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16. 图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分(图2、图3阴影部分)均由边长为$2a+b$的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉的部分。图2的四个角落图形相同，其中四边形$ABCD$和$OPDQ$分别是边长为$a$和$\frac{a}{2}$的正方形，中间处是边长为$b-a$的正方形。图3阴影部分由四块边长为$a$的正方形和一块边长为$b$的正方形组成。图2和图3两块阴影部分的面积都是60。未裁剪前大正方形红布的面积为________。
答案
16.$100$ 【解析】因为图2和图3两块阴影部分的面积都是60,所以由条件可得,$(2a+b)^2-(b-a)^2-4(a^2-\frac{a^2}{4})=6ab=60$,$4a^2+b^2=60$①。所以$4ab=40$②。①+②得,$4a^2+4ab+b^2=60+40$,即$(2a+b)^2=100$。所以未裁剪前大正方形红布的面积为100。
解析
【分析】
解题思路：首先明确未裁剪前大正方形的边长为$2a+b$，其面积为$(2a+b)^2$。分别表示图2和图3的阴影面积，利用两者阴影面积均为60建立等式，通过代数变形（结合完全平方公式）求出$(2a+b)^2$的值，即为所求大正方形的面积。
步骤：1. 计算图3阴影面积，得到$4a^2 + b^2=60$；2. 计算图2阴影面积，化简后得到$6ab=60$；3. 联立两个等式，利用完全平方公式变形求出$(2a+b)^2$，得到大正方形面积。
【解析】
1. 计算图3阴影面积：图3阴影由4个边长为$a$的正方形和1个边长为$b$的正方形组成，因此面积为$4a^2 + b^2$，已知其面积为60，故得：
$4a^2 + b^2 = 60$ ①
2. 计算图2阴影面积：大正方形面积为$(2a+b)^2$，中间空白是边长为$(b-a)$的正方形，面积为$(b-a)^2$；四个角落每个空白部分是边长为$a$的正方形减去边长为$\frac{a}{2}$的正方形，单个角落空白面积为$a^2 - (\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}$，四个角落总面积为$4×\frac{3a^2}{4}=3a^2$。因此图2阴影面积为：
$(2a+b)^2 - (b-a)^2 - 3a^2$
展开并化简：
$(4a^2+4ab+b^2)-(b^2-2ab+a^2)-3a^2=6ab$
已知图2阴影面积为60，故得：
$6ab=60$，即$4ab=40$ ②
3. 将①+②：
$4a^2 + b^2 +4ab=60+40=100$
左边为完全平方公式：$(2a+b)^2$，因此$(2a+b)^2=100$，即未裁剪前大正方形红布的面积为100。
【答案】
100
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，正方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形的面积计算，通过代数变形（完全平方公式）建立关系求解，关键是正确表示两个阴影部分的面积，考查几何与代数的综合应用，需要学生具备一定的代数运算能力。
【难度系数】
0.5
解题思路：首先明确未裁剪前大正方形的边长为$2a+b$，其面积为$(2a+b)^2$。分别表示图2和图3的阴影面积，利用两者阴影面积均为60建立等式，通过代数变形（结合完全平方公式）求出$(2a+b)^2$的值，即为所求大正方形的面积。
步骤：1. 计算图3阴影面积，得到$4a^2 + b^2=60$；2. 计算图2阴影面积，化简后得到$6ab=60$；3. 联立两个等式，利用完全平方公式变形求出$(2a+b)^2$，得到大正方形面积。
【解析】
1. 计算图3阴影面积：图3阴影由4个边长为$a$的正方形和1个边长为$b$的正方形组成，因此面积为$4a^2 + b^2$，已知其面积为60，故得：
$4a^2 + b^2 = 60$ ①
2. 计算图2阴影面积：大正方形面积为$(2a+b)^2$，中间空白是边长为$(b-a)$的正方形，面积为$(b-a)^2$；四个角落每个空白部分是边长为$a$的正方形减去边长为$\frac{a}{2}$的正方形，单个角落空白面积为$a^2 - (\frac{a}{2})^2=\frac{3a^2}{4}$，四个角落总面积为$4×\frac{3a^2}{4}=3a^2$。因此图2阴影面积为：
$(2a+b)^2 - (b-a)^2 - 3a^2$
展开并化简：
$(4a^2+4ab+b^2)-(b^2-2ab+a^2)-3a^2=6ab$
已知图2阴影面积为60，故得：
$6ab=60$，即$4ab=40$ ②
3. 将①+②：
$4a^2 + b^2 +4ab=60+40=100$
左边为完全平方公式：$(2a+b)^2$，因此$(2a+b)^2=100$，即未裁剪前大正方形红布的面积为100。
【答案】
100
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，正方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形的面积计算，通过代数变形（完全平方公式）建立关系求解，关键是正确表示两个阴影部分的面积，考查几何与代数的综合应用，需要学生具备一定的代数运算能力。
【难度系数】
0.5
17.(8分)计算:
(1)$(π+2025)^{0}+(-1)^{2025}$。
(2)$(x-y)^{2}+(6x^{2}y-3x^{3})÷3x$。
(1)$(π+2025)^{0}+(-1)^{2025}$。
(2)$(x-y)^{2}+(6x^{2}y-3x^{3})÷3x$。
答案
17.(1)原式$=0$。 (2)原式$=y^2$。
解析
【分析】
本题考查零指数幂、有理数乘方及整式的混合运算。第(1)题需利用零指数幂的性质和有理数乘方的规则计算；第(2)题先算多项式除以单项式，再结合完全平方公式展开，最后合并同类项化简。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂等于1，可得$(π+2025)^0=1$；根据$-1$的奇数次幂为$-1$，得$(-1)^{2025}=-1$。
因此原式$=1 + (-1)=0$。
(2) 先计算多项式除以单项式：
$(6x^2y - 3x^3)÷3x = 6x^2y÷3x - 3x^3÷3x = 2xy - x^2$；
再展开完全平方公式：$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$；
合并同类项：原式$=x^2 - 2xy + y^2 + 2xy - x^2 = y^2$。
【答案】
(1) 原式$=0$；(2) 原式$=y^2$
【知识点】
零指数幂、整式的混合运算、完全平方公式
【点评】
本题为基础计算题，考查核心运算法则和公式，难度较低，需熟练掌握基本运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查零指数幂、有理数乘方及整式的混合运算。第(1)题需利用零指数幂的性质和有理数乘方的规则计算；第(2)题先算多项式除以单项式，再结合完全平方公式展开，最后合并同类项化简。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂等于1，可得$(π+2025)^0=1$；根据$-1$的奇数次幂为$-1$，得$(-1)^{2025}=-1$。
因此原式$=1 + (-1)=0$。
(2) 先计算多项式除以单项式：
$(6x^2y - 3x^3)÷3x = 6x^2y÷3x - 3x^3÷3x = 2xy - x^2$；
再展开完全平方公式：$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$；
合并同类项：原式$=x^2 - 2xy + y^2 + 2xy - x^2 = y^2$。
【答案】
(1) 原式$=0$；(2) 原式$=y^2$
【知识点】
零指数幂、整式的混合运算、完全平方公式
【点评】
本题为基础计算题，考查核心运算法则和公式，难度较低，需熟练掌握基本运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
18.(8分)化简代数式：$(\dfrac{2x-1}{x-1}-1)÷\dfrac{x}{x^2-1}$，判断它的值能否等于0，并说明理由。
答案
18.原式$=\frac{2x-1-x+1}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}=\frac{x}{x-1}·\frac{(x+1)(x-1)}{x}=x+1$,它的值不能为0。理由如下:因为$x≠0$且$x^2-1≠0$,所以$x≠0$且$x≠±1$。所以$x+1≠0$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需对代数式进行化简：先计算括号内的分式减法，通分后合并同类项；再将除法转化为乘法，对分母的平方差因式分解，通过约分得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的取值范围，进而判断化简后的式子能否等于0。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{2x - 1}{x - 1} - 1) ÷ \frac{x}{x^2 - 1}\\=&\frac{2x - 1 - (x - 1)}{x - 1} · \frac{(x + 1)(x - 1)}{x} \quad \mathrm{（通分计算括号内，分解平方差）}\\=&\frac{2x -1 -x +1}{x -1} · \frac{(x +1)(x -1)}{x} \quad \mathrm{（去括号化简）}\\=&\frac{x}{x -1} · \frac{(x +1)(x -1)}{x} \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&x + 1 \quad \mathrm{（约分，需满足x≠0且x≠±1）}\end{aligned}$
判断值能否为0：若原式的值为0，则需$x + 1 = 0$，即$x = -1$。但原式中分母$x^2 -1≠0$，即$x≠±1$，因此$x=-1$时分母为0，原式无意义，故原式的值不能等于0。
【答案】
化简结果为$x+1$，它的值不能等于0。理由：因为分式有意义需$x≠0$且$x≠±1$，所以$x+1≠0$，故原式值不能为0。
【知识点】
分式的化简、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是通分、因式分解和约分，解题关键是牢记分式分母不能为0的隐含条件，避免因忽略取值限制导致判断错误，属于基础题型，需细心计算。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需对代数式进行化简：先计算括号内的分式减法，通分后合并同类项；再将除法转化为乘法，对分母的平方差因式分解，通过约分得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的取值范围，进而判断化简后的式子能否等于0。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{2x - 1}{x - 1} - 1) ÷ \frac{x}{x^2 - 1}\\=&\frac{2x - 1 - (x - 1)}{x - 1} · \frac{(x + 1)(x - 1)}{x} \quad \mathrm{（通分计算括号内，分解平方差）}\\=&\frac{2x -1 -x +1}{x -1} · \frac{(x +1)(x -1)}{x} \quad \mathrm{（去括号化简）}\\=&\frac{x}{x -1} · \frac{(x +1)(x -1)}{x} \quad \mathrm{（合并同类项）}\\=&x + 1 \quad \mathrm{（约分，需满足x≠0且x≠±1）}\end{aligned}$
判断值能否为0：若原式的值为0，则需$x + 1 = 0$，即$x = -1$。但原式中分母$x^2 -1≠0$，即$x≠±1$，因此$x=-1$时分母为0，原式无意义，故原式的值不能等于0。
【答案】
化简结果为$x+1$，它的值不能等于0。理由：因为分式有意义需$x≠0$且$x≠±1$，所以$x+1≠0$，故原式值不能为0。
【知识点】
分式的化简、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的混合运算，核心是通分、因式分解和约分，解题关键是牢记分式分母不能为0的隐含条件，避免因忽略取值限制导致判断错误，属于基础题型，需细心计算。
【难度系数】
0.6
19.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases} 2x - 3y = -7, \\ x + 5y = 3。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = 4$。
(1)$\begin{cases} 2x - 3y = -7, \\ x + 5y = 3。 \end{cases}$
(2)$\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = 4$。
答案
19.(1)$\begin{cases} x=-2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=\frac{11}{5}$。
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问是二元一次方程组，可通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，先求出单个未知数的值，再回代得到另一个未知数；第(2)问是分式方程，需先将异分母转化为同分母，化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式方程的分母不为0，避免出现增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -7 & ① \\ x + 5y = 3 & ②\end{cases}$
由方程②变形得：$x = 3 - 5y$ ③
将③代入①得：$2(3 - 5y) - 3y = -7$
展开计算：$6 - 10y - 3y = -7$
合并同类项：$6 - 13y = -7$
移项得：$-13y = -13$
解得：$y = 1$
将$y=1$代入③得：$x = 3 - 5×1 = -2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=1\end{cases}$
(2) 解分式方程：
$\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = 4$
先统一分母，$\dfrac{x}{2 - x} = -\dfrac{x}{x - 2}$，原方程变形为：
$\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{x}{x - 2} = 4$
两边同乘最简公分母$(x - 2)$，得：
$3 - x = 4(x - 2)$
展开右边：$3 - x = 4x - 8$
移项合并同类项：$5x = 11$
解得：$x = \dfrac{11}{5}$
检验：当$x = \dfrac{11}{5}$时，$x - 2 = \dfrac{1}{5} ≠ 0$，故$x = \dfrac{11}{5}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=\frac{11}{5}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组和分式方程的常规解法，需掌握消元思想（解方程组）和分式方程必须验根的要点，整体难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
本题包含两小问，第(1)问是二元一次方程组，可通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，先求出单个未知数的值，再回代得到另一个未知数；第(2)问是分式方程，需先将异分母转化为同分母，化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式方程的分母不为0，避免出现增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - 3y = -7 & ① \\ x + 5y = 3 & ②\end{cases}$
由方程②变形得：$x = 3 - 5y$ ③
将③代入①得：$2(3 - 5y) - 3y = -7$
展开计算：$6 - 10y - 3y = -7$
合并同类项：$6 - 13y = -7$
移项得：$-13y = -13$
解得：$y = 1$
将$y=1$代入③得：$x = 3 - 5×1 = -2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=1\end{cases}$
(2) 解分式方程：
$\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = 4$
先统一分母，$\dfrac{x}{2 - x} = -\dfrac{x}{x - 2}$，原方程变形为：
$\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{x}{x - 2} = 4$
两边同乘最简公分母$(x - 2)$，得：
$3 - x = 4(x - 2)$
展开右边：$3 - x = 4x - 8$
移项合并同类项：$5x = 11$
解得：$x = \dfrac{11}{5}$
检验：当$x = \dfrac{11}{5}$时，$x - 2 = \dfrac{1}{5} ≠ 0$，故$x = \dfrac{11}{5}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-2, \\ y=1。 \end{cases}$ (2)$x=\frac{11}{5}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组和分式方程的常规解法，需掌握消元思想（解方程组）和分式方程必须验根的要点，整体难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8
