21. (12分)如图是由边长为1的小正方形构成的6×6网格,正方形ABCD的顶点都在网格线的交点上,仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.
(1)直接写出正方形的边长=;
(2)图1中,若E是边AB上任一点,在CD上找点F,连接EF,使得EF平分正方形ABCD的面积;
(3)图2中,M为边AB与网格线的交点.
①画点M绕点D逆时针旋转90°的对应点G;
②在BC边上画点H,连接DH,MH,使得$∠ ADH = ∠ DHM$.


B卷(50分)

21. 【点拨】本题考查网格的结构特征,正方形的性质,正方形的中心、旋转变换作图.
【解析】(1)正方形的边长为 $\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$. 故答案为 $\sqrt{10}$.
(2)图1中,点 F 即为所求. (答案不唯一)
(3)①图2中,点 G 即为所求.
②图2中,点 H 即为所求.

【分析】
本题是网格背景下的正方形相关计算与作图题，解题思路如下：
(1) 计算正方形边长：利用网格的直角属性，正方形的边可看作直角三角形的斜边，直角边的长度为横向、纵向的格数，通过勾股定理即可求出边长；
(2) 找平分正方形面积的点F：正方形是中心对称图形，过其中心（对角线交点）的直线能平分正方形面积，因此连接AB上的点E与正方形中心，延长交CD于点F，即为所求；
(3) ① 旋转作图：绕点D逆时针旋转90°，根据旋转的性质（对应点到旋转中心距离相等，对应线段垂直），结合网格的直角结构，确定点M旋转后的对应点G；
② 找点H使∠ADH=∠DHM：根据内错角相等两直线平行，构造MH//AD，MH与BC的交点即为H，满足∠ADH=∠DHM。
【解析】
(1) 观察网格，正方形ABCD的边AB对应的直角三角形，横向直角边长度为1，纵向直角边长度为3，由勾股定理得边长为$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$；
(2) 正方形ABCD的中心是对角线AC与BD的交点，连接点E和该中心，延长后交CD于点F，此时EF过正方形中心，平分正方形面积；
(3) ① 以点D为旋转中心，将点M绕D逆时针旋转90°，利用网格的直角边，找到对应点G；
② 过点M作MH//AD，MH与BC的交点即为H，此时∠ADH=∠DHM（内错角相等）。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$；
(2) 图1中，点F为EF与CD的交点；
(3) ① 图2中，点G为M绕D逆时针旋转90°的对应点；② 图2中，点H为MH//AD与BC的交点；


【知识点】
正方形性质、勾股定理、旋转变换
【点评】
本题以网格为载体，考查正方形的核心性质、勾股定理及旋转变换作图，需灵活运用网格的直角特征和几何图形的性质，属于初中几何的基础应用题型，注重对几何知识的综合应用。
【难度系数】
0.5

22. 一次越野跑中,小明和小刚在同一起点同时出发,当小明跑了1 600 m时,小刚跑了1 400 m,小明、小刚在此后所跑的路程 y(m)与时间 t(s)之间的函数关系如图,则这次越野赛跑的全程为m.

22. 2 200 【点拨】本题考查一次函数图象的应用,二元一次方程组的应用.
【解析】设小明的速度为 a m/s,小刚的速度为 b m/s,根据题意得,
$\begin{cases}1\ 600 + 100a = 1\ 400 + 100b,\\1\ 600 + 300a = 1\ 400 + 200b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 2,\\b = 4.\end{cases}$
∴ 这次越野赛跑的全程为 1 400 + 200×4 = 2 200(m). 故答案为2 200.

【分析】
要解决这个问题，需从函数图像中提取等量关系，通过设速度建立二元一次方程组求解。首先明确：t=100s时小明和小刚的路程相等，t=300s时小明到达终点、t=200s时小刚到达终点，此时两人的路程均为越野跑全程，据此可列出方程组，解出速度后计算全程。
【解析】
设小明的速度为$a\ \mathrm{m/s}$，小刚的速度为$b\ \mathrm{m/s}$。
根据图像的等量关系列方程组：
$\begin{cases}1600 + 100a = 1400 + 100b \\1600 + 300a = 1400 + 200b\end{cases}$
化简第一个方程：$200 + 100a = 100b$，即$b = a + 2$；
将$b = a + 2$代入第二个方程：
$1600 + 300a = 1400 + 200(a + 2)$
计算得：$1600 + 300a = 1800 + 200a$，解得$a = 2$，则$b = 4$。
越野跑全程为小刚的总路程：$1400 + 200×4 = 2200\ (\mathrm{m})$。
【答案】
2200
【知识点】
一次函数应用、二元一次方程组应用
【点评】
本题结合一次函数图像考查二元一次方程组的实际应用，核心是从图像中找到等量关系建立方程，需具备读图和建模能力，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.4

23. 已知函数$y=(k-1)x+2k-1$与$y=|x-1|$，当满足$0≤ x≤ 3$时，两个函数的图象存在2个公共点，则$k$满足的条件是$\underline{\hspace{5em}}$.

23. $\frac{2}{3}＜k≤1$ 【点拨】本次考查一次函数与绝对值函数的图象与性质,函数图象交点问题,数形结合思想.
【解析】$y=(k-1)x+2k-1$,即 $y=(k-1)(x+2)+1$.
当 x = -2 时,y = 1,
∴ 函数 $y=(k-1)x+2k-1$ 的图象过定点 A(-2,1),函数 y=|x-1|(0≤x≤3)的图象如图中折线 BCD 所示,
其中,B(0,1),C(1,0),D(3,2),直线 AB 的解析式为 y = 1,
直线 AC 的解析式为 $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$,
函数 $y=(k-1)x+2k-1$ 与 y=|x-1|的图象,当满足 0≤x≤3 时,存在2 个公共点,则 $-\frac{1}{3}＜k-1≤0$,解得 $\frac{2}{3}＜k≤1$. 故答案为 $\frac{2}{3}＜k≤1$.

【分析】首先将一次函数解析式变形，找到其恒过的定点，再确定绝对值函数在$0≤x≤3$范围内的分段图象，结合直线过定点的特点，分析直线与绝对值函数图象的交点个数，找到临界位置对应的$k$值，进而确定$k$的取值范围。
【解析】对于函数$y=(k-1)x+2k-1$，变形为$y=(k-1)(x+2)+1$，当$x=-2$时，$y=1$，因此该函数图象恒过定点$A(-2,1)$。
函数$y=|x-1|$在$0≤x≤3$时为分段折线：当$0≤x≤1$时，$y=1-x$；当$1≤x≤3$时，$y=x-1$，对应点$B(0,1)$、$C(1,0)$、$D(3,2)$。
直线$AB$为$y=1$，斜率为0，对应$k-1=0$，即$k=1$；直线$AC$连接$A(-2,1)$和$C(1,0)$，斜率为$\frac{0-1}{1-(-2)}=-\frac{1}{3}$，对应$k-1=-\frac{1}{3}$，即$k=\frac{2}{3}$。
要使直线与$y=|x-1|$在$0≤x≤3$时有2个公共点，则直线斜率需满足$-\frac{1}{3} ＜k-1 ≤0$，解得$\frac{2}{3} ＜k ≤1$。
【答案】$\frac{2}{3}＜k≤1$
【知识点】一次函数定点、绝对值函数图象、函数交点
【点评】本题利用数形结合思想，通过分析一次函数过定点的性质，结合绝对值函数的分段图象确定交点个数对应的参数范围，关键是找到直线的临界位置，属于中档题型，需学生掌握函数图象性质及数形结合的解题方法。
【难度系数】0.4

24. 如图,正方形ABCD的边长为12,点E在BC边上,BE=2CE,将△DCE沿DE翻折至△DFE,延长EF交AB于点G,连接BF,DG.下列结论:①$△ DAG ≌ △ DFG$;②$EG = 10$;③$DG // BF$;④$S_{△ BEF} = 9.6$.其中正确的是.

24. ①②③④ 【点拨】本题考查翻折变换的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理.
【解析】
∵ 正方形 ABCD 的边长为 12,BE = 2CE,
∴ CE = 4,EB = 8.
∵ 将△DCE 沿 DE 翻折得到△DFE,
∴ DF = DC = 12,EF = EC = 4,∠DFE = ∠C = 90°.
∵ AD = DF,∠DFG = ∠A = 90°,在 Rt△DAG 和Rt△DFG 中,$\begin{cases}DG = DG,\\DA = DF,\end{cases}$
∴ Rt△DAG ≌ Rt△DFG(HL),①正确;
∴ GA= GF,∠ADG = ∠FDG,
∴ ∠GDE = ∠FDE + ∠FDG = $\frac{1}{2}∠ADC =$45°. 设 AG = x,则 FG = AG = x,BG = BA - AG = 12 - x,在 Rt△BGE中,由勾股定理得,$BG^2 + BE^2 = GE^2$,
∴ $(12 - x)^2 + 8^2 = (x + 4)^2$,解得 x = 6,
∴ AG = 6,BG = 12 - 6 = 6,
∴ EG = EF + GF = 4 + 6 = 10,②正确;
∵ GF = GB,
∴ ∠GFB = ∠GBF.
∵ Rt△DAG ≌ Rt△DFG,
∴ ∠AGD=∠DGF,
∴ ∠AGF = ∠GFB + ∠GBF,
∴ ∠DGA + ∠DGF = ∠GFB +∠GBF,
∴ ∠AGD = ∠GBF,
∴ DG // BF,③正确;如题图,过点 B 作BH ⊥ EG 于点 H,$S_{△BEG}=\frac{1}{2}BG×BE=\frac{1}{2}EG×BH$,
∴ $BH=\frac{BG×BE}{EG}$=$\frac{6×8}{10}=4.8$,
∴ $S_{△BFG}=\frac{1}{2}FG×BH=\frac{1}{2}×6×4.8=14.4$,
∴ $S_{△BEF}=$$\frac{1}{2}×6×8 - 14.4 = 9.6$,④正确.
∴ 正确结论的序号为①②③④. 故答案为①②③④.

【分析】
要判断四个结论是否正确，需结合正方形和翻折变换的性质，通过全等三角形判定、勾股定理、平行线判定、面积法逐步推导。先根据正方形边长与BE、CE的关系求出线段长度，利用翻折得到对应边、角相等，再依次验证各结论。
【解析】
∵ 正方形ABCD的边长为12，BE=2CE，
∴ CE=4，EB=8。
∵ 将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴ DF=DC=12，EF=EC=4，∠DFE=∠C=90°。
在Rt△DAG和Rt△DFG中，
$\begin{cases} DG = DG, \\ DA = DF, \end{cases}$
∴ Rt△DAG ≌ Rt△DFG（HL），故①正确；
由全等得GA=GF，设AG=x，则FG=x，BG=12-x，GE=EF+FG=4+x。
在Rt△BGE中，由勾股定理：$BG^2 + BE^2 = GE^2$，
即$(12-x)^2 + 8^2 = (x+4)^2$，
展开化简得：$144 -24x +64 = x^2 +8x +16$，
解得x=6，
∴ GE=4+6=10，故②正确；
∵ GF=GB=6，
∴ ∠GFB=∠GBF，
由Rt△DAG≌Rt△DFG得∠AGD=∠DGF，
又∠AGF=∠GFB+∠GBF=2∠GBF，∠AGF=∠AGD+∠DGF=2∠AGD，
∴ ∠AGD=∠GBF，故DG//BF，③正确；
过B作BH⊥EG于H，$S_{△BEG}=\frac{1}{2}×BG×BE=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又$S_{△BEG}=\frac{1}{2}×EG×BH$，
∴ BH=$\frac{2×24}{10}=4.8$，
$S_{△BFG}=\frac{1}{2}×FG×BH=\frac{1}{2}×6×4.8=14.4$，
∴ $S_{△BEF}=S_{△BEG}-S_{△BFG}=24-14.4=9.6$，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
翻折变换性质、正方形性质、全等三角形判定
【点评】
本题综合考查几何知识的应用，需熟练运用翻折、正方形性质，结合全等、勾股定理等逐步推导，对几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.5

25. 平面直角坐标系中,已知点$A(0,10)$,点$P(m,10)$,连接$AP$,$OP$,将$△ AOP$沿直线$OP$翻折得到$△ EOP$(点$A$的对应点为点$E$).若点$E$到$x$轴的距离不大于$6$,则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5em}}$.

25. $-20≤m≤-5$ 或 $5≤m≤20$ 【点拨】本题考查翻折变换的性质,点到坐标轴的距离公式,两直线的交点坐标.
【解析】由题意知,m≠0,
由点 P(m,10)可知,直线 OP 的解析式为 $y=\frac{10}{m}x$,
由翻折变换的性质可知,OP 垂直平分 AE.
∵ A(0,10),
∴ 直线 AE 的解析式为 $y=-\frac{m}{10}x + 10$,
联立方程组 $\begin{cases}y=\frac{10}{m}x,\\y=-\frac{m}{10}x + 10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\frac{100m}{100 + m^2},\\y=\frac{1\ 000}{100 + m^2}.\end{cases}$
∴ AE 的中点坐标为 $(\frac{100m}{100 + m^2},\frac{1\ 000}{100 + m^2})$,
∴ 点 E 坐标为 $(\frac{200m}{100 + m^2},\frac{2\ 000}{100 + m^2} - 10)$.
∵ 点 E 到 x 轴的距离不大于 6,
∴ $-6≤\frac{2\ 000}{100 + m^2} - 10≤6$,解得 $-20≤m≤-5$ 或 $5≤m≤20$,即 m 的取值范围为 $-20≤m≤-5$ 或 $5≤m≤20$. 故答案为 $-20≤m≤-5$ 或5≤m≤20.

【分析】
要解决本题，需利用翻折变换的核心性质：翻折后对应点的连线被对称轴垂直平分，即点A与对应点E的连线AE被直线OP垂直平分。首先根据点A、P的坐标求出直线OP和AE的解析式，联立两直线方程得到AE的中点坐标，再通过中点坐标公式求出点E的坐标；最后根据“点E到x轴的距离不大于6”，转化为E点纵坐标的绝对值≤6，列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 由题意知m≠0，点P(m,10)，则直线OP的斜率为$\frac{10}{m}$，其解析式为$y=\frac{10}{m}x$。
2. 因OP垂直平分AE，直线AE与OP垂直，故直线AE的斜率为$-\frac{m}{10}$，结合A(0,10)，得直线AE的解析式为$y=-\frac{m}{10}x + 10$。
3. 联立直线OP与AE的方程：$\begin{cases}y=\frac{10}{m}x \\ y=-\frac{m}{10}x + 10\end{cases}$，解得交点（即AE中点）的坐标为$(\frac{100m}{100+m^2}, \frac{1000}{100+m^2})$。
4. 设点E坐标为$(x_E,y_E)$，根据中点坐标公式：中点坐标为$(\frac{0+x_E}{2}, \frac{10+y_E}{2})$，因此：
$\frac{x_E}{2}=\frac{100m}{100+m^2} ⇒ x_E=\frac{200m}{100+m^2}$；
$\frac{10+y_E}{2}=\frac{1000}{100+m^2} ⇒ y_E=\frac{2000}{100+m^2} -10$。
5. 点E到x轴的距离为$|y_E|$，由题意$|y_E|≤6$，即$-6≤\frac{2000}{100+m^2} -10 ≤6$。
6. 解不等式：
左边：$\frac{2000}{100+m^2} -10 ≥-6 ⇒ \frac{2000}{100+m^2} ≥4 ⇒ m^2≤400$；
右边：$\frac{2000}{100+m^2} -10 ≤6 ⇒ \frac{2000}{100+m^2} ≤16 ⇒ m^2≥25$；
综上得$25≤m^2≤400$，即$5≤|m|≤20$，结合m≠0，得$-20≤m≤-5$或$5≤m≤20$。
【答案】
$-20≤m≤-5$或$5≤m≤20$
【知识点】
翻折变换性质，点到x轴的距离，一次函数交点
【点评】
本题是几何翻折与代数计算结合的题型，核心是利用翻折的垂直平分性质转化为坐标关系，再通过一次函数、不等式求解参数范围，需掌握几何性质与代数运算的衔接方法。
【难度系数】
0.4