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9.长方形$ABCD$按如图所示折叠，$EH// PQ$，若$∠ DPQ$的度数增大$10°$，则$∠ EFC$的度数变化情况为（$\quad$）
A.增大$10°$
B.减小$10°$
C.增大$5°$
D.减小$5°$
A.增大$10°$
B.减小$10°$
C.增大$5°$
D.减小$5°$
答案
9.D 【解析】设$∠DPQ=α$。因为$EH//PQ$,所以$∠PEH=∠DPQ=α$。由折叠的性质可得$∠AEF=∠FEH=\frac{1}{2}(180°-α)$,因为四边形$ABCD$是长方形,所以$AD//BC$。所以$∠EFC=∠AEF=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。若$∠DPQ$的度数增大$10°$,则$∠EFC=90°-\frac{1}{2}(α+10°)=90°-\frac{1}{2}α-5°$,所以若$∠DPQ$的度数增大$10°$,则$∠EFC$减小$5°$。故选D。
解析
【分析】
要解决该问题，需通过设未知角，结合平行线性质、折叠性质及长方形性质，建立∠DPQ与∠EFC的关系，再分析角度变化情况。首先设∠DPQ=α，利用EH//PQ得到∠PEH与α的等量关系；再根据折叠性质推导∠AEF的表达式；最后结合长方形对边平行的性质，得到∠EFC与∠AEF的关系，进而分析角度变化。
【解析】
设∠DPQ=α。
1. 因为EH//PQ，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠PEH=∠DPQ=α。
2. 由折叠的性质，折叠前后对应角相等，故∠AEF=∠FEH。又因为∠AEF + ∠FEH + ∠PEH = 180°（平角定义），因此∠AEF = (180° - α)/2 = 90° - (1/2)α。
3. 因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EFC=∠AEF，即∠EFC=90° - (1/2)α。
4. 当∠DPQ增大10°，即变为α+10°时，此时∠EFC=90° - (1/2)(α+10°)=90° - (1/2)α -5°，对比原∠EFC可知，∠EFC减小了5°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质
【点评】
本题结合长方形折叠和平行线的性质，考查角度关系的推导，要求学生熟练运用几何性质建立角的联系，逐步分析角度变化，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需通过设未知角，结合平行线性质、折叠性质及长方形性质，建立∠DPQ与∠EFC的关系，再分析角度变化情况。首先设∠DPQ=α，利用EH//PQ得到∠PEH与α的等量关系；再根据折叠性质推导∠AEF的表达式；最后结合长方形对边平行的性质，得到∠EFC与∠AEF的关系，进而分析角度变化。
【解析】
设∠DPQ=α。
1. 因为EH//PQ，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠PEH=∠DPQ=α。
2. 由折叠的性质，折叠前后对应角相等，故∠AEF=∠FEH。又因为∠AEF + ∠FEH + ∠PEH = 180°（平角定义），因此∠AEF = (180° - α)/2 = 90° - (1/2)α。
3. 因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EFC=∠AEF，即∠EFC=90° - (1/2)α。
4. 当∠DPQ增大10°，即变为α+10°时，此时∠EFC=90° - (1/2)(α+10°)=90° - (1/2)α -5°，对比原∠EFC可知，∠EFC减小了5°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、长方形的性质
【点评】
本题结合长方形折叠和平行线的性质，考查角度关系的推导，要求学生熟练运用几何性质建立角的联系，逐步分析角度变化，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
10.将长方形A和长方形B按如图所示摆放,由图中信息可知,"?"代表的值为
(
A.6.75
B.6.5
C.7.25
D.6
(
C
)A.6.75
B.6.5
C.7.25
D.6
答案
10.C 【解析】设长方形A的长为$x$,宽为$y$,则长方形B的长为$x$,宽为$3-y$。根据题意得$\begin{cases} x+y=5, \\ x+3-y=5.5, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=3.75, \\ y=1.25, \end{cases}$ 所以$x+2(3-y)=3.75+2×(3-1.25)=7.25$。故选C。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过设未知数表示长方形A、B的长和宽，利用图中给出的高度关系建立二元一次方程组，先求出A、B的长和宽，再计算“?”代表的数值。首先观察图形：第一个图中A和B上下叠放总高为3，说明A的宽与B的宽之和为3；第二个图中A横放、B竖放总高为5，第三个图中B横放、A竖放总高为5.5，由此可列出关于A、B长和宽的方程组，解出未知数后代入“?”对应的表达式计算即可。
【解析】
设长方形A的长为$ x $，宽为$ y $。
由第一个图可知，长方形B的宽为$ 3 - y $，且B的长与A的长相等，即B的长为$ x $。
根据第二个图的总高度可得：$ x + y = 5 $；
根据第三个图的总高度可得：$ x + (3 - y) = 5.5 $，整理为$ x + 3 - y = 5.5 $。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 5 \\x + 3 - y = 5.5\end{cases}$
解这个方程组：
将两个方程相加，得$ 2x + 3 = 10.5 $，解得$ x = 3.75 $；
把$ x = 3.75 $代入$ x + y =5 $，得$ 3.75 + y =5 $，解得$ y =1.25 $。
观察第四个图，“?”代表的数值为B的长加上2倍的B的宽，即：
$ x + 2(3 - y) = 3.75 + 2×(3 -1.25) =3.75 + 3.5 =7.25 $。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合几何图形考查二元一次方程组的应用，体现了数形结合的数学思想，需要学生准确分析图形中各边的数量关系，合理设元建立方程，是一道综合性较强的基础应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以通过设未知数表示长方形A、B的长和宽，利用图中给出的高度关系建立二元一次方程组，先求出A、B的长和宽，再计算“?”代表的数值。首先观察图形：第一个图中A和B上下叠放总高为3，说明A的宽与B的宽之和为3；第二个图中A横放、B竖放总高为5，第三个图中B横放、A竖放总高为5.5，由此可列出关于A、B长和宽的方程组，解出未知数后代入“?”对应的表达式计算即可。
【解析】
设长方形A的长为$ x $，宽为$ y $。
由第一个图可知，长方形B的宽为$ 3 - y $，且B的长与A的长相等，即B的长为$ x $。
根据第二个图的总高度可得：$ x + y = 5 $；
根据第三个图的总高度可得：$ x + (3 - y) = 5.5 $，整理为$ x + 3 - y = 5.5 $。
联立方程组：
$\begin{cases}x + y = 5 \\x + 3 - y = 5.5\end{cases}$
解这个方程组：
将两个方程相加，得$ 2x + 3 = 10.5 $，解得$ x = 3.75 $；
把$ x = 3.75 $代入$ x + y =5 $，得$ 3.75 + y =5 $，解得$ y =1.25 $。
观察第四个图，“?”代表的数值为B的长加上2倍的B的宽，即：
$ x + 2(3 - y) = 3.75 + 2×(3 -1.25) =3.75 + 3.5 =7.25 $。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题结合几何图形考查二元一次方程组的应用，体现了数形结合的数学思想，需要学生准确分析图形中各边的数量关系，合理设元建立方程，是一道综合性较强的基础应用题。
【难度系数】
0.6
11. 因式分解：$a^2 - 2a =$
a(a-2)
。答案
11.$a(a-2)$
解析
【分析】
这道题是因式分解的基础题，解题思路是运用提公因式法：先确定多项式各项的公因式，再将公因式提取，把多项式转化为公因式与另一个因式的乘积形式。对于式子$a^2 - 2a$，各项都含有公因式$a$，提取后即可完成因式分解。
【解析】
解：观察多项式$a^2 - 2a$，各项的公因式为$a$，根据提公因式法，将公因式$a$提取，可得：
$a^2 - 2a = a(a - 2)$
【答案】
$a(a - 2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题考查因式分解的基本方法——提公因式法，属于基础题型，只需准确找出公因式就能完成分解，是因式分解的入门题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题是因式分解的基础题，解题思路是运用提公因式法：先确定多项式各项的公因式，再将公因式提取，把多项式转化为公因式与另一个因式的乘积形式。对于式子$a^2 - 2a$，各项都含有公因式$a$，提取后即可完成因式分解。
【解析】
解：观察多项式$a^2 - 2a$，各项的公因式为$a$，根据提公因式法，将公因式$a$提取，可得：
$a^2 - 2a = a(a - 2)$
【答案】
$a(a - 2)$
【知识点】
因式分解、提公因式法
【点评】
本题考查因式分解的基本方法——提公因式法，属于基础题型，只需准确找出公因式就能完成分解，是因式分解的入门题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
12.若关于$x,y$的方程$ax-3y=2$有一组解是$\begin{cases} x=-1, \\ y=2, \end{cases}$则$a$的值为________。
答案
12.$-8$
解析
【分析】
要确定a的值，需依据方程解的定义：方程的解满足方程，因此将已知的解$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
把$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$代入方程$ax-3y=2$，得：
$a×(-1) - 3×2 = 2$
化简得：$-a -6 = 2$
移项得：$-a = 8$
两边同乘$-1$，解得：$a = -8$
【答案】
-8
【知识点】
二元一次方程的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查方程解的基础概念，属于常规基础题，仅需代入解转化为一元一次方程求解，步骤简单，易掌握。
【难度系数】
0.9
要确定a的值，需依据方程解的定义：方程的解满足方程，因此将已知的解$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
把$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$代入方程$ax-3y=2$，得：
$a×(-1) - 3×2 = 2$
化简得：$-a -6 = 2$
移项得：$-a = 8$
两边同乘$-1$，解得：$a = -8$
【答案】
-8
【知识点】
二元一次方程的解，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查方程解的基础概念，属于常规基础题，仅需代入解转化为一元一次方程求解，步骤简单，易掌握。
【难度系数】
0.9
13.某班对50名同学的“上学方式”进行了调查，绘制了扇形统计图。
调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为
调查发现，步行上学的共有10人，则步行上学的学生人数所对应的扇形的圆心角的度数为
72°
。答案
13.$72°$
解析
【分析】
要计算步行上学学生对应的扇形圆心角，需先求出步行人数占总人数的比例，再用该比例乘以整个圆的圆心角（360°）即可得到结果。
【解析】
已知总人数为50人，步行上学的有10人，先计算步行人数占总人数的比例：$\frac{10}{50}=0.2$；
整个圆的圆心角为360°，因此步行对应的扇形圆心角为：$0.2×360°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
扇形统计图、圆心角计算
【点评】
本题考查扇形统计图中圆心角的计算，属于统计板块的基础题型，核心是理解“扇形圆心角=对应部分占总体的比例×360°”，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.9
要计算步行上学学生对应的扇形圆心角，需先求出步行人数占总人数的比例，再用该比例乘以整个圆的圆心角（360°）即可得到结果。
【解析】
已知总人数为50人，步行上学的有10人，先计算步行人数占总人数的比例：$\frac{10}{50}=0.2$；
整个圆的圆心角为360°，因此步行对应的扇形圆心角为：$0.2×360°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
扇形统计图、圆心角计算
【点评】
本题考查扇形统计图中圆心角的计算，属于统计板块的基础题型，核心是理解“扇形圆心角=对应部分占总体的比例×360°”，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.9
14. 已知$x-2y=0$，则分式$\dfrac{x-y}{2x+y}$的值为________。
答案
14.$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
要计算分式$\dfrac{x-y}{2x+y}$的值，已知$x-2y=0$，可先通过等式变形得到$x$与$y$的关系，再将该关系代入分式，约去相同字母（需保证分式有意义）即可求出结果。
【解析】
解：由$x-2y=0$，得$x=2y$（$y≠0$，否则分式分母为0无意义）。
将$x=2y$代入分式$\dfrac{x-y}{2x+y}$，得：
$\dfrac{2y - y}{2×2y + y} = \dfrac{y}{5y} = \dfrac{1}{5}$（$y≠0$时，约去$y$）。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式的化简求值、代数式的代入计算
【点评】
本题是基础分式求值题，核心是利用已知等式变形得到变量关系，再代入分式化简计算，步骤清晰，侧重考查分式的基本运算能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
要计算分式$\dfrac{x-y}{2x+y}$的值，已知$x-2y=0$，可先通过等式变形得到$x$与$y$的关系，再将该关系代入分式，约去相同字母（需保证分式有意义）即可求出结果。
【解析】
解：由$x-2y=0$，得$x=2y$（$y≠0$，否则分式分母为0无意义）。
将$x=2y$代入分式$\dfrac{x-y}{2x+y}$，得：
$\dfrac{2y - y}{2×2y + y} = \dfrac{y}{5y} = \dfrac{1}{5}$（$y≠0$时，约去$y$）。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式的化简求值、代数式的代入计算
【点评】
本题是基础分式求值题，核心是利用已知等式变形得到变量关系，再代入分式化简计算，步骤清晰，侧重考查分式的基本运算能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
15. 如图,某民航飞机在起飞阶段,先从跑道水平加速滑行(AB段),后抬头拉升飞行至C,因仰角过大,系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头,减少仰角到安全角度,然后攀升至E后,开始水平巡航(EF段),已知$∠ ABC=150°,∠ CEF=165°$,则减少的仰角$∠ DCE$的度数为________。
答案
15.$15°$ 【解析】如图,过点$C$作$CG//AB$。所以$∠ABC=∠BCG=150°$。因为$AB//EF$,所以$CG//EF$。所以$∠ECG=180°-∠CEF=15°$。所以$∠DCE=180°-∠BCG-∠ECG=15°$。
解析
【分析】要计算∠DCE的度数，需利用平行线的性质，通过作辅助线构造平行关系，将已知角与所求角关联。首先过点C作CG平行于AB，根据平行线的性质求出∠BCG，再结合AB与EF平行推出CG平行EF，求出∠ECG，最后根据平角的定义计算∠DCE。
【解析】如图，过点C作$CG// AB$。
因为$CG// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ ABC=∠ BCG=150°$。
又因为$AB// EF$，所以$CG// EF$（平行于同一条直线的两条直线平行）。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠ ECG + ∠ CEF=180°$，已知$∠ CEF=165°$，因此$∠ ECG=180° -165°=15°$。
由于点B、C、E共线，$∠ BCE$为平角，即$∠ BCG + ∠ DCE + ∠ ECG=180°$，所以$∠ DCE=180° - ∠ BCG - ∠ ECG=180° -150° -15°=15°$。
【答案】$15°$
【知识点】平行线的性质
【点评】本题通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度，是几何求角度的常用方法，需掌握平行线的性质及辅助线构造技巧。
【难度系数】$0.5$
【解析】如图，过点C作$CG// AB$。
因为$CG// AB$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ ABC=∠ BCG=150°$。
又因为$AB// EF$，所以$CG// EF$（平行于同一条直线的两条直线平行）。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠ ECG + ∠ CEF=180°$，已知$∠ CEF=165°$，因此$∠ ECG=180° -165°=15°$。
由于点B、C、E共线，$∠ BCE$为平角，即$∠ BCG + ∠ DCE + ∠ ECG=180°$，所以$∠ DCE=180° - ∠ BCG - ∠ ECG=180° -150° -15°=15°$。
【答案】$15°$
【知识点】平行线的性质
【点评】本题通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度，是几何求角度的常用方法，需掌握平行线的性质及辅助线构造技巧。
【难度系数】$0.5$
