +c=0$,
得 $a (\frac{1}{y})^2 +b (\frac{1}{y}) +c=0$,
去分母,得 $a +by +cy^2=0$,
若 $c=0$,有 $ax^2 +bx=0$,
于是,方程 $ax^2 +bx +c=0$ 有一个根为 0,不合题意,
$\therefore c≠0$,
故所求方程为 $a +by +cy^2=0(c≠0).$
解析
【分析】
本题是方法迁移类阅读理解题，核心是运用材料给出的“换根法”求解新方程，解题思路如下：
(1) 明确新方程根与原方程根的关系：新根是原根的相反数。设所求方程的根为y，可得y=-x，变形得x=-y，将其代入原方程，化简为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 新方程根是原方程根的倒数，设所求方程的根为y，可得$y=\frac{1}{x}$（原方程根不为0，故x≠0），变形得$x=\frac{1}{y}$（y≠0），代入原一元二次方程化简后，结合“原方程有两个非零实根”的条件排除c=0的情况，即可得到符合要求的方程。
【解析】
(1) 设所求方程的根为$y$，根据题意$y$是原方程根的相反数，即$y=-x$，所以$x=-y$。
把$x=-y$代入已知方程$x^2 +2x -1=0$，得：
$(-y)^2 + 2×(-y) -1 = 0$
化简得：$y^2 -2y -1=0$。
(2) 设所求方程的根为$y$，根据题意$y$是原方程根的倒数，即$y=\frac{1}{x}(x≠0)$，因此$x=\frac{1}{y}(y≠0)$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，得：
$a·(\frac{1}{y})^2 + b·(\frac{1}{y}) + c = 0$
两边同乘$y^2$去分母，得：$a + by + cy^2 = 0$。
若$c=0$，则原方程变为$ax^2 +bx=0$，此时方程有一个根为0，与“原方程有两个不等于零的实数根”的条件矛盾，因此$c≠0$。
故所求方程为$a + by + cy^2 = 0(c≠0)$。
【答案】
(1) $y^2 - 2y - 1 = 0$
(2) $cy^2 + by + a = 0(c≠0)$（或$a + by + cy^2 = 0(c≠0)$）
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，一元二次方程一般形式
【点评】
本题考查对新方法的理解和类比迁移能力，解题关键是准确梳理新、旧方程根的数量关系，代入原方程化简，同时要注意题目隐含的限制条件，避免遗漏特殊情况出现错误。
【难度系数】
0.7
本题是方法迁移类阅读理解题，核心是运用材料给出的“换根法”求解新方程，解题思路如下：
(1) 明确新方程根与原方程根的关系：新根是原根的相反数。设所求方程的根为y，可得y=-x，变形得x=-y，将其代入原方程，化简为一元二次方程的一般形式即可。
(2) 新方程根是原方程根的倒数，设所求方程的根为y，可得$y=\frac{1}{x}$（原方程根不为0，故x≠0），变形得$x=\frac{1}{y}$（y≠0），代入原一元二次方程化简后，结合“原方程有两个非零实根”的条件排除c=0的情况，即可得到符合要求的方程。
【解析】
(1) 设所求方程的根为$y$，根据题意$y$是原方程根的相反数，即$y=-x$，所以$x=-y$。
把$x=-y$代入已知方程$x^2 +2x -1=0$，得：
$(-y)^2 + 2×(-y) -1 = 0$
化简得：$y^2 -2y -1=0$。
(2) 设所求方程的根为$y$，根据题意$y$是原方程根的倒数，即$y=\frac{1}{x}(x≠0)$，因此$x=\frac{1}{y}(y≠0)$。
把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$，得：
$a·(\frac{1}{y})^2 + b·(\frac{1}{y}) + c = 0$
两边同乘$y^2$去分母，得：$a + by + cy^2 = 0$。
若$c=0$，则原方程变为$ax^2 +bx=0$，此时方程有一个根为0，与“原方程有两个不等于零的实数根”的条件矛盾，因此$c≠0$。
故所求方程为$a + by + cy^2 = 0(c≠0)$。
【答案】
(1) $y^2 - 2y - 1 = 0$
(2) $cy^2 + by + a = 0(c≠0)$（或$a + by + cy^2 = 0(c≠0)$）
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，一元二次方程一般形式
【点评】
本题考查对新方法的理解和类比迁移能力，解题关键是准确梳理新、旧方程根的数量关系，代入原方程化简，同时要注意题目隐含的限制条件，避免遗漏特殊情况出现错误。
【难度系数】
0.7
21. 小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm²,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:"这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm²."他的说法对吗?请说明理由.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm²,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:"这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm²."他的说法对吗?请说明理由.
答案
(1)要使这两个正方形的面积之和为58 cm²,小林该剪较短的这段为 12 cm,较长的这段为 28 cm.
(2)设剪成的较短的这段为 $m$ cm,较长的这段就为 $(40-m)$cm,
由题意,得 $(\frac{m}{4})^2 + (\frac{40-m}{4})^2 =48$,
变形为 $m^2 -40m +416=0$,
$\because \Delta=b^2 -4ac=(-40)^2 -4×416=-64＜0$,
$\therefore$ 原方程无解.
$\therefore$ 小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm².
(2)设剪成的较短的这段为 $m$ cm,较长的这段就为 $(40-m)$cm,
由题意,得 $(\frac{m}{4})^2 + (\frac{40-m}{4})^2 =48$,
变形为 $m^2 -40m +416=0$,
$\because \Delta=b^2 -4ac=(-40)^2 -4×416=-64＜0$,
$\therefore$ 原方程无解.
$\therefore$ 小峰的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm².
解析
【分析】
(1) 解题时先设其中一段铁丝长度为未知数，另一段长度用总长度减去该未知数表示；再根据正方形周长和边长的关系，分别表示出两个正方形的边长；最后结合“两个正方形面积之和为58cm²”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义筛选结果即可。
(2) 要判断面积之和能否等于48cm²，仍按照上述等量关系列方程，将面积和替换为48得到新的一元二次方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根：若判别式小于0，说明方程无实根，即不存在符合要求的剪法，小峰的说法正确。
【解析】
(1) 设剪成的较短的这段为$x$ cm，较长的这段就为$(40-x)$ cm。
根据题意列方程：
$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{40-x}{4})^2 = 58$
两边同乘16得：$x^2+(40-x)^2=928$
展开整理得：$x^2-40x+336=0$
因式分解得：$(x-12)(x-28)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=28$
因设$x$为较短段，故取$x=12$，较长段长度为$40-12=28$ cm。
(2) 假设两个正方形的面积之和可以等于48 cm²，设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$ cm。
根据题意列方程：
$(\frac{m}{4})^2 + (\frac{40-m}{4})^2 =48$
整理得：$m^2 -40m +416=0$
计算根的判别式：$\Delta=b^2 -4ac=(-40)^2 -4×416=-64＜0$
因此原方程无实数根，不存在符合条件的剪法。
【答案】
(1)要使这两个正方形的面积之和为58 cm²,小林该剪较短的这段为 12 cm,较长的这段为 28 cm。
(2)小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm²。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、正方形周长与面积计算
【点评】
本题结合实际操作场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是准确抓住面积和的等量关系列方程，第二问通过判别式判断方程实根情况验证结论，能有效提升学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先设其中一段铁丝长度为未知数，另一段长度用总长度减去该未知数表示；再根据正方形周长和边长的关系，分别表示出两个正方形的边长；最后结合“两个正方形面积之和为58cm²”的等量关系列一元二次方程，求解后结合实际意义筛选结果即可。
(2) 要判断面积之和能否等于48cm²，仍按照上述等量关系列方程，将面积和替换为48得到新的一元二次方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根：若判别式小于0，说明方程无实根，即不存在符合要求的剪法，小峰的说法正确。
【解析】
(1) 设剪成的较短的这段为$x$ cm，较长的这段就为$(40-x)$ cm。
根据题意列方程：
$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{40-x}{4})^2 = 58$
两边同乘16得：$x^2+(40-x)^2=928$
展开整理得：$x^2-40x+336=0$
因式分解得：$(x-12)(x-28)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=28$
因设$x$为较短段，故取$x=12$，较长段长度为$40-12=28$ cm。
(2) 假设两个正方形的面积之和可以等于48 cm²，设剪成的较短的这段为$m$ cm，较长的这段就为$(40-m)$ cm。
根据题意列方程：
$(\frac{m}{4})^2 + (\frac{40-m}{4})^2 =48$
整理得：$m^2 -40m +416=0$
计算根的判别式：$\Delta=b^2 -4ac=(-40)^2 -4×416=-64＜0$
因此原方程无实数根，不存在符合条件的剪法。
【答案】
(1)要使这两个正方形的面积之和为58 cm²,小林该剪较短的这段为 12 cm,较长的这段为 28 cm。
(2)小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm²。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、正方形周长与面积计算
【点评】
本题结合实际操作场景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是准确抓住面积和的等量关系列方程，第二问通过判别式判断方程实根情况验证结论，能有效提升学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
