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17.(8分)计算或化简：
(1)$(-1)^2 + (π - 2025)^0 - (\dfrac{1}{2})^{-1}$；
(2)$(a - 1)(a + 1) - a(a - 2)$。
(1)$(-1)^2 + (π - 2025)^0 - (\dfrac{1}{2})^{-1}$；
(2)$(a - 1)(a + 1) - a(a - 2)$。
答案
17.解:(1)原式$=1+1-2=0$。(2)原式$=a^2-1-a^2+2a=2a-1$。
解析
【分析】
第(1)小题需分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算：负数的偶次幂为正，故$(-1)^2=1$；非零数的零次幂为1，故$(π - 2025)^0=1$；负整数指数幂等于正指数幂的倒数，故$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，最后将三项结果相加减得结果。第(2)小题先利用平方差公式计算$(a - 1)(a + 1)$，再用单项式乘多项式法则计算$a(a - 2)$，去括号后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 原式$=(-1)^2 + (π - 2025)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}$
$=1 + 1 - 2$
$=0$；
(2) 原式$=(a^2 - 1) - (a^2 - 2a)$
$=a^2 - 1 - a^2 + 2a$
$=2a - 1$。
【答案】
(1)$0$；(2)$2a - 1$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂，平方差公式，整式的化简
【点评】
本题考查基础的幂运算与整式化简，需牢记相关运算法则和公式，注意运算中的符号处理，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
第(1)小题需分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算：负数的偶次幂为正，故$(-1)^2=1$；非零数的零次幂为1，故$(π - 2025)^0=1$；负整数指数幂等于正指数幂的倒数，故$(\frac{1}{2})^{-1}=2$，最后将三项结果相加减得结果。第(2)小题先利用平方差公式计算$(a - 1)(a + 1)$，再用单项式乘多项式法则计算$a(a - 2)$，去括号后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 原式$=(-1)^2 + (π - 2025)^0 - (\frac{1}{2})^{-1}$
$=1 + 1 - 2$
$=0$；
(2) 原式$=(a^2 - 1) - (a^2 - 2a)$
$=a^2 - 1 - a^2 + 2a$
$=2a - 1$。
【答案】
(1)$0$；(2)$2a - 1$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂，平方差公式，整式的化简
【点评】
本题考查基础的幂运算与整式化简，需牢记相关运算法则和公式，注意运算中的符号处理，属于常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
18.(8分)解方程组或分式方程:
(1)$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ x + y = -3; \end{cases}$
(2)$\dfrac{3x - 2}{2x + 1} = 1$。
(1)$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ x + y = -3; \end{cases}$
(2)$\dfrac{3x - 2}{2x + 1} = 1$。
答案
18.解:(1)$\begin{cases} x-2y=3,① \\ x+y=-3,② \end{cases}$ ②-①,得$3y=-6$,解得$y=-2$。把$y=-2$代入②,得$x-2=-3$,解得$x=-1$。所以原方程组的解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=-2。 \end{cases}$ (2)去分母,得$3x-2=2x+1$,移项,合并同类项,得$x=3$。经检验,$x=3$是原分式方程的根。
解析
【分析】
解二元一次方程组时，观察到两个方程中x的系数相同，可采用加减消元法，通过两式相减消去x，先求出y的值，再代入方程求x；解分式方程时，需先去分母转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母不为0，这是分式方程的关键步骤。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} x - 2y = 3,① \\ x + y = -3,② \end{cases}$，用②式减去①式，得：$(x + y) - (x - 2y) = -3 - 3$，化简得$3y = -6$，解得$y = -2$。把$y = -2$代入②式，得$x + (-2) = -3$，解得$x = -1$。因此方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = -2 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{3x - 2}{2x + 1} = 1$，两边同乘最简公分母$2x + 1$（隐含$2x +1≠0$），去分母得：$3x - 2 = 2x + 1$，移项合并同类项得$x = 3$。检验：当$x = 3$时，$2x +1 = 7≠0$，故$x=3$是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-1 \\ y=-2 \end{cases}$；(2) $x=3$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和解分式方程的基本步骤，需注意分式方程求解后必须检验增根，整体难度较低，是学生应熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组时，观察到两个方程中x的系数相同，可采用加减消元法，通过两式相减消去x，先求出y的值，再代入方程求x；解分式方程时，需先去分母转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式分母不为0，这是分式方程的关键步骤。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases} x - 2y = 3,① \\ x + y = -3,② \end{cases}$，用②式减去①式，得：$(x + y) - (x - 2y) = -3 - 3$，化简得$3y = -6$，解得$y = -2$。把$y = -2$代入②式，得$x + (-2) = -3$，解得$x = -1$。因此方程组的解为$\begin{cases} x = -1 \\ y = -2 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{3x - 2}{2x + 1} = 1$，两边同乘最简公分母$2x + 1$（隐含$2x +1≠0$），去分母得：$3x - 2 = 2x + 1$，移项合并同类项得$x = 3$。检验：当$x = 3$时，$2x +1 = 7≠0$，故$x=3$是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-1 \\ y=-2 \end{cases}$；(2) $x=3$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考察二元一次方程组的加减消元法和解分式方程的基本步骤，需注意分式方程求解后必须检验增根，整体难度较低，是学生应熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
19.(8分)先化简,再求值:$\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{2x+6}{x^2-1}÷\dfrac{x+3}{x^2-2x+1}$,其中$x=0$。
答案
19.解:原式$=\frac{2x}{x+1}-\frac{2(x+3)}{(x-1)(x+1)}·\frac{(x-1)^2}{x+3}=\frac{2x}{x+1}-\frac{2(x-1)}{x+1}=\frac{2x-2(x-1)}{x+1}=\frac{2}{x+1}$。把$x=0$代入,得原式$=2$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题需遵循分式运算顺序：先算除法，再算减法。首先对分式的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分，再合并化简，最后代入给定的x值计算，同时注意运算中符号处理和分式有意义的条件。
【解析】
解：原式$=\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{2(x+3)}{(x-1)(x+1)}·\dfrac{(x-1)^2}{x+3}$
$=\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{2x - 2(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{2x - 2x + 2}{x+1}$
$=\dfrac{2}{x+1}$
把$x=0$代入，得原式$=\dfrac{2}{0+1}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式化简求值、分式乘除运算、因式分解
【点评】
本题为基础分式运算题，考查分式运算法则与因式分解的应用，关键是掌握运算顺序，正确约分、通分，计算需细心避免符号错误。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题需遵循分式运算顺序：先算除法，再算减法。首先对分式的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法后约分，再合并化简，最后代入给定的x值计算，同时注意运算中符号处理和分式有意义的条件。
【解析】
解：原式$=\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{2(x+3)}{(x-1)(x+1)}·\dfrac{(x-1)^2}{x+3}$
$=\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{2(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{2x - 2(x-1)}{x+1}$
$=\dfrac{2x - 2x + 2}{x+1}$
$=\dfrac{2}{x+1}$
把$x=0$代入，得原式$=\dfrac{2}{0+1}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式化简求值、分式乘除运算、因式分解
【点评】
本题为基础分式运算题，考查分式运算法则与因式分解的应用，关键是掌握运算顺序，正确约分、通分，计算需细心避免符号错误。
【难度系数】
0.6
20.(8分)照相机成像应用了一个重要原理,即$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}(v≠f)$。其中$f$表示照相机镜头的焦距,$u$表示物体到镜头的距离,$v$表示胶片(像)到镜头的距离。一架照相机$f$已固定,那么就要依靠调整$u,v$来使成像清晰。
(1)用焦距$f=40\ \mathrm{mm}$的相机,拍摄离镜头的距离$u=0.2\ \mathrm{m}$的花卉,成像清晰,那么拍摄时胶片到镜头的距离$v$是多少?
(2)当$u=2v$时,求$\frac{f}{v}$的值。
(1)用焦距$f=40\ \mathrm{mm}$的相机,拍摄离镜头的距离$u=0.2\ \mathrm{m}$的花卉,成像清晰,那么拍摄时胶片到镜头的距离$v$是多少?
(2)当$u=2v$时,求$\frac{f}{v}$的值。
答案
20.解:(1)$f=40\ \mathrm{mm}=0.04\ \mathrm{m}$,$u=0.2\ \mathrm{m}$,将其代入$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$,得$\frac{1}{0.04}=\frac{1}{0.2}+\frac{1}{v}$,解得$v=0.05$。答:拍摄时胶片到镜头的距离$v$是$0.05\ \mathrm{m}$。(2)当$u=2v$时,$\frac{1}{f}=\frac{1}{2v}+\frac{1}{v}=\frac{1+2}{2v}=\frac{3}{2v}$,所以$\frac{f}{v}=\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用透镜成像公式，结合已知的焦距$f$和物距$u$，先统一单位后代入公式，通过解分式方程求出像距$v$；第(2)问将$u=2v$代入成像公式，通过分式运算变形求出$\frac{f}{v}$的值，解题关键是正确代入公式并熟练进行分式计算，注意单位统一的细节。
【解析】
(1) 先统一单位：$f=40\ \mathrm{mm}=0.04\ \mathrm{m}$，$u=0.2\ \mathrm{m}$。将其代入公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得：
$\frac{1}{0.04}=\frac{1}{0.2}+\frac{1}{v}$，
计算得$25=5+\frac{1}{v}$，
移项解得$\frac{1}{v}=20$，即$v=0.05\ \mathrm{m}$。
(2) 当$u=2v$时，代入公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得：
$\frac{1}{f}=\frac{1}{2v}+\frac{1}{v}=\frac{1+2}{2v}=\frac{3}{2v}$，
交叉变形得$\frac{f}{v}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 拍摄时胶片到镜头的距离$v$是$0.05\ \mathrm{m}$；(2) $\frac{f}{v}$的值为$\frac{2}{3}$。
【知识点】
分式方程的应用、分式的运算
【点评】
本题是透镜成像公式的实际应用，难度较低，主要考查分式方程求解和代数式变形，解题时需注意单位统一，避免计算错误，适合基础阶段学生巩固练习。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问需利用透镜成像公式，结合已知的焦距$f$和物距$u$，先统一单位后代入公式，通过解分式方程求出像距$v$；第(2)问将$u=2v$代入成像公式，通过分式运算变形求出$\frac{f}{v}$的值，解题关键是正确代入公式并熟练进行分式计算，注意单位统一的细节。
【解析】
(1) 先统一单位：$f=40\ \mathrm{mm}=0.04\ \mathrm{m}$，$u=0.2\ \mathrm{m}$。将其代入公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得：
$\frac{1}{0.04}=\frac{1}{0.2}+\frac{1}{v}$，
计算得$25=5+\frac{1}{v}$，
移项解得$\frac{1}{v}=20$，即$v=0.05\ \mathrm{m}$。
(2) 当$u=2v$时，代入公式$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$，得：
$\frac{1}{f}=\frac{1}{2v}+\frac{1}{v}=\frac{1+2}{2v}=\frac{3}{2v}$，
交叉变形得$\frac{f}{v}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) 拍摄时胶片到镜头的距离$v$是$0.05\ \mathrm{m}$；(2) $\frac{f}{v}$的值为$\frac{2}{3}$。
【知识点】
分式方程的应用、分式的运算
【点评】
本题是透镜成像公式的实际应用，难度较低，主要考查分式方程求解和代数式变形，解题时需注意单位统一，避免计算错误，适合基础阶段学生巩固练习。
【难度系数】
0.7
