24.(12分)综合与实践。
【问题情境】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”。如图1,在综合实践课上,同学们绘制了“弦图”并进行探究,获得了以下结论:该图是由四个全等的直角三角形($△ DAE,△ ABF,△ BCG,△ CDH$)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD,且$∠ ABF＞∠ BAF$。
【特殊化探究】连结BH。设$BF=a,AF=b$。
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题:
(1)若$AB=5,FG=1$,求$△ ABF$的面积。
“武林小组”从$a$与$b$关系的特殊化提出问题:
(2)若$b=2a$,求证:$∠ BAE=∠ BHE$。
【深入探究】
(3)如图2,连结BE,延长FA到点I,使$AI=AB$,作矩形BFIJ。设矩形BFIJ的面积为$S_1$,正方形ABCD的面积为$S_2$,若BE平分$∠ ABF$,求证:$S_1=S_2$。

24.(1)因为FG=1,BF=a,所以BG=a+1。因为△ABF≌△BCG,所以AF=BG=a+1。
在Rt△ABF中,$BF^2+AF^2=AB^2$,即$a^2+(a+1)^2=25$,解得a=3(负值已舍),
所以BF=3,AF=4。所以$S_{△ABF}=\dfrac{1}{2}BF·AF=6$。
(2)因为b=2a,所以AF=2BF=2AE。所以AE=EF。
因为四边形EHGF是正方形,所以HG=HE=EF=GF=BF。
因为AF=BG,∠AFB=∠HGB=90°,所以△HGB≌△BFA(SAS)。所以∠GBH=∠BAF。
因为DE//BG,所以∠BHE=∠HBG。所以∠BAE=∠BHE。
(3)如图,过点E分别作AB,AD的垂线,垂足分别为M,N。
设AI=AB=AD=c,则$S_2=c^2$。因为△ABF≌△DAE,所以$S_{△ABF}=S_{△DAE}$。所以ab=AD·EN。所以$S_1=a(b+c)=ab+ac=AD·EN+ac$。因为BE平分∠ABF,所以∠FBE=∠MBE。因为∠BME=∠BFE=90°,BE=BE,所以△BEF≌△BEM(AAS)。所以BM=BF=a。
所以NE=AM=c−a。所以$S_1=AD·EN+ac=c(c−a)+ac=c^2$。所以$S_1=S_2$。