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1. 计算:
(1)$\frac{\cos 45°}{\sin 45°} - \tan 45°$；
(2)$\cos^{2}45° + \tan 60° · \cos 30°$；
(3)$\frac{1 - \cos 30°}{\sin 60°} + \tan 60°$；
(4)$\sqrt{3}\sin 60° + \tan 60° - 2\cos^{2}30°$；
(5)$\frac{\tan 45°}{\sin 30°} - \frac{\cos 45°}{\sin 60° · \tan 60°}$；
(6)$\frac{\tan 30°}{\cos 30°} - \frac{\sin 60°}{\tan 45° · \cos 60°}$。
(1)$\frac{\cos 45°}{\sin 45°} - \tan 45°$；
(2)$\cos^{2}45° + \tan 60° · \cos 30°$；
(3)$\frac{1 - \cos 30°}{\sin 60°} + \tan 60°$；
(4)$\sqrt{3}\sin 60° + \tan 60° - 2\cos^{2}30°$；
(5)$\frac{\tan 45°}{\sin 30°} - \frac{\cos 45°}{\sin 60° · \tan 60°}$；
(6)$\frac{\tan 30°}{\cos 30°} - \frac{\sin 60°}{\tan 45° · \cos 60°}$。
答案
(1)原式=0；
(2)原式=2；
(3)原式=$\frac{5\sqrt{3}}{3}-1$；
(4)原式=$\sqrt{3}$；
(5)原式=$2-\frac{\sqrt{2}}{3}$；
(6)原式=$\frac{2}{3}-\sqrt{3}$。
(2)原式=2；
(3)原式=$\frac{5\sqrt{3}}{3}-1$；
(4)原式=$\sqrt{3}$；
(5)原式=$2-\frac{\sqrt{2}}{3}$；
(6)原式=$\frac{2}{3}-\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解决这组计算题的核心是先熟练牢记30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，解题时先将式子中所有的三角函数替换为对应的具体数值，再按照实数混合运算的顺序（先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
首先明确特殊锐角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}，\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}，\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}，\tan45°=1$；$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}，\cos60°=\frac{1}{2}，\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入数值计算：
原式$=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 =1-1=0$
(2) 代入数值计算：
原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} =2$
(3) 代入数值计算：
原式$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \sqrt{3} = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}-1$
(4) 代入数值计算：
原式$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} -2 × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{2} + \sqrt{3} - \frac{3}{2} = \sqrt{3}$
(5) 代入数值计算：
原式$=\frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3}} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{3}$
(6) 代入数值计算：
原式$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 × \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} - \sqrt{3}$
【答案】
(1)$0$；(2)$2$；(3)$\frac{5\sqrt{3}}{3}-1$；(4)$\sqrt{3}$；(5)$2-\frac{\sqrt{2}}{3}$；(6)$\frac{2}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对特殊锐角三角函数值的记忆和运算能力，解题时需严格遵循运算顺序，注意二次根式的化简规范，计算时细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
解决这组计算题的核心是先熟练牢记30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，解题时先将式子中所有的三角函数替换为对应的具体数值，再按照实数混合运算的顺序（先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的）逐步计算，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
首先明确特殊锐角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}，\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}，\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}，\tan45°=1$；$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}，\cos60°=\frac{1}{2}，\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入数值计算：
原式$=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1 =1-1=0$
(2) 代入数值计算：
原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} =2$
(3) 代入数值计算：
原式$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \sqrt{3} = \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}-3}{3} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}-1$
(4) 代入数值计算：
原式$=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} -2 × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{2} + \sqrt{3} - \frac{3}{2} = \sqrt{3}$
(5) 代入数值计算：
原式$=\frac{1}{\frac{1}{2}} - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} × \sqrt{3}} = 2 - \frac{\sqrt{2}}{3}$
(6) 代入数值计算：
原式$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 × \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} - \sqrt{3}$
【答案】
(1)$0$；(2)$2$；(3)$\frac{5\sqrt{3}}{3}-1$；(4)$\sqrt{3}$；(5)$2-\frac{\sqrt{2}}{3}$；(6)$\frac{2}{3}-\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对特殊锐角三角函数值的记忆和运算能力，解题时需严格遵循运算顺序，注意二次根式的化简规范，计算时细心即可避免错误。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$4×4$的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,$△ ABC$的顶点都在格点上,求$\cos∠BAC$的值.
答案
$\because AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25,AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20,BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5,$
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},$
$\therefore △ABC$为直角三角形,且$∠ACB=90°,$
$\therefore \cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
$\therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},$
$\therefore △ABC$为直角三角形,且$∠ACB=90°,$
$\therefore \cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
解析
【分析】
要求$\cos∠ BAC$的值，首先要明确锐角余弦的定义是角的邻边与斜边的比值，因此我们需要先确定$△ ABC$的三边长度，判断三角形是否为直角三角形。我们可以设每个小正方形的边长为1，借助网格用勾股定理分别计算$AB$、$AC$、$BC$的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角后，再根据余弦的定义计算$∠ BAC$的余弦值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，故$AB=5$；
$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，故$AC=2\sqrt{5}$；
$BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，故$BC=\sqrt{5}$。
$\because AC^{2}+BC^{2}=20+5=25=AB^{2}$，
$\therefore △ ABC$为直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据余弦的定义，$\cos∠ BAC=\frac{∠ BAC的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格背景下求锐角三角函数值的常见题型，解题的核心是先利用勾股定理求出三角形三边长，再通过逆定理判断直角三角形，最后结合三角函数定义求解，解题时注意数清网格边长避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要求$\cos∠ BAC$的值，首先要明确锐角余弦的定义是角的邻边与斜边的比值，因此我们需要先确定$△ ABC$的三边长度，判断三角形是否为直角三角形。我们可以设每个小正方形的边长为1，借助网格用勾股定理分别计算$AB$、$AC$、$BC$的长度，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角后，再根据余弦的定义计算$∠ BAC$的余弦值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边的平方：
$AB^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，故$AB=5$；
$AC^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，故$AC=2\sqrt{5}$；
$BC^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，故$BC=\sqrt{5}$。
$\because AC^{2}+BC^{2}=20+5=25=AB^{2}$，
$\therefore △ ABC$为直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据余弦的定义，$\cos∠ BAC=\frac{∠ BAC的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格背景下求锐角三角函数值的常见题型，解题的核心是先利用勾股定理求出三角形三边长，再通过逆定理判断直角三角形，最后结合三角函数定义求解，解题时注意数清网格边长避免计算错误。
【难度系数】
0.7
