22. (10分)观察以下式子:记$x_n=(1+n\sqrt{2})^2$,则
①$x_1^2 - x_0^2=(1+\sqrt{2})^2 - 1^2=(1+\sqrt{2}+1)(1+\sqrt{2}-1)=2+2\sqrt{2}$;
②$x_2^2 - x_1^2=(1+2\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{2}······$
【观察计算】(1)$x_3^2 - x_2^2=$;$x_4^2 - x_3^2=$。(直接写出结果即可)(2分)
【归纳验证】(2)猜想:$x_n^2 - x_{n-1}^2=$($n$为正整数);并证明。(4分)
【应用推广】(3)令$M_n=x_n^2 - x_{n-1}^2$,计算$M_1+M_2+M_3+···+M_{20}$的值。(4分)

22.(1)$10+2\sqrt{2}$ $14+2\sqrt{2}$
(2)$4n-2+2\sqrt{2}$ 证明:$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2-[1+(n-1)\sqrt{2}]^2=[1+n\sqrt{2}+1+(n-1)\sqrt{2}]·[1+n\sqrt{2}-1-(n-1)\sqrt{2}]=[2+(2n-1)\sqrt{2}]×\sqrt{2}=4n-2+2\sqrt{2}$。
(3)解:$M_1+M_2+M_3+…+M_{20}=(2+2\sqrt{2})+(6+2\sqrt{2})+(10+2\sqrt{2})+…+(78+2\sqrt{2})=\frac{(2+78)×20}{2}+2\sqrt{2}×20=800+40\sqrt{2}$。

【分析】
本题需结合平方差公式解决代数式的运算问题，先通过代入特殊值计算前两问的结果，再归纳一般规律并证明，最后利用规律进行求和计算。具体思路：
1. 计算$x_3^2 - x_2^2$和$x_4^2 - x_3^2$时，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$简化计算，避免直接展开平方；
2. 归纳$x_n^2 - x_{n-1}^2$的一般式时，先观察前几个结果的规律，再通过平方差公式展开证明；
3. 求和时，先明确$M_n$的结构（由等差数列项和常数项组成），分别计算两部分的和再相加。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算：
$x_3^2 - x_2^2=(1+3\sqrt{2})^2 - (1+2\sqrt{2})^2=[(1+3\sqrt{2})+(1+2\sqrt{2})][(1+3\sqrt{2})-(1+2\sqrt{2})]=(2+5\sqrt{2})·\sqrt{2}=10+2\sqrt{2}$；
$x_4^2 - x_3^2=(1+4\sqrt{2})^2 - (1+3\sqrt{2})^2=[(1+4\sqrt{2})+(1+3\sqrt{2})][(1+4\sqrt{2})-(1+3\sqrt{2})]=(2+7\sqrt{2})·\sqrt{2}=14+2\sqrt{2}$。
(2) 猜想：$x_n^2 - x_{n-1}^2=4n-2+2\sqrt{2}$，证明如下：
$x_n^2 - x_{n-1}^2=(1+n\sqrt{2})^2 - [1+(n-1)\sqrt{2}]^2$
$=[(1+n\sqrt{2})+1+(n-1)\sqrt{2}]·[(1+n\sqrt{2})-1-(n-1)\sqrt{2}]$
$=(2+(2n-1)\sqrt{2})·\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}+2(2n-1)$
$=4n-2+2\sqrt{2}$。
(3) 计算求和：
$M_n=4n-2+2\sqrt{2}$，则：
$M_1+M_2+\dots+M_{20}=\sum_{n=1}^{20}(4n-2)+\sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}$
其中$\sum_{n=1}^{20}(4n-2)=4\sum_{n=1}^{20}n - 2×20=4×\frac{20×21}{2}-40=840-40=800$；
$\sum_{n=1}^{20}2\sqrt{2}=20×2\sqrt{2}=40\sqrt{2}$；
故总和为$800+40\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$10+2\sqrt{2}$；$14+2\sqrt{2}$
(2)$4n-2+2\sqrt{2}$
(3)$800+40\sqrt{2}$
【知识点】
平方差公式、代数式化简、等差数列求和
【点评】
本题综合考查平方差公式的应用、从特殊到一般的归纳能力以及数列求和，需熟练掌握公式的灵活运用，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5

23.(10分)如图1,有一张长为40 cm,宽为$ l $ cm的长方形硬纸片。
(1)若裁去角上的四个小正方形之后,折成如图2所示的无盖纸盒,当$ l=30 $,纸盒的底面积为$ 600 \ \mathrm{cm}^2 $时,求裁去的正方形边长是多少。(4分)
(2)若裁去部分图形后,折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒,则此时$ l $的长为多少?当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积和)相等时,底面正三角形的边长是多少?(6分)

23.解:(1)设裁去的正方形的边长为x cm,由题意,得$(40-2x)(30-2x)=600$,解得x=5或30(不合题意,舍去)。答:裁去的正方形边长是5 cm。
(2)如图,延长EF交CD于点P,因为$△NEF$是等边三角形,所以$NF=EF$,$∠NFE=60°$,由矩形可得:$EF=HK=NF=MQ$,$FK=FQ$,$∠NFQ=90°$,设$EF=NF=MQ=HK=2a$,由题意,得四边形CKFP是矩形,所以$FK=PC$,$FP=KC=BH$。设$FK=FQ=PC=x$,则$FP=\frac{\sqrt{3}}{2}x$,$PQ=\frac{1}{2}x$,因为$BH+HK+KC=BC$,所以$\sqrt{3}x +2a=40$。又因为$DQ=\sqrt{3}a$,所以$l=CD=PC+PQ+DQ=x+\frac{1}{2}x +\sqrt{3}a= \frac{3}{2}x +\sqrt{3}a= \frac{\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3}x +2a)=20\sqrt{3}$。因为$S_底=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2a)^2=\sqrt{3}a^2$,$S_侧=3×x×2a=6ax$,由题意,得$S_底=S_侧$,所以$\sqrt{3} a^2=6ax$,所以$x=\frac{\sqrt{3}}{6}a$,将$x=\frac{\sqrt{3}}{6}a$代入$\sqrt{3}x +2a=40$,得$\frac{\sqrt{3}}{6}a ·\sqrt{3} +2a=40$,解得a=16,所以HK=2a=32,故底面正三角形的边长是32 cm。

【分析】
第(1)问：裁去四个小正方形后，折成无盖纸盒的底面为长方形，其长和宽分别是原长方形的长、宽减去2倍的正方形边长，已知底面积，据此列一元二次方程求解，需舍去不符合实际的解；第(2)问：折成底面为正三角形的纸盒，利用正三角形的三边相等、内角60°的性质，结合矩形边长关系推导$ l $的表达式，再根据底面积与侧面积相等的条件，联立方程求出底面正三角形的边长。
【解析】
(1)设裁去的正方形边长为$ x $ cm，根据题意，纸盒底面的长为$ (40 - 2x) $ cm，宽为$ (30 - 2x) $ cm，由底面积为$ 600 \ \mathrm{cm}^2 $，得：
$(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$
展开并整理得：$ x^2 - 35x + 150 = 0 $，
因式分解得：$ (x - 5)(x - 30) = 0 $，
解得$ x = 5 $或$ x = 30 $。
当$ x = 30 $时，$ 30 - 2x = -30 ＜ 0 $，不符合实际，舍去，故$ x = 5 $。
(2)设底面正三角形的边长为$ 2a $ cm，侧长方形的宽为$ x $ cm。
因为$ △ NEF $是等边三角形，所以其高为$ \sqrt{3}a $，结合矩形边长关系$ BH + HK + KC = BC = 40 $，得$ \sqrt{3}x + 2a = 40 $；
又$ l = CD = PC + PQ + DQ = x + \frac{1}{2}x + \sqrt{3}a = \frac{3}{2}x + \sqrt{3}a $，将$ \sqrt{3}x = 40 - 2a $代入，化简得$ l = 20\sqrt{3} $ cm。
底面积$ S_{\mathrm{底}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a)^2 = \sqrt{3}a^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = 3 × x × 2a = 6ax $，
由$ S_{\mathrm{底}} = S_{\mathrm{侧}} $，得$ \sqrt{3}a^2 = 6ax $，即$ x = \frac{\sqrt{3}}{6}a $。
将$ x = \frac{\sqrt{3}}{6}a $代入$ \sqrt{3}x + 2a = 40 $，得：
$\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{6}a + 2a = 40 \implies \frac{1}{2}a + 2a = 40 \implies a = 16$
故底面正三角形的边长为$ 2a = 32 $ cm。
【答案】
(1)裁去的正方形边长为5 cm；(2)$ l $的长为$ 20\sqrt{3} $ cm，底面正三角形的边长为32 cm。
【知识点】
一元二次方程应用、正三角形性质、矩形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查一元二次方程的应用，需利用正三角形的性质推导边长关系，解题时要注意解的合理性取舍，综合性较强，需理清图形各部分的数量联系。
【难度系数】
0.5