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1. 计算：
(1)$\sin 45° · \cos 45° + 4\tan 30° · \sin 60°$；
(2)$4\sin 30° - \sqrt{2}\cos 45° - \sqrt{3}\tan 30° + 2\sin 60°$；
(3)$\frac{\sin 45° + \cos 30°}{3 - 2\cos 60°} - \sin 30°(\cos 45° - \sin 60°)$；
(4)$(\sin 30°)^{-1} + \frac{\sin 45° + \cos^2 45°}{\tan 60° · \tan 30°} - \tan 45°$。
(1)$\sin 45° · \cos 45° + 4\tan 30° · \sin 60°$；
(2)$4\sin 30° - \sqrt{2}\cos 45° - \sqrt{3}\tan 30° + 2\sin 60°$；
(3)$\frac{\sin 45° + \cos 30°}{3 - 2\cos 60°} - \sin 30°(\cos 45° - \sin 60°)$；
(4)$(\sin 30°)^{-1} + \frac{\sin 45° + \cos^2 45°}{\tan 60° · \tan 30°} - \tan 45°$。
答案
1. (1)原式=$\frac{5}{2}$；
(2)原式=$\sqrt{3}$；
(3)原式=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4)原式=$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$。
(2)原式=$\sqrt{3}$；
(3)原式=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(4)原式=$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
解决这类特殊角三角函数的计算问题，思路如下：第一步，准确识记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值，避免混淆；第二步，将各三角函数值代入原式，再按照实数混合运算的规则计算：先算乘方、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号的优先计算括号内的内容，运算过程中注意根式的化简与同类项合并。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + 4×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{2}{4} + \frac{4×3}{3×2}\\&=\frac{1}{2} + 2\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
(2) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4×\frac{1}{2} - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3} + 2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2 - 1 - 1 + \sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 - 2×\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}×( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} )\\&=\frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}}{2} - \frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(4) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{1}{2} )^{-1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}} - 1\\&=2 + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}}{1} - 1\\&=2 + \frac{\sqrt{2}+1}{2} - 1\\&=1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2}\\&=\frac{2 + \sqrt{2} + 1}{2}\\&=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4)$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是准确记忆特殊角的三角函数值，运算时严格遵循运算顺序，注意根式化简和符号处理，避免因粗心记错数值或算错顺序失分。
【难度系数】
0.7
解决这类特殊角三角函数的计算问题，思路如下：第一步，准确识记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切函数值，避免混淆；第二步，将各三角函数值代入原式，再按照实数混合运算的规则计算：先算乘方、负整数指数幂，再算乘除，最后算加减，有括号的优先计算括号内的内容，运算过程中注意根式的化简与同类项合并。
【解析】
首先明确特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$。
(1) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + 4×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{2}{4} + \frac{4×3}{3×2}\\&=\frac{1}{2} + 2\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
(2) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=4×\frac{1}{2} - \sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3} + 2×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2 - 1 - 1 + \sqrt{3}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
(3) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 - 2×\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}×( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} )\\&=\frac{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}}{2} - \frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(4) 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{1}{2} )^{-1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + ( \frac{\sqrt{2}}{2} )^2}{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}} - 1\\&=2 + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}}{1} - 1\\&=2 + \frac{\sqrt{2}+1}{2} - 1\\&=1 + \frac{\sqrt{2}+1}{2}\\&=\frac{2 + \sqrt{2} + 1}{2}\\&=\frac{3+\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{5}{2}$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$\frac{\sqrt{3}}{2}$；(4)$\frac{3+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，负整数指数幂
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是准确记忆特殊角的三角函数值，运算时严格遵循运算顺序，注意根式化简和符号处理，避免因粗心记错数值或算错顺序失分。
【难度系数】
0.7
2. 新情境 数学与生活融合 (辽宁中考)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离.(结果取整数，参考数据：$\sin 50° \approx 0.766$，$\cos 50° \approx 0.643$，$\tan 50° \approx 1.192$，$\sqrt{2} \approx 1.414$)
答案
如图，过点B作$BD ⊥ AC$，垂足为D.
由题意，得$∠ BAC=25°+25°=50°$，
$∠ BCA=70°-25°=45°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=100$海里，
$\therefore AD=AB · \cos 50° \approx 100 × 0.643=64.3$(海里)，
$BD=AB · \sin 50° \approx 100 × 0.766=76.6$(海里).
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$CD=\frac{BD}{\tan 45°}=76.6$(海里)，
$\therefore AC=AD+CD \approx 64.3+76.6 \approx 141$(海里).
故此时货轮与A港口的距离约为141海里.
解析
【分析】
这是结合方向角的解三角形实际应用题，解题思路如下：首先根据题目给出的方向角信息，计算出△ABC中∠BAC和∠BCA的度数；由于△ABC是斜三角形，无法直接用锐角三角函数计算边长，因此过点B作AC的垂线，构造两个直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题；最后分别在两个直角三角形中，利用已知的AB边长和锐角三角函数值求出AD、CD的长度，两者相加即可得到货轮与A港口的距离AC。
【解析】
解：过点B作$BD ⊥ AC$，垂足为D。
由题意得：
$∠ BAC=25°+25°=50°$，
$∠ BCA=70°-25°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=100$海里，
$\therefore AD=AB · \cos50° \approx 100 × 0.643=64.3$（海里），
$BD=AB · \sin50° \approx 100 × 0.766=76.6$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ BCA=45°$，
$\therefore CD=\frac{BD}{\tan45°}=\frac{76.6}{1}=76.6$（海里），
$\therefore AC=AD+CD \approx 64.3+76.6 \approx 141$（海里）。
【答案】
此时货轮与A港口的距离约为141海里。
【知识点】
方向角应用，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题以航行实际场景为载体，考查方向角的识别和利用锐角三角函数解决实际问题的能力，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
这是结合方向角的解三角形实际应用题，解题思路如下：首先根据题目给出的方向角信息，计算出△ABC中∠BAC和∠BCA的度数；由于△ABC是斜三角形，无法直接用锐角三角函数计算边长，因此过点B作AC的垂线，构造两个直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题；最后分别在两个直角三角形中，利用已知的AB边长和锐角三角函数值求出AD、CD的长度，两者相加即可得到货轮与A港口的距离AC。
【解析】
解：过点B作$BD ⊥ AC$，垂足为D。
由题意得：
$∠ BAC=25°+25°=50°$，
$∠ BCA=70°-25°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=100$海里，
$\therefore AD=AB · \cos50° \approx 100 × 0.643=64.3$（海里），
$BD=AB · \sin50° \approx 100 × 0.766=76.6$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$∠ BCA=45°$，
$\therefore CD=\frac{BD}{\tan45°}=\frac{76.6}{1}=76.6$（海里），
$\therefore AC=AD+CD \approx 64.3+76.6 \approx 141$（海里）。
【答案】
此时货轮与A港口的距离约为141海里。
【知识点】
方向角应用，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题以航行实际场景为载体，考查方向角的识别和利用锐角三角函数解决实际问题的能力，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
