9. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$PB$,$PC$分别与$\odot O$相切于点$B$,$C$,过点$C$作直径$AB$的垂线,垂足为$E$,交$\odot O$于点$D$. 若$∠ BPC=60°$,$CD=2\sqrt{3}$,则$PB$的长为.

9. $2\sqrt{3}$ 解析:连接BC. 因为PB,PC分别与⊙O相切于点B,C,所以PB=PC,AB⊥PB,所以∠ABP=90°. 因为∠BPC=60°,所以△PBC是等边三角形,所以PB=BC,∠PBC=60°,所以∠CBE=∠ABP-∠PBC=30°. 因为AB⊥CD,CD=$2\sqrt{3}$,所以∠BEC=90°,$CE=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}$,所以PB=BC=2CE=$2\sqrt{3}$.

10. 如图，$PA$，$PB$ 是$\odot O$ 的切线，$A$，$B$ 是切点，点 $C$，$D$ 在$\odot O$ 上. 若$∠ P=106^{\circ }$，则$∠ BCD+$$∠ PAD=$.

10. $217°$ 解析:连接AB. 因为PA,PB是⊙O的切线,所以PA=PB. 因为∠P=106°,所以∠PAB=∠PBA=$\frac{1}{2}(180°-∠ P)=37°$. 因为四边形ABCD内接于⊙O,所以∠BCD+∠BAD=180°,所以∠BCD+∠PAD=∠BCD+∠BAD+∠PAB=217°.

11. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=5$,$AD$,$AB$,$BC$分别与$\odot O$相切于点$E$,$F$,$G$,过点$D$作$\odot O$的切线交$BC$于点$M$,切点为$N$,则$DM=$.

11. $\frac{13}{3}$ 解析:连接OE,OF,OG. 因为四边形ABCD是矩形,所以∠A=∠B=∠C=90°,BC=AD=5,CD=AB=4. 因为AD,AB,BC分别与⊙O相切于点E,F,G,所以OE⊥AD,OF⊥AB,OG⊥BC,所以∠OEA=∠OFA=∠OFB=∠OGB=90°. 又OE=OF=OG,所以四边形OEAF和四边形OFBG是边长相等的正方形,所以AE=BG=BF=AF=$\frac{1}{2}AB=2$,所以DE=AD-AE=3. 因为DM与⊙O相切于点N,所以DN=DE=3,MN=MG. 设MN=MG=x,则CM=BC-BG-MG=3-x,DM=DN+MN=3+x. 因为$CD^2+CM^2=DM^2$,所以$4^2+(3-x)^2=(3+x)^2$,解得$x=\frac{4}{3}$,所以$DM=\frac{13}{3}$.

12. (2025·江苏镇江二模)如图,AB 为$\odot O$的直径,过圆上一点 D 作$\odot O$的切线 CD 交BA 的延长线于点 C,过点 O 作$OE// AD$交CD 的延长线于点 E,连接 BE.
(1) 直线 BE 与$\odot O$相切吗? 请说明理由；
(2) 若$CA=2,CD=4$,求 DE 的长.

12. (1) 直线 BE 与⊙O 相切. 理由如下:连接 OD. 因为 CD 是 ⊙O 的切线,所以 OD ⊥ CD,所以∠ODE=90°. 因为 OE//AD,所以∠ODA=∠DOE,∠OAD=∠BOE. 因为 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA,所以∠BOE=∠DOE. 在△BOE 和△DOE 中,
$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠BOE=∠DOE, \\ OE=OE, \end{cases}$
所以△BOE≌△DOE,所以∠OBE=∠ODE=90°,所以 OB ⊥ BE. 因为 OB 是⊙O 的半径,所以直线 BE 与⊙O 相切.
(2) 设⊙O 的半径为 r,则 OA=OB=OD=r. 因为 CA=2,所以 OC=OA+CA=r+2. 因为∠ODC=90°,所以$OD^2+CD^2=OC^2$. 因为 CD=4,所以$r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 r=3,所以 OA=OB=3,所以 BC=OA+OB+CA=8. 因为 ED,EB 分别与⊙O 相切于点 D,B,所以 DE=BE. 设 DE=BE=x,则 CE=DE+CD=x+4. 因为∠OBE=90°,所以$BE^2+BC^2=CE^2$,即$x^2+8^2=(x+4)^2$,解得 x=6,即 DE 的长为 6.

13. 亮点原创 如图,正方形$ABCD$的边长为1,以点$B$为圆心,$BA$为半径画$\overset{\frown}{AC}$,$M$为$\overset{\frown}{AC}$上一动点,连接$BM$,过点$M$作$MQ ⊥$$BM$交边$CD$于点$Q$,连接$MD$,则$△ MDQ$周长的最小值为.

13. $\sqrt{2}$ 解析:因为四边形ABCD是边长为1的正方形,所以BM=BC=CD=1,∠BCD=90°,所以QC⊥BC. 因为BC为⊙B的半径,所以QC为⊙B的切线. 因为MQ⊥BM,BM为⊙B的半径,所以MQ为⊙B的切线,所以MQ=QC,所以$C_{△MDQ}=MD+MQ+DQ=MD+QC+DQ=MD+CD=MD+1$,所以当MD的长最小时,$C_{△MDQ}$的值最小. 连接BD,则$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2}$. 结合题图可知,当M为BD与$\overset{\frown}{AC}$的交点时,MD的长最小,且$MD=BD-BM=\sqrt{2}-1$,所以△MDQ周长的最小值为$\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$.

14. 新趋势 推导探究 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，经过点$C$的$\odot O$与斜边$AB$相切于点$P$.
（1）如图①，当点$O$在$AC$上时，求证：$∠ B = 2∠ ACP$；
（2）如图②，若$AC = 8$，$BC = 6$，则当点$O$在$△ ABC$的外部时，求$CP$长的取值范围.

14. (1) 因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC. 因为OC为⊙O的半径,所以BC是⊙O的切线. 因为⊙O与边AB相切于点P,所以BC=BP,所以∠BCP=∠BPC,所以∠B=180°-∠BCP-∠BPC=180°-2∠BCP=2(90°-∠BCP). 因为∠ACP=∠ACB-∠BCP=90°-∠BCP,所以∠B=2∠ACP.
(2) 如图,当点O在BC上时,连接OA,OP. 因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6,所以AC⊥BC,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$. 因为OC为⊙O的半径,所以AC为⊙O的切线. 因为⊙O与边AB相切于点P,所以OP⊥AB,AP=AC=8,所以∠OPB=90°,BP=AB-AP=2. 设OC=OP=x,则OB=BC-OC=6-x. 因为$OP^2+BP^2=OB^2$,所以$x^2+2^2=(6-x)^2$,解得$x=\frac{8}{3}$,所以$OC=\frac{8}{3}$,所以$OA=\sqrt{OC^2+AC^2}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$. 因为AC=AP,OC=OP,所以OA垂直平分CP,所以$S_{四边形ACOP}=\frac{1}{2}AC·OC+\frac{1}{2}AP·OP=\frac{1}{2}OA·CP$,所以$CP=\frac{2AC·OC}{OA}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$. 当点O在AC上时,同理可得$CP=\frac{12\sqrt{5}}{5}$. 当点P与点A重合时,CP最长,此时CP=8. 因为点O在△ABC的外部,且$\frac{8\sqrt{10}}{5}＜\frac{12\sqrt{5}}{5}＜6$,所以CP长的取值范围为$\frac{8\sqrt{10}}{5}＜CP≤8$.