23. (10分)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠ABC=36°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,得到△ADE(D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°＜α＜108°),线段AD,BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N,连结BD。
(1)当BD//AC时,直接写出旋转角α的度数。
(2)在(1)的条件下,判断四边形ABOE是什么特殊的四边形。请说明理由。
(3)直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数。

23.(1)因为AB=AC,∠ABC=36°,所以∠BAC=108°,∠ACB=36°。因为BD//AC,所以∠CBD=∠ACB=36°。所以∠ABD=∠ABC+∠CBD=72°。因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=72°。所以∠BAD=36°,即α=36°。
(2)四边形ABOE为菱形。理由如下:由旋转知,∠ADE=∠ABC=36°,旋转角∠BAD=36°,所以∠BAD=∠ADE。所以AB//DE。因为AB=AC,所以∠C=∠ABC=36°。因为旋转角∠EAC=36°,所以∠C=∠EAC。所以AE//BC。所以四边形ABOE为平行四边形。由旋转知AE=AC,又因为AB=AC,所以AB=AE。所以□ABOE为菱形。
(3)当DM=OM时,如图1。由旋转可知∠ADE=∠ABC=36°,∠E=∠C=36°,因为DM=OM,所以∠ODM=∠DOM=36°。所以∠CON=∠DOM=36°。所以∠CON=∠E。所以AE//OC,所以α=∠CAE=∠C=36°。当DM=OD时,如图2。因为∠D=36°,所以∠DMO=∠DOM=72°。所以∠AMB=72°。所以∠BAM=180°−∠B−∠AMB=72°。所以α=∠BAD=72°。当OM=OD时,则∠DOM=108°,明显不符合题意,故舍去。综上所述,旋转角α的度数为36°或72°。