登录
11. 某百货大楼服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元.为了迎接“元旦”,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存,经市场调查发现:如果每件童装降价 1 元,那么平均每天就可多售出 2 件,现设降价 $ x $ 元,日销售量为 $ y $ 件,每天的销售总利润为 $ W $ 元.
(1)用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.
(2)当 $ x=3 $ 时,求 $ W $ 的值.
(3)要想销售这种童装平均每天能盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元?
(1)用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.
(2)当 $ x=3 $ 时,求 $ W $ 的值.
(3)要想销售这种童装平均每天能盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元?
答案
11.(1)$y=20+2x$.
(2)$W=(40-x)(20+2x)$,
当$x=3$时,$W=962$.
(3)依题意,得$(40-x)·(20+2x)=1\ 200$.
解得$x_1=10,x_2=20$.均符合题意,
即每件童装应降低10元或20元.
(2)$W=(40-x)(20+2x)$,
当$x=3$时,$W=962$.
(3)依题意,得$(40-x)·(20+2x)=1\ 200$.
解得$x_1=10,x_2=20$.均符合题意,
即每件童装应降低10元或20元.
解析
【分析】
（1）日销售量由原有销量和新增销量组成：原本每天售出20件，每降价1元多售出2件，降价x元时新增销量为2x件，将原有销量和新增销量相加即可得到y的表达式。
（2）销售总利润的核心等量关系为“总利润=每件利润×销售量”：降价x元后每件利润为(40-x)元，销售量为第一问得出的(20+2x)件，据此写出W的表达式，再代入x=3计算即可。
（3）若每天盈利1200元，即总利润W=1200，代入W的表达式得到一元二次方程，求解后结合“扩大销售量、减少库存”的要求验证解的合理性，即可得到最终结果。
【解析】
（1）原有日销量20件，降价x元后新增销量2x件，因此：
$y=20+2x$
（2）每件利润为$(40-x)$元，销售量为$(20+2x)$件，因此总利润：
$W=(40-x)(20+2x)$
当$x=3$时，代入得：
$W=(40-3)×(20+2×3)=37×26=962$
（3）依题意令$W=1200$，列方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$
两个解均满足扩大销售量、减少库存的要求，都符合题意。
【答案】
(1)$y=20+2x$
(2)当$x=3$时，$W=962$
(3)每件童装应降价10元或20元
【知识点】
列代数式；一元二次方程应用；销售利润计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题关键是找准销售问题中总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，求解方程后要注意结合实际需求验证解的合理性。
【难度系数】
0.75
（1）日销售量由原有销量和新增销量组成：原本每天售出20件，每降价1元多售出2件，降价x元时新增销量为2x件，将原有销量和新增销量相加即可得到y的表达式。
（2）销售总利润的核心等量关系为“总利润=每件利润×销售量”：降价x元后每件利润为(40-x)元，销售量为第一问得出的(20+2x)件，据此写出W的表达式，再代入x=3计算即可。
（3）若每天盈利1200元，即总利润W=1200，代入W的表达式得到一元二次方程，求解后结合“扩大销售量、减少库存”的要求验证解的合理性，即可得到最终结果。
【解析】
（1）原有日销量20件，降价x元后新增销量2x件，因此：
$y=20+2x$
（2）每件利润为$(40-x)$元，销售量为$(20+2x)$件，因此总利润：
$W=(40-x)(20+2x)$
当$x=3$时，代入得：
$W=(40-3)×(20+2×3)=37×26=962$
（3）依题意令$W=1200$，列方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
整理得：$x^2-30x+200=0$
因式分解得：$(x-10)(x-20)=0$
解得$x_1=10$，$x_2=20$
两个解均满足扩大销售量、减少库存的要求，都符合题意。
【答案】
(1)$y=20+2x$
(2)当$x=3$时，$W=962$
(3)每件童装应降价10元或20元
【知识点】
列代数式；一元二次方程应用；销售利润计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题关键是找准销售问题中总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，求解方程后要注意结合实际需求验证解的合理性。
【难度系数】
0.75
12. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门。所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m²？
答案
12. 设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m,则矩形猪舍的另一边为$(26-2x)\mathrm{m}$.
根据题意,得$x(26-2x)=80$,
解得$x_1=5,x_2=8$.
当$x=5$时,$26-2x=16＞12$(舍去);
当$x=8$时,$26-2x=10＜12$.
因此所建矩形猪舍的长为10 m,宽为8 m.
根据题意,得$x(26-2x)=80$,
解得$x_1=5,x_2=8$.
当$x=5$时,$26-2x=16＞12$(舍去);
当$x=8$时,$26-2x=10＜12$.
因此所建矩形猪舍的长为10 m,宽为8 m.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先梳理题意中的数量关系：猪舍一边靠住房墙，另外三边总建筑材料长25m，垂直于墙的一侧留了1m宽的门，要求猪舍面积为80m²。我们可以先设垂直于住房墙的边长为未知数，结合总材料长度表示出平行于住房墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解。需要注意的是，平行于墙的边长不能超过住房墙的长度12m，因此解出方程后要检验根是否符合实际意义，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $。
由于垂直于墙的一侧有1m宽的门，相当于三边可利用的总长度为$ 25+1=26 \, \mathrm{m} $，因此平行于住房墙的一边长为$ (26-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式列方程：
$x(26-2x)=80$
整理得：$x^2-13x+40=0$
因式分解得：$(x-5)(x-8)=0$
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=8 $。
检验解的合理性：
当$ x=5 $时，$ 26-2x=16 \, \mathrm{m} $，$ 16＞12 $，超过住房墙长度，不符合实际，舍去；
当$ x=8 $时，$ 26-2x=10 \, \mathrm{m} $，$ 10＜12 $，符合实际要求。
即矩形猪舍平行于墙的边长为10m，垂直于墙的边长为8m。
【答案】
所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的典型题型，易错点有两处：一是计算平行于墙的边长时容易忽略门的宽度，导致边长表达式错误；二是解出方程后容易遗漏结合墙长检验根的合理性，出现多解错误，解题时要注意结合实际场景验证结果。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先梳理题意中的数量关系：猪舍一边靠住房墙，另外三边总建筑材料长25m，垂直于墙的一侧留了1m宽的门，要求猪舍面积为80m²。我们可以先设垂直于住房墙的边长为未知数，结合总材料长度表示出平行于住房墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解。需要注意的是，平行于墙的边长不能超过住房墙的长度12m，因此解出方程后要检验根是否符合实际意义，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $。
由于垂直于墙的一侧有1m宽的门，相当于三边可利用的总长度为$ 25+1=26 \, \mathrm{m} $，因此平行于住房墙的一边长为$ (26-2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式列方程：
$x(26-2x)=80$
整理得：$x^2-13x+40=0$
因式分解得：$(x-5)(x-8)=0$
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=8 $。
检验解的合理性：
当$ x=5 $时，$ 26-2x=16 \, \mathrm{m} $，$ 16＞12 $，超过住房墙长度，不符合实际，舍去；
当$ x=8 $时，$ 26-2x=10 \, \mathrm{m} $，$ 10＜12 $，符合实际要求。
即矩形猪舍平行于墙的边长为10m，垂直于墙的边长为8m。
【答案】
所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的典型题型，易错点有两处：一是计算平行于墙的边长时容易忽略门的宽度，导致边长表达式错误；二是解出方程后容易遗漏结合墙长检验根的合理性，出现多解错误，解题时要注意结合实际场景验证结果。
【难度系数】
0.6
13. 新情境 保护大气环境 某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善某市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同.
(1)求每期减少的百分率是多少.
(2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问：两期治理完成后需投入多少万元？
(1)求每期减少的百分率是多少.
(2)预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问：两期治理完成后需投入多少万元？
答案
13.(1)设每期减少的百分率是x,
根据题意,得$400(1-x)^2=256$,
解得$x_1=0.2,x_2=1.8$(舍去),
所以每期减少的百分率为20%.
(2)根据题意,得$400×0.2×3=240$(万元),
$(400-400×0.2)×0.2×4.5=288$(万元),
∴$240+288=528$(万元).
故两期治理完成后需要投入528万元.
根据题意,得$400(1-x)^2=256$,
解得$x_1=0.2,x_2=1.8$(舍去),
所以每期减少的百分率为20%.
(2)根据题意,得$400×0.2×3=240$(万元),
$(400-400×0.2)×0.2×4.5=288$(万元),
∴$240+288=528$(万元).
故两期治理完成后需要投入528万元.
解析
【分析】
(1)本题属于平均减少率类的实际应用问题，解题核心是利用变化率的等量关系：初始量×(1-减少率)^期数=最终量。我们设每期减少的百分率为x，已知初始废气排放量为400万立方米，经过2期治理后排放量为256万立方米，代入等量关系列方程即可，注意减少率的取值范围是0＜x＜1，需舍去不符合实际的解。
(2)计算总投入时，要分别计算两期治理减少的废气量：第一期减少量以初始排放量为基数计算，第二期减少量以第一期治理后的剩余排放量为基数计算，再用每期减少量乘以对应每万立方米的投入费用，求和即可得到总投入。
【解析】
(1)设每期减少的百分率是x，
根据题意可列方程：$400(1-x)^2=256$，
方程两边同时除以400得：$(1-x)^2=0.64$，
开平方得：$1-x=\pm0.8$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$，
因为减少率需小于1，$x_2=1.8$不符合实际意义，故舍去。
(2)第一期治理减少的废气量为：$400×20\%=80$（万立方米），
第一期投入费用：$80×3=240$（万元），
第一期治理后剩余废气量为：$400-80=320$（万立方米），
第二期治理减少的废气量为：$320×20\%=64$（万立方米），
第二期投入费用：$64×4.5=288$（万元），
两期总投入为：$240+288=528$（万元）。
【答案】
(1)每期减少的百分率为20%；
(2)两期治理完成后需要投入528万元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题结合大气环境保护的实际情境，考查了一元二次方程在平均变化率问题中的应用，解题时需注意两点：一是求解方程后要结合实际意义舍去不合理解，二是计算第二期减少的废气量时，需以第一期治理后的排放量为基数，避免误以初始量为基数计算导致错误。
【难度系数】
0.7
(1)本题属于平均减少率类的实际应用问题，解题核心是利用变化率的等量关系：初始量×(1-减少率)^期数=最终量。我们设每期减少的百分率为x，已知初始废气排放量为400万立方米，经过2期治理后排放量为256万立方米，代入等量关系列方程即可，注意减少率的取值范围是0＜x＜1，需舍去不符合实际的解。
(2)计算总投入时，要分别计算两期治理减少的废气量：第一期减少量以初始排放量为基数计算，第二期减少量以第一期治理后的剩余排放量为基数计算，再用每期减少量乘以对应每万立方米的投入费用，求和即可得到总投入。
【解析】
(1)设每期减少的百分率是x，
根据题意可列方程：$400(1-x)^2=256$，
方程两边同时除以400得：$(1-x)^2=0.64$，
开平方得：$1-x=\pm0.8$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$，
因为减少率需小于1，$x_2=1.8$不符合实际意义，故舍去。
(2)第一期治理减少的废气量为：$400×20\%=80$（万立方米），
第一期投入费用：$80×3=240$（万元），
第一期治理后剩余废气量为：$400-80=320$（万立方米），
第二期治理减少的废气量为：$320×20\%=64$（万立方米），
第二期投入费用：$64×4.5=288$（万元），
两期总投入为：$240+288=528$（万元）。
【答案】
(1)每期减少的百分率为20%；
(2)两期治理完成后需要投入528万元。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
【点评】
本题结合大气环境保护的实际情境，考查了一元二次方程在平均变化率问题中的应用，解题时需注意两点：一是求解方程后要结合实际意义舍去不合理解，二是计算第二期减少的废气量时，需以第一期治理后的排放量为基数，避免误以初始量为基数计算导致错误。
【难度系数】
0.7
