登录
8.《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是:一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈＝10尺)如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为 （
A.$x^2 + 4^2 = 10^2$
B.$(10 - x)^2 + 4^2 = 10^2$
C.$(10 - x)^2 + 4^2 = x^2$
D.$x^2 + 4^2 = (10 - x)^2$
D
）A.$x^2 + 4^2 = 10^2$
B.$(10 - x)^2 + 4^2 = 10^2$
C.$(10 - x)^2 + 4^2 = x^2$
D.$x^2 + 4^2 = (10 - x)^2$
答案
8.D
解析
【分析】本题是利用勾股定理解决古代数学问题“折竹抵地”。解题时，先明确竹子折断后形成直角三角形：折断后的竹子高度为一条直角边，抵地处到竹子底部的距离为另一条直角边，未折断的竹梢部分为斜边。设折断后的竹子高度为x尺，结合原竹子总长度，可表示出斜边长度，再根据勾股定理的关系列方程即可。
【解析】设折断后的竹子高度为x尺，已知原竹子高一丈（1丈=10尺），则折断部分的长度为(10 - x)尺。由题意，折断后形成的直角三角形中，两条直角边分别为x尺和4尺，斜边为(10 - x)尺。根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：$x^2 + 4^2 = (10 - x)^2$。
【答案】D
【知识点】勾股定理、实际问题建模
【点评】本题是经典的勾股定理实际应用题型，将古代数学问题转化为直角三角形模型，核心是找准各边对应关系，利用勾股定理建立方程，难度适中，是勾股定理应用的基础题。
【难度系数】0.6
【解析】设折断后的竹子高度为x尺，已知原竹子高一丈（1丈=10尺），则折断部分的长度为(10 - x)尺。由题意，折断后形成的直角三角形中，两条直角边分别为x尺和4尺，斜边为(10 - x)尺。根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：$x^2 + 4^2 = (10 - x)^2$。
【答案】D
【知识点】勾股定理、实际问题建模
【点评】本题是经典的勾股定理实际应用题型，将古代数学问题转化为直角三角形模型，核心是找准各边对应关系，利用勾股定理建立方程，难度适中，是勾股定理应用的基础题。
【难度系数】0.6
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC=4,D$是$AC$上一点,连结$BD,F$是$BD$的中点,连结$AF$,作$AE⊥ BC$于点$E$,连结$EF$,若$AF=\frac{5}{2}$,则$EF$的长为 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
答案
9.A
解析
【分析】
要解决本题，需结合直角三角形性质、勾股定理和三角形中位线定理逐步推导：首先利用直角三角形斜边中线性质，由F是Rt△ABD斜边BD的中点，得AF=½BD，求出BD长度；再通过勾股定理算出AD，进而得到DC的长度；最后根据E是BC中点、F是BD中点，利用三角形中位线定理求出EF的长。
【解析】
1. 因为∠BAC=90°，F是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AF=½BD。已知AF=5/2，所以BD=2×(5/2)=5。
2. 在Rt△ABD中，AB=4，BD=5，由勾股定理得：AD=√(BD² - AB²)=√(5² - 4²)=3。
3. 因为AC=4，所以DC=AC - AD=4 - 3=1。
4. 又因为△ABC是等腰直角三角形，AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点。结合F是BD的中点，可知EF是△BDC的中位线，根据三角形中位线定理，EF=½DC=½×1=½。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点的应用，解题关键是熟练运用直角三角形性质和中位线定理，需具备一定的几何推理能力，步骤清晰易掌握。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合直角三角形性质、勾股定理和三角形中位线定理逐步推导：首先利用直角三角形斜边中线性质，由F是Rt△ABD斜边BD的中点，得AF=½BD，求出BD长度；再通过勾股定理算出AD，进而得到DC的长度；最后根据E是BC中点、F是BD中点，利用三角形中位线定理求出EF的长。
【解析】
1. 因为∠BAC=90°，F是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得AF=½BD。已知AF=5/2，所以BD=2×(5/2)=5。
2. 在Rt△ABD中，AB=4，BD=5，由勾股定理得：AD=√(BD² - AB²)=√(5² - 4²)=3。
3. 因为AC=4，所以DC=AC - AD=4 - 3=1。
4. 又因为△ABC是等腰直角三角形，AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点。结合F是BD的中点，可知EF是△BDC的中位线，根据三角形中位线定理，EF=½DC=½×1=½。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点的应用，解题关键是熟练运用直角三角形性质和中位线定理，需具备一定的几何推理能力，步骤清晰易掌握。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,延长DC到点G(CG＜CD),连结BG。过点D作DF⊥BG,分别交AC,BC于点E,H,连结EG,则下面哪个图形的面积与△DEG的面积相等
（
A.四边形EOBH
B.△DOC
C.四边形CHFG
D.△BCG
（
D
）A.四边形EOBH
B.△DOC
C.四边形CHFG
D.△BCG
答案
10.D 解析:如图,过点E作EM⊥CD于点M,EN⊥BC于点N,设EG交BC于点P,所以EN=EM。易证△DCH≌△BCG(ASA),所以$S_{△DCH}=S_{△BCG}$,CH=CG,由三角形面积公式得:$S_{△ECH}=\frac{1}{2} CH · EN$,$S_{△ECG}=\frac{1}{2} CG · EM$。因为CH=CG,EN=EM,所以$S_{△ECH}=S_{△ECG}$,所以$S_{△EPH}+S_{△ECP}=S_{△CGP}+S_{△ECP}$,所以$S_{△EPH}=S_{△CGP}$,所以$S_{△DEG}=S_{四边形DEPC}+S_{△CGP}=S_{四边形DEPC}+S_{△EPH}=S_{△DCH}$,所以$S_{△DEG}=S_{△BCG}$,所以与△DEG的面积相等的是△BCG。故选D。
解析
【分析】
要解决本题，需结合正方形的性质，通过证明三角形全等、利用面积等量代换推导。首先利用正方形的边和角的性质，证明△DCH与△BCG全等，得到对应边相等；再利用正方形对角线的性质，得到点E到CD、BC的距离相等，进而证明相关三角形面积相等；最后通过面积的加减运算，将△DEG的面积转化为与△BCG相等的面积。
【解析】
解：在正方形ABCD中，DC=BC，∠DCH=∠BCG=90°。
∵ DF⊥BG，
∴ ∠HDC + ∠BGC = 90°，又
∵ ∠GBC + ∠BGC = 90°，
∴ ∠HDC = ∠GBC。
在△DCH和△BCG中：
$\{\begin{array}{l}∠HDC = ∠GBC \\DC = BC \\∠DCH = ∠BCG\end{array} $
∴ △DCH ≌ △BCG（ASA），故CH=CG，且$S_{△DCH}=S_{△BCG}$。
过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，
∵ AC是正方形ABCD的对角线，
∴ EM=EN。
∵ $S_{△ECH}=\frac{1}{2}·CH·EN$，$S_{△ECG}=\frac{1}{2}·CG·EM$，又CH=CG，EM=EN，
∴ $S_{△ECH}=S_{△ECG}$。
两边同时减去$S_{△ECP}$（P为EG与BC交点），得$S_{△EPH}=S_{△CGP}$。
因此，$S_{△DEG}=S_{四边形DEPC} + S_{△CGP}=S_{四边形DEPC} + S_{△EPH}=S_{△DCH}$。
结合△DCH≌△BCG，得$S_{△DEG}=S_{△BCG}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题以正方形为载体，综合考查全等三角形的判定与性质、正方形性质及面积等量代换，解题关键是通过辅助线构造等面积三角形，结合全等关系完成面积转化，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合正方形的性质，通过证明三角形全等、利用面积等量代换推导。首先利用正方形的边和角的性质，证明△DCH与△BCG全等，得到对应边相等；再利用正方形对角线的性质，得到点E到CD、BC的距离相等，进而证明相关三角形面积相等；最后通过面积的加减运算，将△DEG的面积转化为与△BCG相等的面积。
【解析】
解：在正方形ABCD中，DC=BC，∠DCH=∠BCG=90°。
∵ DF⊥BG，
∴ ∠HDC + ∠BGC = 90°，又
∵ ∠GBC + ∠BGC = 90°，
∴ ∠HDC = ∠GBC。
在△DCH和△BCG中：
$\{\begin{array}{l}∠HDC = ∠GBC \\DC = BC \\∠DCH = ∠BCG\end{array} $
∴ △DCH ≌ △BCG（ASA），故CH=CG，且$S_{△DCH}=S_{△BCG}$。
过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，
∵ AC是正方形ABCD的对角线，
∴ EM=EN。
∵ $S_{△ECH}=\frac{1}{2}·CH·EN$，$S_{△ECG}=\frac{1}{2}·CG·EM$，又CH=CG，EM=EN，
∴ $S_{△ECH}=S_{△ECG}$。
两边同时减去$S_{△ECP}$（P为EG与BC交点），得$S_{△EPH}=S_{△CGP}$。
因此，$S_{△DEG}=S_{四边形DEPC} + S_{△CGP}=S_{四边形DEPC} + S_{△EPH}=S_{△DCH}$。
结合△DCH≌△BCG，得$S_{△DEG}=S_{△BCG}$。
【答案】
D
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题以正方形为载体，综合考查全等三角形的判定与性质、正方形性质及面积等量代换，解题关键是通过辅助线构造等面积三角形，结合全等关系完成面积转化，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
11. $\sqrt{(-2025)^2}=$______。
答案
11.2025
解析
【分析】本题考查二次根式的性质，解题思路是：利用二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），将原式转化为绝对值形式，再根据绝对值的非负性计算结果，注意根号的运算结果一定是非负的，不能直接去掉根号和平方得到负数。
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），代入$a=-2025$可得：$\sqrt{(-2025)^2}=|-2025|=2025$。
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】本题是二次根式的基础计算题，考查对二次根式非负性的理解，易错点是误将$\sqrt{a^2}$直接计算为$a$，忽略结果应为绝对值，牢记性质即可轻松解答。
【难度系数】0.7
【解析】根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），代入$a=-2025$可得：$\sqrt{(-2025)^2}=|-2025|=2025$。
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】本题是二次根式的基础计算题，考查对二次根式非负性的理解，易错点是误将$\sqrt{a^2}$直接计算为$a$，忽略结果应为绝对值，牢记性质即可轻松解答。
【难度系数】0.7
12.如图,在矩形ABCD中,过点D作$DE ⊥ AC$于点E,$∠ DAC = 29°$,则$∠ BDE$的度数为
32°
。答案
12.32°
解析
【分析】要解决本题，需利用矩形的性质推导角的关系：首先矩形对角线相等且互相平分，可得到等腰三角形；再结合直角三角形两锐角互余的性质，计算相关角的度数，最后通过角的和差求出目标角。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠ACD。
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC + ∠ACD=90°，已知∠DAC=29°，
∴∠ACD=90° - 29°=61°，
∴∠ODC=∠ACD=61°。
在Rt△DEC中，∠ACD + ∠CDE=90°，
∴∠CDE=90° - ∠ACD=90° - 61°=29°，
∴∠BDE=∠ODC - ∠CDE=61° - 29°=32°。
【答案】32°
【知识点】矩形性质、直角三角形性质、等腰三角形性质
【点评】本题结合矩形的对角线性质，利用等腰三角形和直角三角形的角的关系进行角度计算，核心是找到各角之间的等量关系，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，且OA=OC=½AC，OB=OD=½BD，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠ACD。
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC + ∠ACD=90°，已知∠DAC=29°，
∴∠ACD=90° - 29°=61°，
∴∠ODC=∠ACD=61°。
在Rt△DEC中，∠ACD + ∠CDE=90°，
∴∠CDE=90° - ∠ACD=90° - 61°=29°，
∴∠BDE=∠ODC - ∠CDE=61° - 29°=32°。
【答案】32°
【知识点】矩形性质、直角三角形性质、等腰三角形性质
【点评】本题结合矩形的对角线性质，利用等腰三角形和直角三角形的角的关系进行角度计算，核心是找到各角之间的等量关系，难度适中。
【难度系数】0.5
13.某工厂1月份产值是5万元，2,3月份的月平均增长率为x。若前三个月的总产值是18.2万元，则可列方程：
$\underline{\hspace{15cm}}$。
$\underline{\hspace{15cm}}$。
答案
13.$5+5(1+x)+5(1+x)^2=18.2$
解析
【分析】要列出方程，需先分别求出2月、3月的产值，再根据“前三个月总产值=18.2万元”的等量关系列式。1月产值已知为5万元，2月产值是1月产值乘以(1+增长率x)，3月产值是2月产值乘以(1+增长率x)，最后将三个月产值相加等于18.2即可得到方程。
【解析】解：1月份产值为5万元；
2月份产值：5(1+x)万元（月平均增长率为x，故2月产值=1月产值×(1+x)）；
3月份产值：5(1+x)×(1+x)=5(1+x)²万元；
前三个月总产值为1月+2月+3月，即5 + 5(1+x) + 5(1+x)²，结合总产值18.2万元，列方程得：5 + 5(1+x) + 5(1+x)² = 18.2。
【答案$】5+5(1+x)+5(1+x)^2=18.2$
【知识点】一元二次方程应用、增长率问题
【点评】本题考查增长率问题的列方程，属于基础题，核心是掌握连续增长率的产值计算方法，理清三个月产值的和的关系即可正确解答。
【难度系数】0.7
【解析】解：1月份产值为5万元；
2月份产值：5(1+x)万元（月平均增长率为x，故2月产值=1月产值×(1+x)）；
3月份产值：5(1+x)×(1+x)=5(1+x)²万元；
前三个月总产值为1月+2月+3月，即5 + 5(1+x) + 5(1+x)²，结合总产值18.2万元，列方程得：5 + 5(1+x) + 5(1+x)² = 18.2。
【答案$】5+5(1+x)+5(1+x)^2=18.2$
【知识点】一元二次方程应用、增长率问题
【点评】本题考查增长率问题的列方程，属于基础题，核心是掌握连续增长率的产值计算方法，理清三个月产值的和的关系即可正确解答。
【难度系数】0.7
14.在一次广播操比赛中，801班、802班、803班的各项得分如下表，若对于“服装统一”“动作整齐”“动作准确”三个项目按$2:3:5$进行加权计算，则得分最高的班级是________。
答案
14.801班
解析
【分析】要确定得分最高的班级，需根据“服装统一”“动作整齐”“动作准确”的权重比2:3:5，计算每个班级的加权平均分。加权平均分的计算方法是：各项目得分乘以对应权重，求和后除以权重总和（2+3+5=10），再比较三个班级的加权平均分，即可得出结果。
【解析】首先计算权重总和：2+3+5=10，分别计算三个班级的加权得分：
1. 801班：加权得分 = (80×2 + 84×3 + 87×5)÷10 = (160 + 252 + 435)÷10 = 847÷10 = 84.7；
2. 802班：加权得分 = (98×2 + 78×3 + 80×5)÷10 = (196 + 234 + 400)÷10 = 830÷10 = 83；
3. 803班：加权得分 = (90×2 + 82×3 + 83×5)÷10 = (180 + 246 + 415)÷10 = 841÷10 = 84.1；
比较三个班级的加权得分：84.7＞84.1＞83，因此得分最高的班级是801班。
【答案】801班
【知识点】加权平均数计算
【点评】本题考查加权平均数在实际问题中的应用，核心是掌握加权平均数的计算规则，步骤清晰，难度较低，属于基础应用题。
【难度系数】0.7
【解析】首先计算权重总和：2+3+5=10，分别计算三个班级的加权得分：
1. 801班：加权得分 = (80×2 + 84×3 + 87×5)÷10 = (160 + 252 + 435)÷10 = 847÷10 = 84.7；
2. 802班：加权得分 = (98×2 + 78×3 + 80×5)÷10 = (196 + 234 + 400)÷10 = 830÷10 = 83；
3. 803班：加权得分 = (90×2 + 82×3 + 83×5)÷10 = (180 + 246 + 415)÷10 = 841÷10 = 84.1；
比较三个班级的加权得分：84.7＞84.1＞83，因此得分最高的班级是801班。
【答案】801班
【知识点】加权平均数计算
【点评】本题考查加权平均数在实际问题中的应用，核心是掌握加权平均数的计算规则，步骤清晰，难度较低，属于基础应用题。
【难度系数】0.7
