9. 如图,边长为$ a $的大正方形剪去4个边长为$ x $的小正方形,做成一个无盖纸盒。若无盖纸盒的底面积与表面积之比为$ 2:5 $,则根据题意可知$ a,x $满足的关系式为 （）

A.$\dfrac{a+2x}{a-2x}=\dfrac{2}{5}$
B.$\dfrac{a-2x}{a+2x}=\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{a+x}{a-x}=\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{a-x}{a+x}=\dfrac{2}{5}$

9.B 解析:由题图可得无盖纸盒的底面积为$(a-2x)^2$,表面积为$a^2-4x^2$,所以$\frac{(a-2x)^2}{a^2-4x^2}=\frac{2}{5}$,所以$\frac{a-2x}{a+2x}=\frac{2}{5}$。

【分析】
要解决本题，需先明确无盖纸盒的底面积和表面积的计算方法：大正方形边长为$a$，剪去4个边长为$x$的小正方形后，纸盒底面边长为原边长减去左右各一个小正方形的边长，即$a-2x$；无盖纸盒的表面积等于原大正方形面积减去4个小正方形的面积。再根据底面积与表面积的比例关系列出等式，化简后即可得到$a$、$x$满足的关系式。
【解析】
1. 计算无盖纸盒的底面积：纸盒底面是边长为$(a-2x)$的正方形，因此底面积为$(a-2x)^2$。
2. 计算无盖纸盒的表面积：无盖纸盒的表面积等于原大正方形面积减去4个小正方形的面积，即$a^2 - 4x^2$。
3. 根据题意，底面积与表面积之比为$2:5$，列等式：$\frac{(a-2x)^2}{a^2 -4x^2} = \frac{2}{5}$。
4. 对分母因式分解：$a^2 -4x^2=(a-2x)(a+2x)$，代入等式得：$\frac{(a-2x)^2}{(a-2x)(a+2x)} = \frac{2}{5}$，约去公因式$(a-2x)$（$a≠2x$，否则底面积为0无意义），化简得$\frac{a-2x}{a+2x} = \frac{2}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
整式运算、平方差公式、比例应用
【点评】
本题结合几何图形考查面积计算与分式化简，关键是正确求出底面积和表面积，利用平方差公式化简后得到关系式，属于基础题型，需注意约去公因式的前提条件。
【难度系数】
0.5

10. 如图,在边长为$ a $的正方形$ EFGH $四周分别放置四个边长为$ b $的小正方形,构造了一个大正方形$ ABCD $,并画出阴影部分图形。现将阴影部分图形面积记作$ S_1 $,每一个边长为$ b $的小正方形面积记作$ S_2 $。若$ S_1 = 4S_2 $,则$\frac{a}{b}$的值是 （）

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$

10.A 解析:由题图可得$S_1=(a+2b)^2-2×\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+2b)-\frac{1}{2}(a+b)^2=a^2+4ab+4b^2-b^2-\frac{1}{2}a^2-ab-\frac{1}{2}a^2-ab-\frac{1}{2}b^2=2ab+\frac{5}{2}b^2$,$S_2=b^2$,因为$S_1=4S_2$,所以$2ab+\frac{5}{2}b^2=4b^2$,所以$4ab=3b^2$,所以$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。

【分析】
要解决本题，首先明确大正方形$ABCD$的边长为$a+2b$，采用“整体减空白”的思路计算阴影面积$S_1$：先求出大正方形的面积，再减去图中所有空白三角形的面积，得到$S_1$的表达式；再结合$S_2=b^2$和$S_1=4S_2$的条件建立方程，进而求出$\frac{a}{b}$的值。
【解析】
1. 计算大正方形$ABCD$的面积：大正方形边长为$a+2b$，因此面积为$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$。
2. 计算空白部分的总面积：
两个小三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}b^2=b^2$；
一个三角形面积：$\frac{1}{2}a(a+2b)=\frac{1}{2}a^2+ab$；
另一个三角形面积：$\frac{1}{2}(a+b)^2=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$；
空白总面积为：$b^2 + (\frac{1}{2}a^2+ab) + (\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2)=a^2 + 2ab + \frac{3}{2}b^2$。
3. 计算阴影面积$S_1$：
$S_1=(a^2+4ab+4b^2)-(a^2 + 2ab + \frac{3}{2}b^2)=2ab+\frac{5}{2}b^2$。
4. 代入条件求解：
已知$S_2=b^2$，且$S_1=4S_2$，则：
$2ab+\frac{5}{2}b^2=4b^2$，两边同乘2得$4ab+5b^2=8b^2$，整理得$4ab=3b^2$。
因为$b≠0$，两边除以$4b$得$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
整式混合运算、图形面积计算、代数式求值
【点评】
本题通过“整体减空白”法计算阴影面积，结合整式运算和方程思想求解比值，关键在于准确拆分计算各部分面积，难度适中，需注意代数运算的准确性。
【难度系数】
0.5

11. 要使分式$\dfrac{1}{x-2}$有意义，则$x$的取值应满足________。

11.$x≠2$

【分析】要确定分式有意义时x的取值，需回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此对于分式$\dfrac{1}{x-2}$，只需让其分母$x-2$不等于0，解这个不等式即可得到x的取值范围。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，据此可得：
$x - 2 ≠ 0$，
解得$x ≠ 2$。
【答案】$x≠2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本条件，属于代数基础题，侧重对概念的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9

12.将某班40名学生的跳绳次数分成5组,第1至4组的频数分别为5,10,6,9,则第五组的频数是________。

12.10

【分析】首先明确频数的概念：频数是指每个小组内数据的个数，所有组的频数之和等于数据的总个数（本题中总学生数即为总频数）。解题时，用总学生数减去前4组的频数之和，就能得到第5组的频数。
【解析】已知总学生数为40名，第1至4组的频数分别为5、10、6、9，先计算前4组的频数和：$5 + 10 + 6 + 9 = 30$；再用总频数减去前4组的频数和，得到第5组的频数：$40 - 30 = 10$。
【答案】10
【知识点】频数的计算
【点评】本题是频数相关的基础计算题，核心考查“各组频数之和等于数据总数”的知识点，只要理解频数的基本概念即可轻松解答，属于基础题。
【难度系数】0.9

13.一个容量为$16\ \mathrm{GB}(16\ \mathrm{GB}=2^{24}\ \mathrm{KB})$的便携式 U 盘的内存全部用来存储数码照片，若每张照片文件大小为$2^{11}\ \mathrm{KB}$，则这个 U 盘可以存储这样的数码照片________张。（用2为底的幂表示结果）

13.$2^{13}$

【分析】首先明确，求可存储照片的数量，需用U盘总容量除以单张照片的容量。已知两者均为以2为底的幂的形式，因此需运用同底数幂的除法法则计算，该法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【解析】根据题意，可存储照片数量 = U盘总容量 ÷ 单张照片容量，代入数据得：
$2^{24} ÷ 2^{11}$
依据同底数幂的除法运算性质：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数且$m＞n$），计算得：
$2^{24-11}=2^{13}$
【答案】$2^{13}$
【知识点】同底数幂的除法，幂的运算
【点评】本题结合实际场景考查同底数幂的除法运算，核心是掌握幂的基本运算法则，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.4

14. 如图,已知∠1=∠2,∠3=65°,求∠4的度数。完成下面的说理过程:
已知∠1=∠2,根据“内错角相等,两直线平行”,得a//b。
又根据(),
得∠3+∠4=180°。
而∠3=65°,所以∠4=。

14.两直线平行,同旁内角互补 $115°$

【分析】首先根据已知∠1=∠2，利用“内错角相等，两直线平行”判定直线a与b平行；再观察∠3和∠4是直线a、b被直线d所截形成的同旁内角，结合平行线的性质即可求出∠4的度数。
【解析】已知∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，得a//b；又根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠3+∠4=180°；而∠3=65°，所以∠4=180°−65°=115°。
【答案】115°
【知识点】平行线的性质、平行线的判定
【点评】本题考查平行线的判定与性质，属于基础题型，解题关键是准确识别同旁内角，利用平行线的性质进行计算。
【难度系数】0.8

15. 已知关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} x+y=3m, \\ 2x-y=6n \end{cases} $（$ m,n $ 为实数）的解满足 $ 2x+3y=0 $，则 $ \dfrac{m}{n} = \_\_\_\_\_\_ $。

15.$\frac{1}{4}$ 解析:$\begin{cases} x+y=3m,① \\ 2x-y=6n,② \end{cases}$ ①+②,得$3x=3m+6n$,解得$x=m+2n$,将其代入①,得$m+2n+y=3m$,解得$y=2m-2n$。将$x=m+2n,y=2m-2n$代入$2x+3y=0$,得$2(m+2n)+3(2m-2n)=0$,整理,得$8m=2n$,所以$\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$。

【分析】
本题的解题思路是：首先通过加减消元法求解关于x、y的二元一次方程组，用含m、n的代数式表示x和y；再将所得的x、y代入已知等式2x+3y=0，得到仅含m、n的方程；最后化简该方程，求出m与n的比值。
【解析】
已知方程组$\begin{cases} x+y=3m,① \\ 2x-y=6n,② \end{cases}$
①+②，消去y得：$3x=3m+6n$，两边同除以3，解得$x=m+2n$；
将$x=m+2n$代入①式，得：$m+2n+y=3m$，移项解得$y=2m-2n$；
把$x=m+2n$、$y=2m-2n$代入$2x+3y=0$，得：
$2(m+2n)+3(2m-2n)=0$，
展开并合并同类项：$2m+4n+6m-6n=0$，即$8m-2n=0$，
整理得$8m=2n$，两边同除以2n（n≠0），得$\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；代数式求值
【点评】
本题综合考查二元一次方程组的加减消元法求解及代数式比值的计算，核心是利用方程组的解满足的条件建立m、n的关系，步骤清晰，属于基础应用类题目，需要掌握消元法和代数式化简的基本技能。
【难度系数】
0.5

16. 当 $ x $ 分别取 $ 2025,2024,2023,···,2,1,0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},···,\frac{1}{2024},\frac{1}{2025} $ 时，计算分式 $ \frac{x-1}{x+1} $ 的值，并把所有结果相加，其和为 ______。

16.$-1$ 解析:当 $x=a(a≠0)$ 时,$\frac{x-1}{x+1}=\frac{a-1}{a+1}$,当 $x=\frac{1}{a}(a≠0)$ 时,$\frac{x-1}{x+1}=\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{a}+1}=\frac{\frac{1-a}{a}}{\frac{1+a}{a}}=\frac{1-a}{1+a}$,此时$\frac{a-1}{a+1}+\frac{1-a}{1+a}=0$,所以当 $x=2025$ 与 $x=\frac{1}{2025}$ 时相加所得的代数式为 0,当 $x=2024$ 与 $x=\frac{1}{2024}$ 时相加所得的代数式为 0,……,当 $x=2$ 与 $x=\frac{1}{2}$ 时相加所得的代数式为 0,当 $x=1$ 时所得的代数式为 0,当 $x=0$ 时,$\frac{x-1}{x+1}=-1$,所以所有结果相加的和为$-1$。难点突破:本题属于规律题,主要考查了分式的计算,难点在于分析观察并计算所给分式,得出当 $x$ 所取的两个数互为倒数时,对应分式的值的和为 0。

【分析】
要解决该问题，需先观察x的取值特点：x包含正整数（2025,2024,…,1）、0，以及这些正整数的倒数（1/2,1/3,…,1/2025）。核心思路是推导互为倒数的两个x对应的分式值之和的规律，通过分组简化计算，再补充单独取值的结果即可。
【解析】
1. 推导互为倒数的x对应的分式和：设a为任意非零数，当x=a时，分式值为$\frac{a-1}{a+1}$；当x=$\frac{1}{a}$时，分式值为$\frac{\frac{1}{a}-1}{\frac{1}{a}+1}$，化简得：
$\frac{\frac{1-a}{a}}{\frac{1+a}{a}}=\frac{1-a}{1+a}=-\frac{a-1}{a+1}$，因此$\frac{a-1}{a+1}+\frac{1-a}{1+a}=0$，即互为倒数的两个x对应的分式值之和为0。
2. 分组计算：x=2025与x=1/2025一组，x=2024与x=1/2024一组，…，x=2与x=1/2一组，共2024组，每组和为0，总和为0。
3. 计算剩余x的分式值：当x=1时，$\frac{1-1}{1+1}=0$；当x=0时，$\frac{0-1}{0+1}=-1$。
4. 所有结果相加：0 + 0 + … +0（2024组） +0 + (-1) = -1。
【答案】
-1
【知识点】
分式化简求值，规律探究
【点评】
本题是规律探究类题目，关键在于发现互为倒数的两个x对应的分式值之和为0，通过分组简化计算，避免大量重复运算，考查了分式化简能力与观察归纳能力。
【难度系数】
0.3