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1.若关于$x$的一元二次方程$4x^2 - 4x + c = 0$有两个相等实数根，则$c$的值是(
A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
B
).A.$-1$
B.$1$
C.$-4$
D.$4$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个相等实数根的等价条件是根的判别式$\Delta=0$；再从给定方程中找出对应系数$a$、$b$、$c$的值，代入判别式得到关于$c$的一元一次方程；最后解方程求出$c$的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
已知方程$4x^2 - 4x + c = 0$是一元二次方程，且有两个相等实数根，因此$\Delta=0$。
其中$a=4$，$b=-4$，常数项为$c$，代入判别式得：
$(-4)^2 - 4×4× c = 0$
计算得：$16 - 16c = 0$
移项得：$16c=16$
解得：$c=1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查判别式与方程根的个数的对应关系，解题时需注意准确提取方程的各项系数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个相等实数根的等价条件是根的判别式$\Delta=0$；再从给定方程中找出对应系数$a$、$b$、$c$的值，代入判别式得到关于$c$的一元一次方程；最后解方程求出$c$的值即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
已知方程$4x^2 - 4x + c = 0$是一元二次方程，且有两个相等实数根，因此$\Delta=0$。
其中$a=4$，$b=-4$，常数项为$c$，代入判别式得：
$(-4)^2 - 4×4× c = 0$
计算得：$16 - 16c = 0$
移项得：$16c=16$
解得：$c=1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查判别式与方程根的个数的对应关系，解题时需注意准确提取方程的各项系数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程中,是一元二次方程的有(
①$7x^2 + 6 = 3x$; ②$\frac{1}{2x^2}=7$; ③$x^2 - x = 0$;
④$2x^2 -5y=0$; ⑤$-x^2=0$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).①$7x^2 + 6 = 3x$; ②$\frac{1}{2x^2}=7$; ③$x^2 - x = 0$;
④$2x^2 -5y=0$; ⑤$-x^2=0$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】
要判断哪些是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个必备判定条件：1.属于整式方程（分母中不含未知数）；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们只需用这三个条件逐一核对每个方程，全部满足的即为符合要求的一元二次方程，最后统计个数选择对应选项即可。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。我们逐个分析所给方程：
①$7x^2 + 6 = 3x$：整理为$7x^2-3x+6=0$，是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$7≠0$，符合一元二次方程定义；
②$\frac{1}{2x^2}=7$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
③$x^2 - x = 0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合要求；
④$2x^2 -5y=0$：方程中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
⑤$-x^2=0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，符合要求。
综上，符合要求的是①③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的判定
2.整式方程的概念
3.分式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是牢记一元二次方程的三个判定条件，排查时要注意先判断是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，避免误将分式方程、多元方程算入。
【难度系数】
0.7
要判断哪些是一元二次方程，首先需要明确一元二次方程的三个必备判定条件：1.属于整式方程（分母中不含未知数）；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们只需用这三个条件逐一核对每个方程，全部满足的即为符合要求的一元二次方程，最后统计个数选择对应选项即可。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。我们逐个分析所给方程：
①$7x^2 + 6 = 3x$：整理为$7x^2-3x+6=0$，是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$7≠0$，符合一元二次方程定义；
②$\frac{1}{2x^2}=7$：分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
③$x^2 - x = 0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$1≠0$，符合要求；
④$2x^2 -5y=0$：方程中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
⑤$-x^2=0$：是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$-1≠0$，符合要求。
综上，符合要求的是①③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的判定
2.整式方程的概念
3.分式方程的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是牢记一元二次方程的三个判定条件，排查时要注意先判断是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，避免误将分式方程、多元方程算入。
【难度系数】
0.7
3. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x + p^2 -2p +5=0$的一个根为1，则实数$p$的值是(
A.4
B.0或2
C.1
D.$-1$
C
)。A.4
B.0或2
C.1
D.$-1$
答案
3.C
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根x=1代入原方程，就能得到只含有参数p的方程，再求解该方程即可得到p的取值。
【解析】
已知x=1是一元二次方程$x^2 -5x + p^2 -2p +5=0$的根，将x=1代入原方程，等式成立：
$1^2 -5×1 + p^2 -2p +5 = 0$
化简计算：
$1 -5 +5 + p^2 -2p = 0$
$p^2 -2p +1 = 0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(p-1)^2 = 0$
解得$p=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程参数求解的基础题，核心方法是利用方程根的定义代入已知根，将问题转化为关于参数的方程求解，掌握根的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根x=1代入原方程，就能得到只含有参数p的方程，再求解该方程即可得到p的取值。
【解析】
已知x=1是一元二次方程$x^2 -5x + p^2 -2p +5=0$的根，将x=1代入原方程，等式成立：
$1^2 -5×1 + p^2 -2p +5 = 0$
化简计算：
$1 -5 +5 + p^2 -2p = 0$
$p^2 -2p +1 = 0$
根据完全平方公式因式分解得：
$(p-1)^2 = 0$
解得$p=1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程参数求解的基础题，核心方法是利用方程根的定义代入已知根，将问题转化为关于参数的方程求解，掌握根的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
4.已知一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程$(x-2)(x-4)=0$的根,则这个三角形的周长是(
A.11
B.11或13
C.13
D.以上选项都不正确
C
).A.11
B.11或13
C.13
D.以上选项都不正确
答案
4.C
解析
【分析】
解决这道题需要分两步思考：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的可能长度；第二步结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断哪个解是符合实际的，最后代入计算周长即可。要注意不能直接把方程的两个根都用来算周长，必须先验证是否能构成三角形。
【解析】
1. 解方程$(x-2)(x-4)=0$：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-2=0$或$x-4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即第三边的长度可能是2或4。
2. 验证是否满足三角形三边关系：
若第三边长为2：此时三角形三边长为3、6、2，因为$3+2=5＜6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去该值。
若第三边长为4：此时三角形三边长为3、6、4，验证得$3+4＞6$，$3+6＞4$，$4+6＞3$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：$3+6+4=13$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础易错题，解题的关键是在求出方程的根后，一定要结合三角形三边关系验证根的合理性，避免直接代入两个根计算周长导致错选。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要分两步思考：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的可能长度；第二步结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断哪个解是符合实际的，最后代入计算周长即可。要注意不能直接把方程的两个根都用来算周长，必须先验证是否能构成三角形。
【解析】
1. 解方程$(x-2)(x-4)=0$：
根据因式分解法解一元二次方程的规则，可得$x-2=0$或$x-4=0$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，即第三边的长度可能是2或4。
2. 验证是否满足三角形三边关系：
若第三边长为2：此时三角形三边长为3、6、2，因为$3+2=5＜6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去该值。
若第三边长为4：此时三角形三边长为3、6、4，验证得$3+4＞6$，$3+6＞4$，$4+6＞3$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：$3+6+4=13$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础易错题，解题的关键是在求出方程的根后，一定要结合三角形三边关系验证根的合理性，避免直接代入两个根计算周长导致错选。
【难度系数】
0.7
5. 将一元二次方程$x^2 -8x -5=0$化成$(x+a)^2 = b$（$a$，$b$为常数）的形式，则$a$，$b$的值分别是（
A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$
A
）。A.$-4,21$
B.$-4,11$
C.$4,21$
D.$-8,69$
答案
5.A
[解析]$\because x^2 -8x -5=0,\therefore x^2 -8x=5.$
则$x^2 -8x +16=5+16,$即$(x-4)^2=21,$
$\therefore a=-4,b=21.$故选 A.
[解析]$\because x^2 -8x -5=0,\therefore x^2 -8x=5.$
则$x^2 -8x +16=5+16,$即$(x-4)^2=21,$
$\therefore a=-4,b=21.$故选 A.
解析
【分析】
本题需要将一元二次方程化为指定的完全平方式形式，解题核心是运用配方法。首先明确配方法的操作逻辑：先把方程中的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后和目标形式$(x+a)^2=b$对比，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -8x -5=0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -8x=5$；
第二步：配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，给等号两边同时加16，得：
$x^2 -8x +16=5+16$，
左侧根据完全平方公式可整理为$(x-4)^2$，右侧计算得$21$，即$(x-4)^2=21$；
将该式与$(x+a)^2 = b$对比，可得$a=-4$，$b=21$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、配方、整理”的配方法流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题需要将一元二次方程化为指定的完全平方式形式，解题核心是运用配方法。首先明确配方法的操作逻辑：先把方程中的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方的形式，最后和目标形式$(x+a)^2=b$对比，就能求出$a$、$b$的值。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 -8x -5=0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -8x=5$；
第二步：配方，一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(\frac{-8}{2})^2=16$，给等号两边同时加16，得：
$x^2 -8x +16=5+16$，
左侧根据完全平方公式可整理为$(x-4)^2$，右侧计算得$21$，即$(x-4)^2=21$；
将该式与$(x+a)^2 = b$对比，可得$a=-4$，$b=21$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、配方、整理”的配方法流程即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程是(
A.$x^2 +9x -8=0$
B.$x^2 -9x -8=0$
C.$x^2 -9x +8=0$
D.$2x^2 -9x +8=0$
C
).A.$x^2 +9x -8=0$
B.$x^2 -9x -8=0$
C.$x^2 -9x +8=0$
D.$2x^2 -9x +8=0$
答案
6.C
解析
【分析】
要列出关于x的方程，核心是先确定两块矩形绿地的总长度和总宽度，再结合面积和为60平方米建立等式。首先分析水平方向：大矩形长18米，左右两侧各有1段宽x的通道，两块绿地中间还有1段宽x的通道，共3段通道，因此两块绿地的总长度为18-3x；再分析垂直方向：大矩形宽6米，上下各有1段宽x的通道，共2段通道，因此绿地的宽度为6-2x。最后根据矩形面积公式列方程，整理为最简形式即可匹配选项。
【解析】
设人行道的宽度为x米。
1. 计算绿地的总长度：水平方向共有3段宽度为x的通道，因此两块绿地的总长度为$18 - 3x$米；
2. 计算绿地的宽度：垂直方向共有2段宽度为x的通道，因此绿地的宽度为$6 - 2x$米；
3. 根据两块绿地面积之和为60平方米，列方程：
$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$
展开并整理方程：
左边展开得$108 - 36x - 18x + 6x^2 = 60$
移项合并同类项得$6x^2 - 54x + 48 = 0$
两边同时除以6化简得$x^2 - 9x + 8 = 0$
因此符合的方程为选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何通道类列方程问题，解题关键是准确数出不同方向的通道数量，正确扣除通道宽度得到绿地的长宽参数，整理方程时注意化简为最简形式再对比选项，易错点是数错通道数量导致长宽表达式错误。
【难度系数】
0.7
要列出关于x的方程，核心是先确定两块矩形绿地的总长度和总宽度，再结合面积和为60平方米建立等式。首先分析水平方向：大矩形长18米，左右两侧各有1段宽x的通道，两块绿地中间还有1段宽x的通道，共3段通道，因此两块绿地的总长度为18-3x；再分析垂直方向：大矩形宽6米，上下各有1段宽x的通道，共2段通道，因此绿地的宽度为6-2x。最后根据矩形面积公式列方程，整理为最简形式即可匹配选项。
【解析】
设人行道的宽度为x米。
1. 计算绿地的总长度：水平方向共有3段宽度为x的通道，因此两块绿地的总长度为$18 - 3x$米；
2. 计算绿地的宽度：垂直方向共有2段宽度为x的通道，因此绿地的宽度为$6 - 2x$米；
3. 根据两块绿地面积之和为60平方米，列方程：
$(18 - 3x)(6 - 2x) = 60$
展开并整理方程：
左边展开得$108 - 36x - 18x + 6x^2 = 60$
移项合并同类项得$6x^2 - 54x + 48 = 0$
两边同时除以6化简得$x^2 - 9x + 8 = 0$
因此符合的方程为选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是典型的几何通道类列方程问题，解题关键是准确数出不同方向的通道数量，正确扣除通道宽度得到绿地的长宽参数，整理方程时注意化简为最简形式再对比选项，易错点是数错通道数量导致长宽表达式错误。
【难度系数】
0.7
7.设$x_1,x_2$是方程$x^2+3x-3=0$的两个实数根，则$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$的值为（
A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
B
）.A.5
B.$-5$
C.1
D.$-1$
答案
7.B
解析
【分析】
要求两根的分式和的值，无需先求出方程的两个实根，可先对所求代数式进行变形，再结合一元二次方程根与系数的关系求解。首先将$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分，得到$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$，再利用完全平方公式将分子转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，最后代入根据根与系数关系得到的两根之和、两根之积计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2+3x-3=0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-3$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{3}{1}=-3$，$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$。
对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$=\frac{(-3)^2-2×(-3)}{-3}=\frac{9+6}{-3}=\frac{15}{-3}=-5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，代数式变形，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心是灵活运用根与系数的关系，通过代数式变形将所求式子转化为仅含两根和、两根积的形式，避免了求解方程根的繁琐计算，同时要注意运算过程中的符号问题。
【难度系数】
0.7
要求两根的分式和的值，无需先求出方程的两个实根，可先对所求代数式进行变形，再结合一元二次方程根与系数的关系求解。首先将$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$通分，得到$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$，再利用完全平方公式将分子转化为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，最后代入根据根与系数关系得到的两根之和、两根之积计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2+3x-3=0$，其中$a=1$，$b=3$，$c=-3$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{3}{1}=-3$，$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$。
对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$=\frac{(-3)^2-2×(-3)}{-3}=\frac{9+6}{-3}=\frac{15}{-3}=-5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
根与系数的关系，代数式变形，完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心是灵活运用根与系数的关系，通过代数式变形将所求式子转化为仅含两根和、两根积的形式，避免了求解方程根的繁琐计算，同时要注意运算过程中的符号问题。
【难度系数】
0.7
8. 关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 - 2x + 3 = 0$有实数根，则整数$a$的最大值是（
A.2
B.1
C.0
D.$-1$
C
）。A.2
B.1
C.0
D.$-1$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和有实数根的条件分步思考：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程；其次，方程有实数根说明根的判别式大于等于0。我们先分别根据这两个条件列出不等式，求出a的取值范围，再在范围内找最大的整数a即可。
【解析】
解：
∵$(a-1)x^2 - 2x + 3 = 0$是一元二次方程，且有实数根
∴第一步：满足一元二次方程定义，二次项系数不为0
$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$
第二步：满足有实数根的条件，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(a-1)×3 ≥ 0$
计算化简：
$4 - 12(a-1) ≥ 0$
$4 -12a +12 ≥ 0$
$16 -12a ≥ 0$
$12a ≤ 16$
$a ≤ \frac{4}{3} \approx 1.33$
结合$a ≠ 1$且a为整数，符合条件的整数有0、-1、-2……，其中最大的整数是0。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，误选答案A，解题时要注意先保证方程是一元二次方程，再计算判别式的范围。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合一元二次方程的定义和有实数根的条件分步思考：首先，一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程就不是一元二次方程；其次，方程有实数根说明根的判别式大于等于0。我们先分别根据这两个条件列出不等式，求出a的取值范围，再在范围内找最大的整数a即可。
【解析】
解：
∵$(a-1)x^2 - 2x + 3 = 0$是一元二次方程，且有实数根
∴第一步：满足一元二次方程定义，二次项系数不为0
$a-1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$
第二步：满足有实数根的条件，根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$
其中二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=3$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(a-1)×3 ≥ 0$
计算化简：
$4 - 12(a-1) ≥ 0$
$4 -12a +12 ≥ 0$
$16 -12a ≥ 0$
$12a ≤ 16$
$a ≤ \frac{4}{3} \approx 1.33$
结合$a ≠ 1$且a为整数，符合条件的整数有0、-1、-2……，其中最大的整数是0。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，误选答案A，解题时要注意先保证方程是一元二次方程，再计算判别式的范围。
【难度系数】
0.7
9.已知α,β是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个实数根，则$α^2 +αβ +β^2$的值为（
A.-1
B.9
C.23
D.27
D
）.A.-1
B.9
C.23
D.27
答案
9.D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，解题思路如下：首先不需要分别求出α、β的具体值，观察所求代数式α²+αβ+β²，可通过完全平方公式变形为含两根之和、两根之积的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出两根之和α+β与两根之积αβ的值；最后将数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵α，β是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{-5}{1}=5$，$αβ=\frac{-2}{1}=-2$
又
∵$α^2+αβ+β^2=(α+β)^2-αβ$
将$α+β=5$，$αβ=-2$代入得：
原式$=5^2 - (-2)=25+2=27$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是利用代数式变形实现整体代入，避免求解方程的根，既简化了计算步骤，也降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，解题思路如下：首先不需要分别求出α、β的具体值，观察所求代数式α²+αβ+β²，可通过完全平方公式变形为含两根之和、两根之积的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出两根之和α+β与两根之积αβ的值；最后将数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵α，β是一元二次方程$x^2 -5x -2=0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{-5}{1}=5$，$αβ=\frac{-2}{1}=-2$
又
∵$α^2+αβ+β^2=(α+β)^2-αβ$
将$α+β=5$，$αβ=-2$代入得：
原式$=5^2 - (-2)=25+2=27$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是利用代数式变形实现整体代入，避免求解方程的根，既简化了计算步骤，也降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
10. 已知一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的较小根为$x_1$，则下面对$x_1$的估计正确的是（
A.$-2 ＜ x_1 ＜ -1$
B.$-3 ＜ x_1 ＜ -2$
C.$2 ＜ x_1 ＜ 3$
D.$-1 ＜ x_1 ＜ 0$
A
）。A.$-2 ＜ x_1 ＜ -1$
B.$-3 ＜ x_1 ＜ -2$
C.$2 ＜ x_1 ＜ 3$
D.$-1 ＜ x_1 ＜ 0$
答案
10.A
解析
【分析】
要估计方程较小根的范围，首先需要先求出一元二次方程的根的表达式，再通过估算无理数的大小，结合不等式的性质推导较小根的取值范围，最后匹配选项即可。第一步先用求根公式求出方程的两个根，找到较小根；第二步估算根号13的大小，再通过不等式变形得到较小根的范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13＞0$，
根据求根公式可得方程的根为：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，
则较小根$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$。
接下来估算$\sqrt{13}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$，
不等式两边同时加1，得：$1 - 4 ＜ 1 - \sqrt{13} ＜ 1 - 3$，即$-3 ＜ 1 - \sqrt{13} ＜ -2$，
不等式两边同时除以2，得：$-\frac{3}{2} ＜ \frac{1 - \sqrt{13}}{2} ＜ -1$，即$-1.5 ＜ x_1 ＜ -1$，
该范围属于$-2 ＜ x_1 ＜ -1$，因此A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算，不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的根的求解和无理数的范围估算，解题的关键是正确求出较小根的表达式，估算无理数时注意找到相邻的两个完全平方数，变形不等式时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
要估计方程较小根的范围，首先需要先求出一元二次方程的根的表达式，再通过估算无理数的大小，结合不等式的性质推导较小根的取值范围，最后匹配选项即可。第一步先用求根公式求出方程的两个根，找到较小根；第二步估算根号13的大小，再通过不等式变形得到较小根的范围。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 1 + 12 = 13＞0$，
根据求根公式可得方程的根为：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，
则较小根$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$。
接下来估算$\sqrt{13}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$-4 ＜ -\sqrt{13} ＜ -3$，
不等式两边同时加1，得：$1 - 4 ＜ 1 - \sqrt{13} ＜ 1 - 3$，即$-3 ＜ 1 - \sqrt{13} ＜ -2$，
不等式两边同时除以2，得：$-\frac{3}{2} ＜ \frac{1 - \sqrt{13}}{2} ＜ -1$，即$-1.5 ＜ x_1 ＜ -1$，
该范围属于$-2 ＜ x_1 ＜ -1$，因此A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算，不等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的根的求解和无理数的范围估算，解题的关键是正确求出较小根的表达式，估算无理数时注意找到相邻的两个完全平方数，变形不等式时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
11. 若一元二次方程$x^2 + mx + 3 = 0$的一个根为－1，则另一个根为
−3
。答案
11.−3
解析
【分析】
解题思路有两种：①利用方程根的定义：已知方程的一个根，可先将该根代入原方程求出未知参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；②利用根与系数的关系：对于一元二次方程$ax²+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，已知其中一个根，可直接通过乘积关系求出另一个根，无需计算参数，解题更快捷。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
将$x=-1$代入原方程得：$(-1)^2 + m×(-1) + 3 = 0$
化简得：$1 - m + 3 = 0$，解得$m=4$
则原方程为$x^2 + 4x + 3 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x+3)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$，即另一个根为-3。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2 + mx + 3 = 0$，$a=1$，$c=3$
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=3$
已知一个根$x_1=-1$，代入得：$-1× x_2=3$
解得$x_2=-3$，即另一个根为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，两种解题方法都适用，其中运用根与系数的关系可跳过参数计算，直接求出未知根，能有效提升解题速度，同学们可根据自身掌握情况灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
解题思路有两种：①利用方程根的定义：已知方程的一个根，可先将该根代入原方程求出未知参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；②利用根与系数的关系：对于一元二次方程$ax²+bx+c=0(a≠0)$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，已知其中一个根，可直接通过乘积关系求出另一个根，无需计算参数，解题更快捷。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
将$x=-1$代入原方程得：$(-1)^2 + m×(-1) + 3 = 0$
化简得：$1 - m + 3 = 0$，解得$m=4$
则原方程为$x^2 + 4x + 3 = 0$
因式分解得：$(x+1)(x+3)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=-3$，即另一个根为-3。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2 + mx + 3 = 0$，$a=1$，$c=3$
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=3$
已知一个根$x_1=-1$，代入得：$-1× x_2=3$
解得$x_2=-3$，即另一个根为-3。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的基础题型，两种解题方法都适用，其中运用根与系数的关系可跳过参数计算，直接求出未知根，能有效提升解题速度，同学们可根据自身掌握情况灵活选择方法。
【难度系数】
0.9
12.若$m$，$n$是方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个实数根，则$m^2 + 2m + n$的值为
0
.答案
12.0
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到m²+m的取值；再将待求代数式拆分为含m²+m和m+n的组合形式；最后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和m+n，整体代入计算即可得到结果，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
1. 因为m是方程$x^2 + x - 1 = 0$的实数根，将x=m代入方程可得：
$m^2 + m - 1 = 0$，整理得$m^2 + m = 1$。
2. 因为m、n是方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此：
$m + n = -\frac{1}{1} = -1$。
3. 对待求式变形可得：
$m^2 + 2m + n = (m^2 + m) + (m + n)$
将$m^2 + m = 1$、$m + n = -1$代入上式，得：
原式$=1 + (-1) = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的经典常考题型，核心技巧是整体代入法，避免了求解方程根的复杂计算，重点考察对根的定义、根与系数关系的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，得到m²+m的取值；再将待求代数式拆分为含m²+m和m+n的组合形式；最后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和m+n，整体代入计算即可得到结果，无需单独求解m、n的具体值。
【解析】
1. 因为m是方程$x^2 + x - 1 = 0$的实数根，将x=m代入方程可得：
$m^2 + m - 1 = 0$，整理得$m^2 + m = 1$。
2. 因为m、n是方程$x^2 + x - 1 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，因此：
$m + n = -\frac{1}{1} = -1$。
3. 对待求式变形可得：
$m^2 + 2m + n = (m^2 + m) + (m + n)$
将$m^2 + m = 1$、$m + n = -1$代入上式，得：
原式$=1 + (-1) = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程的经典常考题型，核心技巧是整体代入法，避免了求解方程根的复杂计算，重点考察对根的定义、根与系数关系的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13.若将方程$x^2 +6x=7$化为$(x+m)^2=16$，则$m=$
3
.答案
13.3
解析
【分析】
本题需要运用配方法将一元二次方程转化为完全平方式的形式，解题思路为：先找到原方程左侧二次式的一次项系数，计算出一次项系数一半的平方，给方程两边同时加上这个数，将左侧配方为完全平方形式，再和题目给出的$(x+m)^2=16$对照，即可求出m的值。
【解析】
对原方程$x^2+6x=7$进行配方：
1. 一次项系数为6，其一半为$6÷2=3$，平方为$3^2=9$；
2. 方程两边同时加9，可得$x^2+6x+9=7+9$；
3. 左侧利用完全平方公式变形为$(x+3)^2$，右侧计算得16，即$(x+3)^2=16$；
对比$(x+m)^2=16$，可得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方时方程两边需同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题需要运用配方法将一元二次方程转化为完全平方式的形式，解题思路为：先找到原方程左侧二次式的一次项系数，计算出一次项系数一半的平方，给方程两边同时加上这个数，将左侧配方为完全平方形式，再和题目给出的$(x+m)^2=16$对照，即可求出m的值。
【解析】
对原方程$x^2+6x=7$进行配方：
1. 一次项系数为6，其一半为$6÷2=3$，平方为$3^2=9$；
2. 方程两边同时加9，可得$x^2+6x+9=7+9$；
3. 左侧利用完全平方公式变形为$(x+3)^2$，右侧计算得16，即$(x+3)^2=16$；
对比$(x+m)^2=16$，可得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方时方程两边需同时加上一次项系数一半的平方，保证等式成立，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9
14. 若方程$9x^2 - (k + 6)x + k + 1 = 0$有两个相等的实数根，则$k=$
0 或 24
。答案
14.0 或 24
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题思路如下：首先明确当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$；接着对应找出方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式得到关于$k$的一元二次方程；最后解方程即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$9x^2 - (k + 6)x + k + 1 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中$a=9$，$b=-(k+6)$，$c=k+1$，代入得：
$[-(k+6)]^2 - 4×9×(k+1) = 0$
展开计算：
$k^2 + 12k + 36 - 36(k+1) = 0$
$k^2 +12k +36 -36k -36 = 0$
合并同类项得：
$k^2 -24k = 0$
因式分解得：
$k(k-24)=0$
解得：$k=0$或$k=24$
【答案】
0或24
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是掌握“一元二次方程有两个相等的实数根等价于判别式$\Delta=0$”，计算过程中要注意一次项系数的符号，避免展开时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题思路如下：首先明确当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=0$；接着对应找出方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式得到关于$k$的一元二次方程；最后解方程即可求出$k$的值。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$9x^2 - (k + 6)x + k + 1 = 0$有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
其中$a=9$，$b=-(k+6)$，$c=k+1$，代入得：
$[-(k+6)]^2 - 4×9×(k+1) = 0$
展开计算：
$k^2 + 12k + 36 - 36(k+1) = 0$
$k^2 +12k +36 -36k -36 = 0$
合并同类项得：
$k^2 -24k = 0$
因式分解得：
$k(k-24)=0$
解得：$k=0$或$k=24$
【答案】
0或24
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是掌握“一元二次方程有两个相等的实数根等价于判别式$\Delta=0$”，计算过程中要注意一次项系数的符号，避免展开时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
15. 若一个等腰三角形三边长均满足方程$x^2 -11x +18=0$，则此三角形的周长为
6 或 20 或 27
。答案
15.6 或 20 或 27
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到边长的可能取值；第二步结合等腰三角形的性质（含等边这一特殊等腰三角形），分类讨论三边长的所有组合；第三步对每一种组合用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，符合要求的再计算周长，排除不符合的情况。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -11x +18=0$因式分解，得$(x-2)(x-9)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=9$，即三角形的边长只能为2或9。
2. 结合等腰三角形性质分类讨论：
（1）等边三角形（特殊的等腰三角形）：
① 三边长均为2：满足$2+2＞2$，可构成三角形，周长为$2×3=6$；
② 三边长均为9：满足$9+9＞9$，可构成三角形，周长为$9×3=27$。
（2）腰和底不相等的等腰三角形：
① 腰长为2，底边长为9：$2+2=4＜9$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 腰长为9，底边长为2：满足$9+9＞2$、$9+2＞9$，可构成三角形，周长为$9+9+2=20$。
综上，符合要求的三角形周长为6或20或27。
【答案】
6或20或27
【知识点】
一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题常见误区是遗漏等边三角形的情况，或者未验证三边关系错算不符合要求的组合，做题时要注意分类全面，每类边长组合都先判断能否构成三角形再计算周长。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到边长的可能取值；第二步结合等腰三角形的性质（含等边这一特殊等腰三角形），分类讨论三边长的所有组合；第三步对每一种组合用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，符合要求的再计算周长，排除不符合的情况。
【解析】
1. 求解一元二次方程：
对$x^2 -11x +18=0$因式分解，得$(x-2)(x-9)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=9$，即三角形的边长只能为2或9。
2. 结合等腰三角形性质分类讨论：
（1）等边三角形（特殊的等腰三角形）：
① 三边长均为2：满足$2+2＞2$，可构成三角形，周长为$2×3=6$；
② 三边长均为9：满足$9+9＞9$，可构成三角形，周长为$9×3=27$。
（2）腰和底不相等的等腰三角形：
① 腰长为2，底边长为9：$2+2=4＜9$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 腰长为9，底边长为2：满足$9+9＞2$、$9+2＞9$，可构成三角形，周长为$9+9+2=20$。
综上，符合要求的三角形周长为6或20或27。
【答案】
6或20或27
【知识点】
一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题常见误区是遗漏等边三角形的情况，或者未验证三边关系错算不符合要求的组合，做题时要注意分类全面，每类边长组合都先判断能否构成三角形再计算周长。
【难度系数】
0.6
16. 把一根长度为14 cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12 cm²，则这个矩形的对角线长是
5
cm.答案
16.5
解析
【分析】
解题时先明确铁丝长度就是矩形的周长，结合已知面积可得到矩形长与宽的和、长与宽的乘积。要求矩形对角线，可借助勾股定理，利用完全平方公式的变形直接计算长的平方加宽的平方，无需单独求解长和宽的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
设矩形的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
1. 根据矩形周长公式：$2(a+b)=14$，化简得$a+b=7$；
2. 根据矩形面积公式：$ab=12$；
3. 矩形的对角线与长、宽构成直角三角形，由勾股定理得对角线长$l=\sqrt{a^2+b^2}$；
4. 由完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算：
$a^2+b^2=7^2-2×12=49-24=25$，因此$l=\sqrt{25}=5$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，完全平方公式应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，既考查了矩形的周长、面积性质和勾股定理的应用，也考查了对完全平方公式变形的灵活运用，两种解题思路（直接解方程求边长、用公式变形计算）都能得到结果，后者计算更便捷。
【难度系数】
0.7
解题时先明确铁丝长度就是矩形的周长，结合已知面积可得到矩形长与宽的和、长与宽的乘积。要求矩形对角线，可借助勾股定理，利用完全平方公式的变形直接计算长的平方加宽的平方，无需单独求解长和宽的具体数值，简化计算步骤。
【解析】
设矩形的长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$。
1. 根据矩形周长公式：$2(a+b)=14$，化简得$a+b=7$；
2. 根据矩形面积公式：$ab=12$；
3. 矩形的对角线与长、宽构成直角三角形，由勾股定理得对角线长$l=\sqrt{a^2+b^2}$；
4. 由完全平方公式变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算：
$a^2+b^2=7^2-2×12=49-24=25$，因此$l=\sqrt{25}=5$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，完全平方公式应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，既考查了矩形的周长、面积性质和勾股定理的应用，也考查了对完全平方公式变形的灵活运用，两种解题思路（直接解方程求边长、用公式变形计算）都能得到结果，后者计算更便捷。
【难度系数】
0.7
17.已知关于x的方程$x^2 + 2kx + k^2 + k + 3 = 0$的两根分别是$x_1, x_2$，则$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2$的最小值是
8
。答案
17.8
解析
【分析】
解题思路分三步：1. 先根据一元二次方程有两个实根的条件，计算判别式Δ≥0，求出参数k的取值范围，这是保证两根存在的前提；2. 将待求的代数式$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2$展开变形，转化为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式，再利用根与系数的关系代入，得到关于k的二次函数；3. 结合k的取值范围，根据二次函数的增减性求出最小值，注意不能直接取二次函数顶点值，要判断顶点是否在k的取值范围内。
【解析】
1. 求k的取值范围：
方程$x^2 + 2kx + k^2 + k + 3 = 0$有两个实根，因此判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta=(2k)^2 - 4×1×(k^2 + k + 3)=4k^2 - 4k^2 - 4k - 12=-4k - 12$
令$-4k - 12≥0$，解得$k≤ -3$。
2. 由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-2k$，$x_1x_2=k^2 + k + 3$。
3. 变形待求代数式：
$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2$
$=x_1^2 - 2x_1 + 1 + x_2^2 - 2x_2 + 1$
$=(x_1^2 + x_2^2) - 2(x_1+x_2) + 2$
$=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 2$
4. 代入根与系数的结果，整理得关于k的函数：
将$x_1+x_2=-2k$，$x_1x_2=k^2 + k + 3$代入上式：
$=(-2k)^2 - 2(k^2 + k + 3) - 2×(-2k) + 2$
$=4k^2 - 2k^2 - 2k - 6 + 4k + 2$
$=2k^2 + 2k - 4$
5. 求二次函数在$k≤ -3$时的最小值：
二次函数$y=2k^2 + 2k - 4$开口向上，对称轴为$k=-\frac{2}{2×2}=-0.5$，
在$k≤ -0.5$的区间内，y随k的增大而减小，
结合$k≤ -3$的范围，当k取最大值$-3$时，y取得最小值：
将$k=-3$代入得：$2×(-3)^2 + 2×(-3) - 4=18 - 6 - 4=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值
【点评】
本题属于代数综合题，易错点是容易忽略方程有实根的前提，未先求出k的取值范围，直接代入二次函数顶点计算得到错误结果，解题时要先保证根的存在性，再结合参数的取值范围求代数式的最值。
【难度系数】
0.5
解题思路分三步：1. 先根据一元二次方程有两个实根的条件，计算判别式Δ≥0，求出参数k的取值范围，这是保证两根存在的前提；2. 将待求的代数式$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2$展开变形，转化为用两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$表示的形式，再利用根与系数的关系代入，得到关于k的二次函数；3. 结合k的取值范围，根据二次函数的增减性求出最小值，注意不能直接取二次函数顶点值，要判断顶点是否在k的取值范围内。
【解析】
1. 求k的取值范围：
方程$x^2 + 2kx + k^2 + k + 3 = 0$有两个实根，因此判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta=(2k)^2 - 4×1×(k^2 + k + 3)=4k^2 - 4k^2 - 4k - 12=-4k - 12$
令$-4k - 12≥0$，解得$k≤ -3$。
2. 由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-2k$，$x_1x_2=k^2 + k + 3$。
3. 变形待求代数式：
$(x_1 - 1)^2 + (x_2 - 1)^2$
$=x_1^2 - 2x_1 + 1 + x_2^2 - 2x_2 + 1$
$=(x_1^2 + x_2^2) - 2(x_1+x_2) + 2$
$=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 - 2(x_1+x_2) + 2$
4. 代入根与系数的结果，整理得关于k的函数：
将$x_1+x_2=-2k$，$x_1x_2=k^2 + k + 3$代入上式：
$=(-2k)^2 - 2(k^2 + k + 3) - 2×(-2k) + 2$
$=4k^2 - 2k^2 - 2k - 6 + 4k + 2$
$=2k^2 + 2k - 4$
5. 求二次函数在$k≤ -3$时的最小值：
二次函数$y=2k^2 + 2k - 4$开口向上，对称轴为$k=-\frac{2}{2×2}=-0.5$，
在$k≤ -0.5$的区间内，y随k的增大而减小，
结合$k≤ -3$的范围，当k取最大值$-3$时，y取得最小值：
将$k=-3$代入得：$2×(-3)^2 + 2×(-3) - 4=18 - 6 - 4=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的最值
【点评】
本题属于代数综合题，易错点是容易忽略方程有实根的前提，未先求出k的取值范围，直接代入二次函数顶点计算得到错误结果，解题时要先保证根的存在性，再结合参数的取值范围求代数式的最值。
【难度系数】
0.5
