19.(8分)如图,在$□ ABCD$中,E,F是对角线BD上的点,满足$BE=DF$。求证:
(1)$AE=CF$。
(2)四边形AECF是平行四边形。

19.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB//CD$,$AB=CD$,所以$∠ABE=∠CDF$。又因为$BE=DF$,所以$△ABE≌△CDF$(SAS),所以$AE=CF$。
(2)因为$△ABE≌△CDF$,所以$∠BAE=∠DCF$。因为$∠ABE=∠CDF$,所以$∠BAE+∠ABE=∠DCF+∠CDF$,即$∠AEF=∠CFE$,所以$AE//CF$,所以$AE\equalparallel CF$,所以四边形AECF是平行四边形。

【分析】
要证明(1)AE=CF，需利用平行四边形的性质得到边和角的关系，结合已知BE=DF，通过SAS证明△ABE≌△CDF，即可得AE=CF；要证明(2)四边形AECF是平行四边形，可利用(1)中全等三角形的结论，推出AE与CF平行，结合已证的AE=CF，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明。
【解析】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠ABE=∠CDF（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ BE=DF，
∴ 在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\∠ABE=∠CDF \\BE=DF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（SAS），
∴ AE=CF。
(2) 由(1)中△ABE≌△CDF，得∠BAE=∠DCF，
又
∵ ∠ABE=∠CDF，
∴ ∠BAE + ∠ABE = ∠DCF + ∠CDF，
∵ ∠AEF是△ABE的外角，∠AEF=∠BAE + ∠ABE，
∠CFE是△CDF的外角，∠CFE=∠DCF + ∠CDF，
∴ ∠AEF=∠CFE，
∴ AE//CF（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ 已证AE=CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
19.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB//CD$,$AB=CD$,所以$∠ABE=∠CDF$。又因为$BE=DF$,所以$△ABE≌△CDF$(SAS),所以$AE=CF$。(2)因为$△ABE≌△CDF$,所以$∠BAE=∠DCF$。因为$∠ABE=∠CDF$,所以$∠BAE+∠ABE=∠DCF+∠CDF$,即$∠AEF=∠CFE$,所以$AE//CF$,所以$AE\equalparallel CF$,所以四边形AECF是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及平行四边形的判定定理，解题思路清晰，属于常规题型，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6

20.(8分)某班为选拔一名选手参加校 AI 知识竞赛,从自愿报名、综合表现等角度确定了甲、乙两名考察对象,在学校组织的辅导过程中,共安排了6次测试,满分10分,每次测试具体得分如图。


(1)将表格补充完整。(3分)
(2)请结合6次测试成绩,你将推荐谁参加校 AI 知识竞赛,并说明理由。(5分)

20.(1)①6.5 ②6 ③$\frac{5}{3}$
(2)解:示例:推荐甲参加校AI知识竞赛,理由如下:因为两人的平均数相同,$\frac{5}{3}＜3.2$,所以甲的方差比乙小,成绩更稳定,所以推荐甲参加校AI知识竞赛。

【分析】
第(1)问需根据甲、乙两人的6次测试成绩，计算平均数、中位数、方差来补充表格：平均数是所有数据总和除以测试次数，中位数是将成绩排序后取中间位置的数（偶数次测试取中间两数的平均值），方差用于衡量数据的离散程度（稳定性）。第(2)问需结合统计量判断，当两人平均数相同时，方差越小成绩越稳定，据此确定推荐人选。
【解析】
(1) 经计算，甲的平均数为6.5，乙的中位数为6，甲的方差为$\frac{5}{3}$，故表格补充为①6.5，②6，③$\frac{5}{3}$。
(2) 甲、乙两人的平均数相同，甲的方差$\frac{5}{3}$小于乙的方差，说明甲的成绩波动更小、更稳定，因此推荐甲参加校AI知识竞赛。
【答案】
(1) ①6.5；②6；③$\frac{5}{3}$；(2) 推荐甲参加校AI知识竞赛，理由：两人平均数相同，甲的方差小于乙的方差，成绩更稳定。
【知识点】
平均数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是理解方差反映数据稳定性的意义，是统计部分的基础题型，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.5

21.(8分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,将$△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转得到$△ ADE$,使点C的对应点E落在AB上,连结BD。
(1)若$∠ ABC=40°$,求$∠ BDE$的度数。
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$BD$的长。

21.解:(1)因为$△ADE$由$△ABC$旋转得到,所以$∠ADE=∠ABC=40°$,$∠AED=∠ACB=90°$,$AD=AB$,所以$∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-40°-90°=50°$,所以在$△ADB$中,$∠BDA=∠DBA=\frac{180°-∠DAB}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$,所以$∠BDE=90°-∠DBA=90°-65°=25°$。
(2)在$Rt△ABC$中,因为$AC=6$,$BC=8$,所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$,因为$△ADE$由$△ABC$旋转得到,所以$DE=BC=8$,$AE=AC=6$,所以$BE=AB-AE=10-6=4$,所以在$△BDE$中,$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。

【分析】
本题是旋转相关的几何计算题，解题思路如下：
(1) 利用旋转的性质，得到△ADE≌△ABC，对应角、对应边相等，进而得到AD=AB，△ADB为等腰三角形；先求出∠BAC（即∠DAB），再计算等腰△ADB的底角∠ABD，结合旋转后∠AED为直角，得到△DEB是直角三角形，从而求出∠BDE。
(2) 先在Rt△ABC中用勾股定理算出AB的长度，再根据旋转性质得到AE=AC、DE=BC，求出BE的长度，最后在Rt△BDE中用勾股定理计算BD的长。
【解析】
(1) 因为△ADE由△ABC旋转得到，所以△ADE≌△ABC，因此：
∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠ACB=90°，AD=AB，∠DAE=∠BAC。
在Rt△ABC中，∠ABC=40°，∠C=90°，所以∠BAC=180°-90°-40°=50°，即∠DAB=50°。
在△ADB中，AD=AB，所以△ADB是等腰三角形，∠ABD=∠ADB=(180°-∠DAB)/2=(180°-50°)/2=65°。
因为∠AED=90°，所以∠DEB=180°-∠AED=90°，即△DEB为直角三角形，因此∠BDE + ∠ABD=90°，故∠BDE=90°-65°=25°。
(2) 在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，由勾股定理得：
AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=√100=10。
因为△ADE由△ABC旋转得到，所以AE=AC=6，DE=BC=8。
又因为点E在AB上，所以BE=AB - AE=10-6=4。
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，由勾股定理得：
BD=√(BE²+DE²)=√(4²+8²)=√80=4√5。
【答案】
(1) ∠BDE的度数为25°；(2) BD的长为4√5。
【知识点】
旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转的性质、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，需要熟练掌握旋转前后图形的对应关系，结合直角三角形的性质解题，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6