1. 计算:
(1)$3\tan 30° + \sin 45° - 2\sin 60°$;
(2)$2\cos 30° - \tan 60° + \sin 30° + \frac{1}{2}\tan 45°$;
(3)$2\sin 60° · \tan 45° + \cos^2 30° - \tan 60°$;
(4)$\frac{\cos 30° - \sin 45°}{\sin 60° - \tan 30°}$.

(1)原式=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(2)原式=1；
(3)原式=$\frac{3}{4}$；
(4)原式=$3-\sqrt{6}$.

【分析】
解决这类锐角三角函数的计算问题，核心思路分为两步：第一步，准确记忆30°、45°、60°这三个特殊锐角的三角函数值；第二步，将对应三角函数值代入原式后，按照实数混合运算的规则（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先计算括号内的内容）逐步计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$：
原式$=3×\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}-2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 代入特殊角的三角函数值$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan45°=1$：
原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×1$
$=\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
$=1$
(3) 代入特殊角的三角函数值$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$：
原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×1 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \sqrt{3}$
$=\sqrt{3}+\frac{3}{4}-\sqrt{3}$
$=\frac{3}{4}$
(4) 代入特殊角的三角函数值$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$：
分子：$\cos30° - \sin45°=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
分母：$\sin60° - \tan30°=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
原式$=\frac{\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{6}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}×\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{\sqrt{3}}$
分母有理化得：$\frac{3(\sqrt{3}-\sqrt{2})×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{3(3-\sqrt{6})}{3}=3-\sqrt{6}$
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2)$1$；(3)$\frac{3}{4}$；(4)$3-\sqrt{6}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式运算，实数混合运算
【点评】
本题是锐角三角函数的基础计算题，核心考查对30°、45°、60°特殊锐角三角函数值的记忆熟练度，以及实数运算、二次根式化简的能力，解题时需注意运算顺序，代入数值后要仔细计算，避免因记错三角函数值或运算失误失分。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5,\cos A=\dfrac{3}{5}$,求底边$BC$的长.

过点B作$BD⊥ AC$,垂足为D.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\cos A=\dfrac{AD}{AB}$.
$\because \cos A=\dfrac{3}{5},AB=5$,
$\therefore AD=AB· \cos A=5× \dfrac{3}{5}=3$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$\because AC=AB=5,\therefore DC=2$,
$\therefore BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

【分析】
本题是等腰三角形中已知腰长和顶角的余弦值求底边长的问题，解题核心是构造含∠A的直角三角形，结合锐角三角函数和勾股定理逐步求解。首先通过作AC边上的高，将△ABC拆分为两个直角三角形，先在Rt△ABD中利用余弦的定义求出AD的长度，再用勾股定理求出BD的长度；随后根据AC的长度算出DC的长度，最后在Rt△BDC中用勾股定理即可求得BC的长。
【解析】
过点B作$BD⊥ AC$，垂足为D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\cos A=\dfrac{AD}{AB}$。
$\because \cos A=\dfrac{3}{5},AB=5$,
$\therefore AD=AB· \cos A=5× \dfrac{3}{5}=3$,
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
$\because AC=5,\therefore DC=AC-AD=5-3=2$,
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
余弦的定义，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，将已知的三角函数条件转化为边长关系，再结合勾股定理计算未知边长，能够帮助学生掌握构造直角三角形解决几何问题的常用思路。
【难度系数】
0.7

3. 如图,小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度,将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部点 B 6 m 的位置,在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53°,若测角仪的高度是 1.5 m,求旗杆 AB 的高度.(精确到 0.1 m.参考数据:$\sin 53° \approx 0.80,\cos 53° \approx 0.60,\tan 53° \approx 1.33$)

过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E.
$\because$ 在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 $53°$,
$\therefore ∠ ADE=53°$. 易证四边形 BCDE 是矩形,
$\therefore BC=DE=6\ \mathrm{m},DC=BE=1.5\ \mathrm{m}$,
$\therefore AE=DE· \tan53°\approx6×1.33=7.98(\mathrm{m})$,
$\therefore AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48(\mathrm{m})\approx9.5(\mathrm{m})$.
故旗杆 AB 的高度约为 9.5 m.

【分析】
要计算旗杆AB的高度，可将AB拆分为两段求解：一段是与测角仪等高的BE，另一段是直角三角形的直角边AE。首先过D作DE⊥AB构造Rt△ADE，结合矩形性质可得DE=BC=6m、BE=CD=1.5m；已知仰角为53°，在Rt△ADE中利用正切函数（对边比邻边）可求出AE的长度，最后将AE与BE相加即可得到AB的总高度。
【解析】
过点D作 $DE⊥ AB$ 于点E。
∵ 在D处测得旗杆顶端A的仰角为 $53°$，
∴ $∠ ADE=53°$。
∵ $DE⊥AB$，$CB⊥AB$，$CD⊥CB$，
∴ 四边形BCDE是矩形，
∴ $BC=DE=6\ \mathrm{m},DC=BE=1.5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\tan∠ADE=\frac{AE}{DE}$，
∴ $AE=DE· \tan53°\approx6×1.33=7.98(\mathrm{m})$，
∴ $AB=AE+BE=7.98+1.5=9.48(\mathrm{m})\approx9.5(\mathrm{m})$。
【答案】
旗杆AB的高度约为9.5 m。
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是锐角三角函数实际应用的基础题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为解直角三角形的数学问题，结合矩形性质即可求解，计算时需注意按要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.7