1. 如图,在$△ ABC$中,AD是中线,$∠ B=∠ DAC$,若$BC=8$,求$AC$的长.

1.
∵AD 是中线,BC=8,
∴BD=CD=4.
∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC,
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$,
∴$AC=\sqrt{BC · DC}=4\sqrt{2}$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AD是△ABC的中线，结合BC的长度可先求出CD的长度；再观察角的条件，已知∠B=∠DAC，还有公共角∠C，满足两角分别相等的两个三角形相似的判定条件，可推出△ABC和△DAC相似；最后根据相似三角形对应边成比例，列出关于AC的比例式，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=4$。
在△ABC和△DAC中：
$\begin{cases}∠B=∠DAC \\∠C=∠C\end{cases}$
∴△ABC∽△DAC（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{AC}$，
交叉变形得$AC^2=BC· DC$，
代入BC=8，DC=4，得$AC^2=8×4=32$，
∵AC为线段长度，取值为正，
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是准确找到两组相等的对应角判定三角形相似，再结合中线性质得到相关线段长度，利用相似三角形的边比例关系建立等式求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$AB// GH// CD$，点 $H$ 在 $BC$ 上，$AC$ 与 $BD$ 交于点 $G$，$AB=2$，$CD=3$，求 $GH$ 的长.

2.
∵AB//GH//CD,
∴△GHC∽△ABC,△BGH∽△BDC,
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{HC}{BC},\frac{GH}{DC}=\frac{BH}{BC}$,
∴$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{DC}=\frac{HC}{BC}+\frac{BH}{BC}=1$.
∵AB=2,CD=3,
∴$\frac{GH}{2}+\frac{GH}{3}=1$,
∴$GH=\frac{6}{5}$.

【分析】
遇到多条平行线截三角形的问题，首先考虑利用平行线判定相似三角形，得到对应边的比例关系。本题中由AB//GH可推出△GHC与△ABC相似，由GH//CD可推出△BGH与△BDC相似，两个相似关系得到的比例式中都含有边长BC，将两个比例式相加后，右侧的HC+BH刚好等于BC，即可消去BC得到仅含GH的方程，代入已知长度解方程即可求出GH的长。
【解析】
∵AB//GH//CD，
∴△GHC∽△ABC，△BGH∽△BDC，
根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{GH}{AB}=\frac{HC}{BC}$，$\frac{GH}{DC}=\frac{BH}{BC}$，
将两个等式左右两边分别相加：
$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{DC}=\frac{HC}{BC}+\frac{BH}{BC}=\frac{HC+BH}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$，
把AB=2，CD=3代入上式得：
$\frac{GH}{2}+\frac{GH}{3}=1$，
通分整理得$5GH=6$，
解得$GH=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的性质
【点评】
本题考查相似三角形的实际应用，解题核心是利用平行线得到两组相似三角形，再通过比例式相加消去公共的底边长BC，这种整体相加消元的方法在相似三角形求线段长的题型中十分常见，要注意总结运用。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在五角星图形中,$AD=BC$,$C$,$D$两点都是$AB$的黄金分割点,$AB=1$,求$CD$的长.

3.
∵C,D两点都是AB的黄金分割点，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-CD$.
∵AD=BC,
∴$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-CD$.
又AC+BC=AB,
∴$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}-CD=1$,
∴$CD=\sqrt{5}-2$.

【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：黄金分割点将线段分为较长线段与较短线段，较长线段的长度是原线段长的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。第一步先根据C、D是AB的黄金分割点，求出较长线段AC、BD的长度；第二步结合线段的和差关系，将BC用含CD的代数式表示；最后利用$AC+BC=AB$的等量关系列方程，即可求解CD的长度。
【解析】
∵C，D两点都是AB的黄金分割点，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵$AB=1$，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$AD=AC-CD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-CD$，
又
∵$AD=BC$，
∴$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}-CD$，
∵$AC+BC=AB$，
将AC、BC的表达式代入得：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}-CD=1$，
整理得$\sqrt{5}-1 - CD=1$，
解得$CD=\sqrt{5}-2$。
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
黄金分割的定义；线段和差计算；列方程求线段长
【点评】
本题核心考查黄金分割性质的应用，解题关键是熟记黄金分割的比例关系，同时准确分析图形中线段的和差关系，建立正确的等量式求解，做题时要注意不要混淆黄金分割中较长线段与原线段的比例，避免计算出错。
【难度系数】
0.6

4. (邵阳中考)如图，$CA⊥AD,ED⊥AD$，点 B 是线段 AD 上的一点，且 $CB⊥BE$. 已知 $AB=8,AC=6$，$DE=4$.
(1)证明: $△ ABC ∽ △ DEB$；
(2)求线段 BD 的长.

4. (1)
∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,
∴△ABC∽△DEB.
(2)
∵△ABC∽△DEB,
∴$\frac{CA}{BD}=\frac{AB}{DE}$,
∴$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$,
∴BD=3.

【分析】
(1) 要证明△ABC∽△DEB，先根据已知的垂直关系得到多个直角，再利用同角的余角相等推导得到两组对应角相等，即可根据相似三角形的判定定理完成证明。
(2) 证得两个三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长建立比例式，求解即可得到BD的长度，注意要准确匹配对应边，避免比例关系写反。
【解析】
(1) 证明：
∵$CA⊥AD$，$ED⊥AD$，$CB⊥BE$，
∴$∠ A=∠ CBE=∠ D=90°$，
∴$∠ C+∠ CBA=90°$，$∠ CBA+∠ DBE=180°-∠ CBE=90°$，
∴$∠ C=∠ DBE$（同角的余角相等），
∴$△ ABC ∽ △ DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵$△ ABC ∽ △ DEB$，
∴对应边成比例，即$\frac{CA}{BD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AC=6$，$AB=8$，$DE=4$代入比例式得：
$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$，
解得$BD=3$。
【答案】
(1) 已证$△ ABC ∽ △ DEB$；
(2) $BD=3$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、余角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，核心是通过垂直关系推导相等的角判定相似，再利用相似的性质求解线段长度，解题时需注意准确识别相似三角形的对应边，避免比例书写错误。
【难度系数】
0.8