24.(12分)如图1,已知四边形ABCD是正方形,E,F分别是边AB,BC上的点(不与正方形的顶点重合),且满足AE=BF,连结AF,DE相交于点G。
(1)求证:∠AGD=90°。(4分)
(2)如图2,连结AC交DE于点P,作∠DGF的平分线GM交AC于点M。
①当AE=AP,AG=2时,求$AM^2$的值。(4分)
②试猜想AG,GM,GD之间满足的数量关系,并证明。(4分)

24.(1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AD=AB,$∠DAE=∠ABF=90°$。又因为AE=BF,所以$△DAE≌△ABF$(SAS)。所以$∠ADE=∠BAF$。因为$∠DAG+∠BAF=90°$,所以$∠DAG+∠ADE=90°$。所以$∠AGD=180°-(∠DAG+∠ADE)=90°$。
(2)解:①如图1,过点M作$MH⊥AF$于点H,由(1)知$∠AGD=90°$,即$AG⊥DE$,因为AE=AP,$AG⊥EP$,所以AG平分$∠EAP$。因为四边形ABCD是正方形,AC为对角线,$∠BAC=45°$,$∠MAG=∠EAG=\frac{1}{2}∠BAC=22.5°$。因为$∠DGF+∠AGD=180°$,$∠AGD=90°$,所以$∠DGF=90°$。又因为GM平分$∠DGF$,所以$∠FGM=∠DGM=45°$,所以$∠AGM=∠AGD+∠DGM=135°$,在$△AGM$中,$∠GMA=180°-∠AGM-∠GAM=180°-135°-22.5°=22.5°$。所以$∠GAM=∠GMA$,所以AG=GM=2。因为$∠FGM=45°$,所以$△GHM$是等腰直角三角形,所以GH=HM,$GH^2+HM^2=GM^2=4$,所以$GH=HM=\sqrt{2}$,所以$AH=AG+GH=2+\sqrt{2}$,所以$AM^2=AH^2+HM^2=(2+\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{2}$。
②$AG+\sqrt{2} GM = GD$。证明:如图2,过点C作$CQ⊥ED$,Q为垂足,再延长GM,与CQ交于点R,连结QM。因为四边形ABCD为正方形,所以AD=DC,$∠ADC=90°$。又因为$∠AGD=∠DQC=90°$,所以$∠ADG=90°-∠QDC=∠QCD$,所以$△AGD≌△DQC$(AAS)。所以AG=QD,GD=CQ。又因为$∠QGR=∠FGR=\frac{1}{2}∠FGD=45°$,所以$△QGR$为等腰直角三角形,所以GQ=RQ,所以GD-GQ=CQ-RQ,即QD=CR。又因为AG=QD,所以AG=CR。因为$AG⊥ED$,$CQ⊥ED$,所以$AG//CQ$,所以$∠GAM=∠RCM$,$∠AGM=∠CRM$,故$△AGM≌△CRM$(ASA),所以GM=RM,所以$QM⊥GR$,所以$GQ^2=2GM^2$,即$GQ=\sqrt{2} GM$,所以$GD=GQ+QD=\sqrt{2} GM +AG$。

【分析】
本题为正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：利用正方形的边和角的性质，通过SAS证明三角形全等，转化角的关系，结合直角三角形两锐角互余证得∠AGD=90°；
2. 第(2)①问：结合AE=AP、AG⊥DE得AG平分∠EAP，利用正方形对角线的角度特征，结合角平分线定义推出△AGM的角度关系，得AG=GM，再作垂线构造等腰直角三角形，计算AM²；
3. 第(2)②问：通过作辅助线构造全等三角形，结合角平分线性质和等腰直角三角形的边的关系，推导AG、GM、GD的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB，∠DAE=∠ABF=90°，
又
∵ AE=BF，
∴ △DAE≌△ABF（SAS），
∴ ∠ADE=∠BAF，
∵ ∠DAG + ∠BAF = 90°，
∴ ∠DAG + ∠ADE = 90°，
∴ ∠AGD = 180° - (∠DAG + ∠ADE) = 90°。
(2) ① 解：
如图1，过点M作MH⊥AF于点H，
由(1)知AG⊥DE，
∵ AE=AP，AG⊥EP，
∴ AG平分∠EAP，
∵ 正方形ABCD中AC为对角线，∠BAC=45°，
∴ ∠MAG=∠EAG = 1/2∠BAC = 22.5°，
∵ ∠DGF + ∠AGD=180°，∠AGD=90°，
∴ ∠DGF=90°，
又
∵ GM平分∠DGF，
∴ ∠FGM=∠DGM=45°，
∴ ∠AGM=∠AGD + ∠DGM=135°，
在△AGM中，∠GMA=180° - ∠AGM - ∠GAM=180°-135°-22.5°=22.5°，
∴ ∠GAM=∠GMA，
∴ AG=GM=2，
∵ ∠FGM=45°，MH⊥AF，
∴ △GHM是等腰直角三角形，
∴ GH=HM，且GH² + HM²=GM²=4，
∴ GH=HM=√2，
∴ AH=AG + GH=2 + √2，
∴ AM²=AH² + HM²=(2+√2)² + (√2)²=8 + 4√2。
② 猜想：AG + √2 GM = GD，
证明：如图2，过点C作CQ⊥ED，Q为垂足，延长GM交CQ于点R，连结QM，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD=DC，∠ADC=90°，
又
∵ ∠AGD=∠DQC=90°，
∴ ∠ADG=90° - ∠QDC=∠QCD，
∴ △AGD≌△DQC（AAS），
∴ AG=QD，GD=CQ，
∵ GM平分∠DGF，∠DGF=90°，
∴ ∠QGR=∠FGR=45°，
∴ △QGR为等腰直角三角形，
∴ GQ=RQ，
∴ GD - GQ = CQ - RQ，即QD=CR，
又
∵ AG=QD，
∴ AG=CR，
∵ AG⊥ED，CQ⊥ED，
∴ AG//CQ，
∴ ∠GAM=∠RCM，∠AGM=∠CRM，
∴ △AGM≌△CRM（ASA），
∴ GM=RM，
∴ QM⊥GR，
∴ GQ²=2GM²，即GQ=√2 GM，
∴ GD=GQ + QD=√2 GM + AG。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① $AM^2=8+4\sqrt{2}$；
② $AG+\sqrt{2}GM=GD$，证明见解析。

【知识点】
正方形性质、全等三角形判定与性质、角平分线性质、等腰直角三角形
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查全等三角形、角平分线、等腰直角三角形等知识点，需要通过辅助线构造全等关系，逻辑推理要求较高，是中等难度的几何压轴题。
【难度系数】
0.4