15.定义:对于任意实数$a,b,c,d$,有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$。已知关于$x$的方程$[x,m]*[x+5,5]=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5em}}$。

15.$m＞-\frac{5}{4}$

【分析】首先理解题目给出的新运算规则，将方程中的新运算转化为普通代数表达式，得到关于x的一元二次方程；再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围。
【解析】根据新运算定义：$[a,b]*[c,d]=ac-bd$，将方程左边展开：
$[x,m]*[x+5,5] = x·(x+5) - m·5 = x^2 +5x -5m$
因此原方程转化为：$x^2 +5x -5m =0$
因为该方程有两个不相等的实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
这里$a=1$，$b=5$，$c=-5m$，代入判别式得：
$\Delta=5^2 -4×1×(-5m)=25 +20m$
令$\Delta＞0$，即$25+20m＞0$，解得：$m＞-\frac{5}{4}$
【答案】$m＞-\frac{5}{4}$
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，关键是正确转化方程，利用判别式建立不等式求解，属于基础题型。
【难度系数】0.6

16.如图,在$□ ABCD$中,作点$B$关于$AC$的对称点$E$,连结$CE$交$AD$于点$F$,连结$BE$,若$△ AEF$是等腰直角三角形,则$∠ ACB =$$°$;$△ ABE$与$△ CFD$的面积之比是。

16.22.5 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析:如图,延长EA交BC于点H。因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC,所以∠FAC=∠ACB。因为点B关于AC的对称点是E,所以∠ACB=∠ACE,所以∠FAC=∠FCA。因为△AEF是等腰直角三角形,所以∠AEF=∠AFE=∠FAC+∠FCA=45°,所以∠ACF=22.5°,FA=FC,所以∠ACB=22.5°。因为∠CBA=∠CEA=45°,所以∠D=∠ABC=45°。因为∠AFE=∠DFC=45°,所以CF=CD,∠FCD=90°。设AB=CD=CF=m,因为∠EAF=∠AHC=90°,所以∠AHB=90°,所以∠ABH=∠BAH=45°,所以AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}m$,所以$\frac{S_{△ABE}}{S_{△CFD}}=\frac{\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m}{\frac{1}{2}×m×m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的角度关系分析：首先利用平行四边形对边平行得到内错角相等，结合点B关于AC对称的性质，推出∠ACB与∠ACE的关系；再根据△AEF是等腰直角三角形，利用外角性质求出∠ACB的度数；最后通过角度关系确定三角形的边长，结合面积公式计算面积比。
【解析】
如图，延长EA交BC于点H。
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，故∠FAC=∠ACB。
2. 点B关于AC的对称点是E，根据轴对称性质，得∠ACB=∠ACE，因此∠FAC=∠FCA。
3. 已知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=∠AFE=45°。又∠AFE是△AFC的外角，故∠AFE=∠FAC+∠FCA=2∠ACF=45°，解得∠ACF=22.5°，即∠ACB=22.5°。
4. 由平行四边形性质，∠CBA=∠CEA=45°，故∠D=∠ABC=45°；又∠AFE=∠DFC=45°，所以△CFD中∠FCD=90°，且CF=CD。
5. 设CD=CF=m，因为EA⊥AH（由对称得EA⊥BC），∠ABH=45°，所以△ABH是等腰直角三角形，AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}m$。
6. 计算面积：$S_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×AH=\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m$，$S_{△CFD}=\frac{1}{2}×CD×CF=\frac{1}{2}×m×m$，因此面积比为$\frac{\frac{1}{2}×m×\frac{\sqrt{2}}{2}m}{\frac{1}{2}×m×m}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
22.5；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
平行四边形性质，轴对称性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、轴对称、等腰直角三角形的性质，辅助线的添加是解题关键，需熟练运用角度推导和面积计算，难度适中。
【难度系数】
0.4

三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}$。
(2)$\sqrt{12}×\sqrt{3}÷\sqrt{\frac{1}{3}}$。

17.解:(1)原式$=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$。
(2)原式$=\sqrt{12×3÷\frac{1}{3}}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路：（1）二次根式的减法需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）二次根式的乘除混合运算，可先将被开方数进行乘除运算，再化简结果，简化计算过程。
【解析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
（2）根据二次根式乘除法则，先计算被开方数的乘除：
原式$=\sqrt{12×3÷\frac{1}{3}}=\sqrt{12×3×3}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
【答案】
17.解:(1)原式$=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$。(2)原式$=\sqrt{12×3÷\frac{1}{3}}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的运算
【点评】
本题为初中数学基础题型，主要考查最简二次根式的化简及二次根式的加减、乘除运算法则，难度较低，需熟练掌握二次根式的相关运算规则。
【难度系数】
0.8

18.(8分)小李与小王两位同学解方程$2(x-2)=(x-2)^2$的过程如下框：
小李：
解:两边同除以$(x-2)$,得
$2=x-2$,
则$x=4$。
小王：
解:移项,得$2(x-2)-(x-2)^2=0$,
提取公因式,得$(x-2)(2-x-2)=0$。
则$x-2=0$或$2-x-2=0$,
解得$x_1=2,x_2=0$。
你认为他们的解法是否正确？若正确,请在框内打“√”；若错误,请在框内打“×”,并写出正确的解答过程。

18.解:× × $2(x-2)=(x-2)^2$,移项,得$2(x-2)-(x-2)^2=0$,提取公因式,得$(x-2)[2-(x-2)]=0$,即$(x-2)·(4-x)=0$,所以$x=2$或4,所以$x_1=2,x_2=4$。

【分析】
要判断小李和小王的解法是否正确，需依据一元二次方程的解法规则：解方程时不能随意除以可能为0的含未知数的因式，提取公因式时要正确处理符号。小李直接除以$(x-2)$，忽略了$x-2=0$的情况，漏解；小王提取公因式时符号处理错误，导致解错误。正确解法是移项后用因式分解法，将方程转化为乘积为0的形式，再求解。
【解析】
小李的解法错误（×），小王的解法错误（×）。
正确解答过程：
移项，得$2(x-2)-(x-2)^2=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)[2-(x-2)]=0$，
化简括号内的式子：$2-(x-2)=2-x+2=4-x$，
即$(x-2)(4-x)=0$，
所以$x-2=0$或$4-x=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
【答案】
小李×，小王×，正确解为$x_1=2$，$x_2=4$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】
本题考查一元二次方程的因式分解法求解，易错点包括直接除以含未知数的因式（可能为0）导致漏解、提取公因式时符号处理错误。解题时需注意，若方程两边有相同的含未知数的因式，应先移项提取公因式，避免漏解，同时要正确处理符号。
【难度系数】
0.5