18. (10分)先化简,再求值:$(\dfrac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} - 5x\sqrt{\dfrac{y}{x}})$,其中$x=\dfrac{1}{2},y=\dfrac{9}{2}$.

18. 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,二次根式的运算、化简与求值.
【解析】$(\frac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}})$
$=(x\sqrt{x} + \sqrt{xy}) - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy})$
$=6\sqrt{xy}$.
当 $x=\frac{1}{2},y=\frac{9}{2}$ 时,
原式$=6\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{9}{2}}=6\sqrt{\frac{9}{4}}=6×\frac{3}{2}=9$.

【分析】
本题是二次根式的化简求值题，解题思路为：先根据二次根式的性质将式子中每个二次根式化为最简二次根式，再去括号合并同类二次根式，最后代入给定的x、y值计算结果。化简时需利用二次根式的性质保证被开方数非负，本题中x、y均为正数，可直接化简计算。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{1}{3}x\sqrt{9x} + y^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}) - (x^2\sqrt{\frac{1}{x}} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}})\\=&(\frac{1}{3}x · 3\sqrt{x} + y^2 · \frac{\sqrt{xy}}{y^2}) - (x^2 · \frac{\sqrt{x}}{x} - 5x · \frac{\sqrt{xy}}{x})\\=&(x\sqrt{x} + \sqrt{xy}) - (x\sqrt{x} - 5\sqrt{xy})\\=&x\sqrt{x} + \sqrt{xy} - x\sqrt{x} + 5\sqrt{xy}\\=&6\sqrt{xy}\end{aligned}$
当$x=\frac{1}{2}, y=\frac{9}{2}$时，
$\begin{aligned}原式&=6\sqrt{\frac{1}{2} × \frac{9}{2}}\\&=6\sqrt{\frac{9}{4}}\\&=6 × \frac{3}{2}\\&=9\end{aligned}$
【答案】
9
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式、二次根式求值
【点评】
本题考查二次根式的化简与求值，核心是掌握二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，计算过程需注意符号处理，属于二次根式部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

19. (10分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,D,E分别是AB,AC的中点,过点C作$CF // AB$,交DE的延长线于点F,连接AF,CD.
(1)求证:四边形ADCF是菱形;
(2)当$\frac{AB}{AC}=$时,四边形ADCF是正方形.

19. 【点拨】本题考查三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质,菱形的判定与性质,正方形的判定与性质.
【解析】(1)证明:
∵ D,E分别是 AB,AC 的中点,
∴ DE 是△ABC 的中位线,
∴ DE // BC.
又
∵ CF // AB,
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形,
∴ CF = BD.
又
∵ 点 D 是 AB 的中点,
∴ AD = BD,
∴ CF = AD.
又
∵ CF // AB,
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形.
在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,D 是 AB 的中点,
∴ $CD=\frac{1}{2}AB$,
∴ CD = AD = BD,
∴ 四边形 ADCF 是菱形.
(2)
∵ 四边形 ADCF 是菱形,
∴ AD = CD,
当 CD ⊥ AD 时,四边形 ADCF 是正方形,
此时∠ADC = 90°,AD = CD = BD,
∴ △ABC 是等腰直角三角形,$AB=\sqrt{2}AC$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$,
∴ 当 $\frac{AB}{AC}=\sqrt{2}$ 时,四边形 ADCF 是正方形. 故答案为$\sqrt{2}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形ADCF是菱形，第(2)问求使四边形ADCF为正方形时AB与AC的比值。解题思路：第(1)问先利用三角形中位线定理得到线段平行关系，结合已知CF//AB，证明四边形ADCF是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到邻边相等，从而证得菱形；第(2)问根据正方形的判定，菱形需有一个内角为直角，结合等腰直角三角形的性质推导AB与AC的比值。
【解析】
(1)证明：
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC。
又
∵ CF//AB，
∴ 四边形DBCF是平行四边形，
∴ CF = BD。
∵ 点D是AB的中点，
∴ AD = BD，
∴ CF = AD。
又
∵ CF//AB，即CF//AD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是AB的中点，
∴ CD = 1/2 AB，
∴ CD = AD = BD，
∴ 平行四边形ADCF中AD = CD，
故四边形ADCF是菱形。
(2)解：
∵ 四边形ADCF是菱形，
∴ AD = CD。
当菱形ADCF为正方形时，需有一个内角为直角，即∠ADC = 90°，此时△ADC是等腰直角三角形，AD = CD，
∴ AC = √(AD² + CD²) = √2 AD。
又
∵ AB = 2AD，
∴ AB/AC = 2AD / (√2 AD) = √2。
故答案为√2。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) √2
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定，正方形的判定
【点评】
本题是几何综合题，综合考查了三角形中位线、平行四边形、菱形、正方形的判定与性质，需熟练掌握各图形的判定定理及直角三角形的相关性质，逻辑推理要求较高，是中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6

20. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知一次函数 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 的图象经过点$(2,2),(-4,5)$.
(1)求一次函数 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 的解析式;
(2)当 $-2 ≤ x ≤ 4$ 时,求 $y$ 的取值范围;
(3)已知一次函数 $y = nx - 2n$,当 $x ＜ 4$ 时,对于 $x$ 的每一个值,都有函数 $y = nx - 2n$ 的值小于函数 $y = kx + b(k ≠ 0)$ 的值,求 $n$ 的取值范围.

20. 【点拨】本题考查待定系数法确定一次函数解析式,一次函数的图象与性质,一次函数与一元一次不等式.
【解析】(1)
∵ 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0)的图象经过点(2,2),(-4,5),
∴ $\begin{cases}2k + b = 2,\\-4k + b = 5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = -\frac{1}{2},\\b = 3.\end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为 $y = -\frac{1}{2}x + 3$.
(2)
∵ $k = -\frac{1}{2} ＜ 0$,
∴ y 随 x 的增大而减小,
当 x = -2 时,y = 4. 当 x = 4 时,y = 1,
∴ 当 -2 ≤ x ≤ 4 时,y 的取值范围为 1 ≤ y ≤ 4.
(3)将 x = 4 代入 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 得,y = 1,
∴ 直线 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 过点(4,1),
将点(4,1)代入 y = nx - 2n 得,4n - 2n = 1,解得 $n=\frac{1}{2}$.
又
∵ 直线 y = nx - 2n = n(x - 2)过定点(2,0),
∴ 过点(4,1)和点(2,0)的直线的解析式为 $y=\frac{1}{2}x - 1$,
∵ 当 x ＜ 4 时,对于 x 的每一个值,都有函数 y = nx - 2n 的值小于函数 y = kx + b(k ≠ 0)的值,
∴ $-\frac{1}{2} ≤ n ≤ \frac{1}{2}(n≠0)$.

【分析】
本题分为三小问，第(1)问求一次函数解析式，利用待定系数法，将已知两点坐标代入函数式得到关于k、b的方程组，解方程组即可求出解析式；第(2)问根据一次函数斜率k的正负判断函数增减性，代入区间端点的x值求出对应y值，结合增减性确定y的取值范围；第(3)问需分析两个函数的关系，先确定已知一次函数在x=4处的值，结合另一个函数过定点的特点，分析x＜4时后者值小于前者时n的取值范围，注意排除n=0的情况。
【解析】
(1)
∵一次函数$y = kx + b(k ≠ 0)$经过点$(2,2),(-4,5)$，
∴$\begin{cases}2k + b = 2 \\ -4k + b = 5 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2} \\ b = 3 \end{cases}$，
∴一次函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$；
(2)
∵$k = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
∴y随x的增大而减小，
当$x = -2$时，$y = -\frac{1}{2}×(-2) + 3 = 4$；当$x = 4$时，$y = -\frac{1}{2}×4 + 3 = 1$，
∴当$-2 ≤ x ≤ 4$时，y的取值范围为$1 ≤ y ≤ 4$；
(3) 将$x = 4$代入$y = -\frac{1}{2}x + 3$得$y = 1$，即直线$y = -\frac{1}{2}x + 3$过点$(4,1)$；
函数$y = nx - 2n = n(x - 2)$过定点$(2,0)$，要使当$x ＜ 4$时，$nx - 2n ＜ -\frac{1}{2}x + 3$恒成立，
计算过点$(4,1)$和$(2,0)$的直线斜率为$\frac{1-0}{4-2} = \frac{1}{2}$，结合函数性质可得n的取值范围为$-\frac{1}{2} ≤ n ≤ \frac{1}{2}$且$n≠0$；
【答案】
(1) $y = -\frac{1}{2}x + 3$；(2) $1 ≤ y ≤ 4$；(3) $-\frac{1}{2} ≤ n ≤ \frac{1}{2}$且$n≠0$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式
【点评】
本题综合考查一次函数的核心知识点，涵盖待定系数法、函数增减性应用及不等式恒成立问题，需学生熟练掌握一次函数基本性质，具备分析函数图象关系的能力，是一道综合性较强的常规题型。
【难度系数】
0.5