登录
26. (10分)某学校计划购买A,B两种消防物资共200套,要求A种物资数量不低于B种物资数量的$\frac{1}{4}$,且不高于B种物资数量的$\frac{1}{3}$,A,B两种物资的单价分别是150元/套、100元/套.设购买A种物资$x$套,购买这两种物资所需的总费用为$y$元.
(1)直接写出$y$关于$x$的函数关系式;
(2)求总费用$y$的最小值;
(3)若实际购买时,A种物资单价下调$2m$元/套,B种物资单价上调了$m$元/套,此时购买这两种物资所需最少费用为23 500元,求$m$的值.
(1)直接写出$y$关于$x$的函数关系式;
(2)求总费用$y$的最小值;
(3)若实际购买时,A种物资单价下调$2m$元/套,B种物资单价上调了$m$元/套,此时购买这两种物资所需最少费用为23 500元,求$m$的值.
答案
26. 【点拨】本题考查一次函数的应用及一元一次不等式的应用.
【解析】(1)设购买 A 种物资 x 套,则购买 B 种物资(200 - x)套. 根据题意得 y = 150x + 100(200 - x) = 50x + 20 000.
(2)由题意得,$\begin{cases}x≥\frac{1}{4}(200 - x),\\x≤\frac{1}{3}(200 - x),\end{cases}$ 解得 40≤x≤50.
∵ y = 50x + 20 000,k = 50 ＞ 0,
∴ y 随 x 的增大而增大,
∴ 当 x = 40 时,y 取最小值,最小值为 50×40 + 20 000 = 22 000(元).
(3)由题意得 y = (150 - 2m)x + (100 + m)(200 - x) = (50 - 3m)x+ 20 000 + 200m,
①当 $50 - 3m ＞ 0$,即 $m ＜ 16\frac{2}{3}$ 时,
当 x = 40 时,y 取最小值,
∴ $(50 - 3m)×40 + 20 000 + 200m = 23 500$,解得 $m=18\frac{3}{4}$(不合题意,舍去).
②当 $50 - 3m ＜ 0$,即 $m ＞ 16\frac{2}{3}$ 时,
当 x = 50 时,y 取最小值,
∴ (50 - 3m)×50 + 20 000 + 200m = 23 500,解得 m = 20,符合题意,
∴ m 的值为 20.
【解析】(1)设购买 A 种物资 x 套,则购买 B 种物资(200 - x)套. 根据题意得 y = 150x + 100(200 - x) = 50x + 20 000.
(2)由题意得,$\begin{cases}x≥\frac{1}{4}(200 - x),\\x≤\frac{1}{3}(200 - x),\end{cases}$ 解得 40≤x≤50.
∵ y = 50x + 20 000,k = 50 ＞ 0,
∴ y 随 x 的增大而增大,
∴ 当 x = 40 时,y 取最小值,最小值为 50×40 + 20 000 = 22 000(元).
(3)由题意得 y = (150 - 2m)x + (100 + m)(200 - x) = (50 - 3m)x+ 20 000 + 200m,
①当 $50 - 3m ＞ 0$,即 $m ＜ 16\frac{2}{3}$ 时,
当 x = 40 时,y 取最小值,
∴ $(50 - 3m)×40 + 20 000 + 200m = 23 500$,解得 $m=18\frac{3}{4}$(不合题意,舍去).
②当 $50 - 3m ＜ 0$,即 $m ＞ 16\frac{2}{3}$ 时,
当 x = 50 时,y 取最小值,
∴ (50 - 3m)×50 + 20 000 + 200m = 23 500,解得 m = 20,符合题意,
∴ m 的值为 20.
解析
【分析】
要解决本题，需分步骤梳理思路：首先，第(1)问求总费用函数，需明确A、B物资的数量关系和单价，总费用为两种物资费用之和，直接代入表达式即可；第(2)问求总费用最小值，需先根据A种物资数量的限制条件列出关于x的不等式组，解出自变量x的取值范围，再结合一次函数的增减性（由斜率正负判断）确定最值对应的x值；第(3)问单价调整后，重新推导总费用函数，此时需根据一次项系数的正负分情况讨论函数的增减性，代入对应x的最值，解方程后舍去不合题意的解，得到m的值。
【解析】
(1) 设购买A种物资x套，则购买B种物资(200 - x)套，总费用y为A、B物资费用之和：
$y = 150x + 100(200 - x) = 50x + 20000$；
(2) 根据A种物资数量的限制，列不等式组：
$\begin{cases}x ≥ \frac{1}{4}(200 - x) \\ x ≤ \frac{1}{3}(200 - x)\end{cases}$
解第一个不等式：$x ≥ 50 - \frac{1}{4}x$，得$x ≥ 40$；
解第二个不等式：$x ≤ \frac{200}{3} - \frac{1}{3}x$，得$x ≤ 50$；
因此x的取值范围为$40 ≤ x ≤ 50$；
由于$y = 50x + 20000$中，斜率$k=50＞0$，故y随x的增大而增大，当x取最小值40时，y取得最小值，代入得：
$y_{最小}=50×40 + 20000 = 22000$（元）；
(3) 单价调整后，A种物资单价为$(150 - 2m)$元/套，B种物资单价为$(100 + m)$元/套，总费用为：
$y = (150 - 2m)x + (100 + m)(200 - x) = (50 - 3m)x + 20000 + 200m$；
分两种情况讨论：
① 当$50 - 3m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{50}{3} \approx 16.67$时，y随x增大而增大，此时x=40时y最小，代入得：
$(50 - 3m)×40 + 20000 + 200m = 23500$，
化简得：$80m = 1500$，解得$m = 18.75$，与$m ＜ 16.67$矛盾，舍去；
② 当$50 - 3m ＜ 0$，即$m ＞ \frac{50}{3} \approx 16.67$时，y随x增大而减小，此时x=50时y最小，代入得：
$(50 - 3m)×50 + 20000 + 200m = 23500$，
化简得：$50m = 1000$，解得$m = 20$，符合题意；
综上，m的值为20。
【答案】
(1) $y=50x+20000$；(2) 22000元；(3) $m=20$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际问题考查一次函数与不等式的综合应用，需先确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求最值；第三问需根据一次项系数的正负分情况讨论，解出结果后要验证是否符合前提条件，避免出现矛盾解。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分步骤梳理思路：首先，第(1)问求总费用函数，需明确A、B物资的数量关系和单价，总费用为两种物资费用之和，直接代入表达式即可；第(2)问求总费用最小值，需先根据A种物资数量的限制条件列出关于x的不等式组，解出自变量x的取值范围，再结合一次函数的增减性（由斜率正负判断）确定最值对应的x值；第(3)问单价调整后，重新推导总费用函数，此时需根据一次项系数的正负分情况讨论函数的增减性，代入对应x的最值，解方程后舍去不合题意的解，得到m的值。
【解析】
(1) 设购买A种物资x套，则购买B种物资(200 - x)套，总费用y为A、B物资费用之和：
$y = 150x + 100(200 - x) = 50x + 20000$；
(2) 根据A种物资数量的限制，列不等式组：
$\begin{cases}x ≥ \frac{1}{4}(200 - x) \\ x ≤ \frac{1}{3}(200 - x)\end{cases}$
解第一个不等式：$x ≥ 50 - \frac{1}{4}x$，得$x ≥ 40$；
解第二个不等式：$x ≤ \frac{200}{3} - \frac{1}{3}x$，得$x ≤ 50$；
因此x的取值范围为$40 ≤ x ≤ 50$；
由于$y = 50x + 20000$中，斜率$k=50＞0$，故y随x的增大而增大，当x取最小值40时，y取得最小值，代入得：
$y_{最小}=50×40 + 20000 = 22000$（元）；
(3) 单价调整后，A种物资单价为$(150 - 2m)$元/套，B种物资单价为$(100 + m)$元/套，总费用为：
$y = (150 - 2m)x + (100 + m)(200 - x) = (50 - 3m)x + 20000 + 200m$；
分两种情况讨论：
① 当$50 - 3m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{50}{3} \approx 16.67$时，y随x增大而增大，此时x=40时y最小，代入得：
$(50 - 3m)×40 + 20000 + 200m = 23500$，
化简得：$80m = 1500$，解得$m = 18.75$，与$m ＜ 16.67$矛盾，舍去；
② 当$50 - 3m ＜ 0$，即$m ＞ \frac{50}{3} \approx 16.67$时，y随x增大而减小，此时x=50时y最小，代入得：
$(50 - 3m)×50 + 20000 + 200m = 23500$，
化简得：$50m = 1000$，解得$m = 20$，符合题意；
综上，m的值为20。
【答案】
(1) $y=50x+20000$；(2) 22000元；(3) $m=20$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际问题考查一次函数与不等式的综合应用，需先确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求最值；第三问需根据一次项系数的正负分情况讨论，解出结果后要验证是否符合前提条件，避免出现矛盾解。
【难度系数】
0.5
27. (12 分)(1)将正方形 ABCD 沿 MF 折叠,点 A 正好落在 BC 边上的点 E 处.
①如图 1,若点 F 与点 D 重合,求证:$AE=MF$;
②如图 2,折痕 MF 与 AE 相交于点 G,与 BD 相交于点 N,求证:$AE=2GN$;
(2)如图 3,将矩形 ABCD 沿 MF 折叠,点 A 落在 BC 边上的点 E 处,点 D 落在点 Q 处,连接 AE 交 MF 于点 G,连接 BG,若$AB=n,BC=2$,求$AQ+2BG$的最小值.(用含 n 的式子表示)
①如图 1,若点 F 与点 D 重合,求证:$AE=MF$;
②如图 2,折痕 MF 与 AE 相交于点 G,与 BD 相交于点 N,求证:$AE=2GN$;
(2)如图 3,将矩形 ABCD 沿 MF 折叠,点 A 落在 BC 边上的点 E 处,点 D 落在点 Q 处,连接 AE 交 MF 于点 G,连接 BG,若$AB=n,BC=2$,求$AQ+2BG$的最小值.(用含 n 的式子表示)
答案
27. 【点拨】本题考查正方形、矩形的性质,翻折变换的性质,余角的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上中线的性质,等腰三角形的判定与性质,利用轴对称图形的性质和两点之间线段最短求最值.
【解析】(1)①证明:由题意得,∠BAD = ∠ABC = 90°,AB = AD,MF 垂直平分 AE,如题图 1,设 AE 与 MF 交于点 G,则∠AGD = 90°,
∴ ∠BAE + ∠AMD = 90°,
∵ ∠ADM + ∠AMD = 90°,
∴ ∠BAE = ∠ADM,
在△ABE 和△DAM 中,$\begin{cases}∠ABE = ∠DAM = 90°,\\AB = DA,\\∠BAE = ∠ADM,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △DAM(ASA),
∴ AE = DM.
又
∵ 点 F 与点 D 重合,
∴ AE = MF.
②证明:如题图 2,连接 BG,由折叠的性质可知,MF 垂直平分 AE.
∴ AG = EG,∠AGM = 90°.
∴ $BG = AG = EG = \frac{1}{2}AE$,
∴ ∠GAB = ∠GBA.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠ABD = ∠CBD = 45°,
∴ ∠GBN = ∠ABD - ∠GBA = 45° - ∠GBA = 45° - ∠GAB.
∵ BG = AG = EG,
∴ ∠BGE = 2∠GBA.
∴ ∠BGN = ∠BGE + ∠EGN = 2∠GBA + 90°,∠GNB = 180° - ∠GBN- ∠BGN = 180° - (45° - ∠GBA) - (2∠GBA + 90°) = 45° - ∠GBA,
∴ ∠GNB = ∠GBN,
∴ NG = BG = AG = EG,
∴ AE = AG + EG = NG + NG = 2NG.
(2)由题意得,AB = CD = n,AD = BC = 2.
MF 垂直平分 AE,MF 垂直平分 DQ.
∴ EQ = AD = 2,四边形 ADQE 是等腰梯形,
∴ AQ = ED.
∵ G 为 AE 的中点,
∴ $BG=\frac{1}{2}AE$,即 AE = 2BG,
∴ AQ + 2BG = ED + AE,如图,作点 A 关于 BC 的对称点 A',则 A'E = AE,AB = A'B = n,
∴ AQ + 2BG = ED + AE = ED + A'E ≥ A'D,
当且仅当 A',E,D 三点共线时,AQ + 2BG 取得最小值,最小值为 A'D 的长,
在 Rt△A'AD 中,由勾股定理得,
$A'D=\sqrt{A'A^2 + AD^2}=\sqrt{(2n)^2 + 2^2}=2\sqrt{n^2 + 1}$,
∴ AQ + 2BG 的最小值为 $2\sqrt{n^2 + 1}$.
解析
【分析】
本题是翻折变换的几何综合题，需结合正方形、矩形性质及相关几何定理解题。(1)①问：先由翻折得MF垂直平分AE，推出直角，再通过角的关系证△ABE与△DAM全等，结合F与D重合的条件得AE=MF；②问：连接BG，利用翻折的垂直平分线得直角三角形斜边中线性质，结合正方形对角线的45°角，证等腰三角形得NG=BG，从而推导AE=2GN；(2)问：通过翻折转化线段，将AQ+2BG转化为AE+ED，再利用轴对称求最短路径，结合勾股定理计算最小值。
【解析】
(1)①证明：由题意，正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD。折叠后MF垂直平分AE，设AE与MF交于点G，则∠AGD=90°，故∠BAE+∠AMD=90°，又∠ADM+∠AMD=90°，所以∠BAE=∠ADM。在△ABE和△DAM中，$\begin{cases}∠ABE=∠DAM=90°\\AB=DA\\∠BAE=∠ADM\end{cases}$，
∴△ABE≌△DAM(ASA)，
∴AE=DM。因点F与D重合，故AE=MF。
②证明：连接BG，折叠后MF垂直平分AE，
∴AG=EG，∠AGM=90°，在Rt△ABE中，BG是斜边AE的中线，故BG=AG=EG=$\frac{1}{2}AE$，
∴∠GAB=∠GBA。正方形ABCD中，∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠GBN=45°-∠GBA。又∠BGE=2∠GBA，故∠BGN=∠BGE+∠EGN=2∠GBA+90°，在△GBN中，∠GNB=180°-∠GBN-∠BGN=45°-∠GBA，
∴∠GNB=∠GBN，
∴NG=BG=AG=EG，
∴AE=AG+EG=2NG。
(2)解：矩形ABCD中，AB=n，BC=2，折叠后MF垂直平分AE、DQ，故EQ=AD=2，AQ=ED，G为AE中点，
∴BG=$\frac{1}{2}AE$，则AQ+2BG=ED+AE。作点A关于BC的对称点A'，则A'B=AB=n，A'E=AE，故ED+AE=ED+A'E≥A'D，当A'、E、D共线时取最小值。在Rt△A'AD中，A'A=2n，AD=2，由勾股定理得A'D=$\sqrt{(2n)^2+2^2}=2\sqrt{n^2+1}$，即AQ+2BG的最小值为$2\sqrt{n^2+1}$。
【答案】
27. 【点拨】本题考查正方形、矩形的性质,翻折变换的性质,余角的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上中线的性质,等腰三角形的判定与性质,利用轴对称图形的性质和两点之间线段最短求最值.
【解析】(1)①证明:由题意得,∠BAD = ∠ABC = 90°,AB = AD,MF 垂直平分 AE,如题图 1,设 AE 与 MF 交于点 G,则∠AGD = 90°,
∴ ∠BAE + ∠AMD = 90°,
∵ ∠ADM + ∠AMD = 90°,
∴ ∠BAE = ∠ADM,
在△ABE 和△DAM 中,$\begin{cases}∠ABE = ∠DAM = 90°,\\AB = DA,\\∠BAE = ∠ADM,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △DAM(ASA),
∴ AE = DM.
又
∵ 点 F 与点 D 重合,
∴ AE = MF.
②证明:如题图 2,连接 BG,由折叠的性质可知,MF 垂直平分 AE.
∴ AG = EG,∠AGM = 90°.
∴ $BG = AG = EG = \frac{1}{2}AE$,
∴ ∠GAB = ∠GBA.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠ABD = ∠CBD = 45°,
∴ ∠GBN = ∠ABD - ∠GBA = 45° - ∠GBA = 45° - ∠GAB.
∵ BG = AG = EG,
∴ ∠BGE = 2∠GBA.
∴ ∠BGN = ∠BGE + ∠EGN = 2∠GBA + 90°,∠GNB = 180° - ∠GBN- ∠BGN = 180° - (45° - ∠GBA) - (2∠GBA + 90°) = 45° - ∠GBA,
∴ ∠GNB = ∠GBN,
∴ NG = BG = AG = EG,
∴ AE = AG + EG = NG + NG = 2NG.
(2)由题意得,AB = CD = n,AD = BC = 2.
MF 垂直平分 AE,MF 垂直平分 DQ.
∴ EQ = AD = 2,四边形 ADQE 是等腰梯形,
∴ AQ = ED.
∵ G 为 AE 的中点,
∴ $BG=\frac{1}{2}AE$,即 AE = 2BG,
∴ AQ + 2BG = ED + AE,如图,作点 A 关于 BC 的对称点 A',则 A'E = AE,AB = A'B = n,
∴ AQ + 2BG = ED + AE = ED + A'E ≥ A'D,
当且仅当 A',E,D 三点共线时,AQ + 2BG 取得最小值,最小值为 A'D 的长,
在 Rt△A'AD 中,由勾股定理得,
$A'D=\sqrt{A'A^2 + AD^2}=\sqrt{(2n)^2 + 2^2}=2\sqrt{n^2 + 1}$,
∴ AQ + 2BG 的最小值为 $2\sqrt{n^2+1}$.
【知识点】
翻折变换性质、正方形矩形性质、轴对称求最短路径
【点评】
本题为几何综合题，融合翻折变换、全等三角形、直角三角形性质及最值问题，需熟练运用几何定理进行线段转化，考查逻辑推理与综合应用能力，是典型的中考几何压轴题型。
【难度系数】
0.4
本题是翻折变换的几何综合题，需结合正方形、矩形性质及相关几何定理解题。(1)①问：先由翻折得MF垂直平分AE，推出直角，再通过角的关系证△ABE与△DAM全等，结合F与D重合的条件得AE=MF；②问：连接BG，利用翻折的垂直平分线得直角三角形斜边中线性质，结合正方形对角线的45°角，证等腰三角形得NG=BG，从而推导AE=2GN；(2)问：通过翻折转化线段，将AQ+2BG转化为AE+ED，再利用轴对称求最短路径，结合勾股定理计算最小值。
【解析】
(1)①证明：由题意，正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD。折叠后MF垂直平分AE，设AE与MF交于点G，则∠AGD=90°，故∠BAE+∠AMD=90°，又∠ADM+∠AMD=90°，所以∠BAE=∠ADM。在△ABE和△DAM中，$\begin{cases}∠ABE=∠DAM=90°\\AB=DA\\∠BAE=∠ADM\end{cases}$，
∴△ABE≌△DAM(ASA)，
∴AE=DM。因点F与D重合，故AE=MF。
②证明：连接BG，折叠后MF垂直平分AE，
∴AG=EG，∠AGM=90°，在Rt△ABE中，BG是斜边AE的中线，故BG=AG=EG=$\frac{1}{2}AE$，
∴∠GAB=∠GBA。正方形ABCD中，∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠GBN=45°-∠GBA。又∠BGE=2∠GBA，故∠BGN=∠BGE+∠EGN=2∠GBA+90°，在△GBN中，∠GNB=180°-∠GBN-∠BGN=45°-∠GBA，
∴∠GNB=∠GBN，
∴NG=BG=AG=EG，
∴AE=AG+EG=2NG。
(2)解：矩形ABCD中，AB=n，BC=2，折叠后MF垂直平分AE、DQ，故EQ=AD=2，AQ=ED，G为AE中点，
∴BG=$\frac{1}{2}AE$，则AQ+2BG=ED+AE。作点A关于BC的对称点A'，则A'B=AB=n，A'E=AE，故ED+AE=ED+A'E≥A'D，当A'、E、D共线时取最小值。在Rt△A'AD中，A'A=2n，AD=2，由勾股定理得A'D=$\sqrt{(2n)^2+2^2}=2\sqrt{n^2+1}$，即AQ+2BG的最小值为$2\sqrt{n^2+1}$。
【答案】
27. 【点拨】本题考查正方形、矩形的性质,翻折变换的性质,余角的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上中线的性质,等腰三角形的判定与性质,利用轴对称图形的性质和两点之间线段最短求最值.
【解析】(1)①证明:由题意得,∠BAD = ∠ABC = 90°,AB = AD,MF 垂直平分 AE,如题图 1,设 AE 与 MF 交于点 G,则∠AGD = 90°,
∴ ∠BAE + ∠AMD = 90°,
∵ ∠ADM + ∠AMD = 90°,
∴ ∠BAE = ∠ADM,
在△ABE 和△DAM 中,$\begin{cases}∠ABE = ∠DAM = 90°,\\AB = DA,\\∠BAE = ∠ADM,\end{cases}$
∴ △ABE ≌ △DAM(ASA),
∴ AE = DM.
又
∵ 点 F 与点 D 重合,
∴ AE = MF.
②证明:如题图 2,连接 BG,由折叠的性质可知,MF 垂直平分 AE.
∴ AG = EG,∠AGM = 90°.
∴ $BG = AG = EG = \frac{1}{2}AE$,
∴ ∠GAB = ∠GBA.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠ABD = ∠CBD = 45°,
∴ ∠GBN = ∠ABD - ∠GBA = 45° - ∠GBA = 45° - ∠GAB.
∵ BG = AG = EG,
∴ ∠BGE = 2∠GBA.
∴ ∠BGN = ∠BGE + ∠EGN = 2∠GBA + 90°,∠GNB = 180° - ∠GBN- ∠BGN = 180° - (45° - ∠GBA) - (2∠GBA + 90°) = 45° - ∠GBA,
∴ ∠GNB = ∠GBN,
∴ NG = BG = AG = EG,
∴ AE = AG + EG = NG + NG = 2NG.
(2)由题意得,AB = CD = n,AD = BC = 2.
MF 垂直平分 AE,MF 垂直平分 DQ.
∴ EQ = AD = 2,四边形 ADQE 是等腰梯形,
∴ AQ = ED.
∵ G 为 AE 的中点,
∴ $BG=\frac{1}{2}AE$,即 AE = 2BG,
∴ AQ + 2BG = ED + AE,如图,作点 A 关于 BC 的对称点 A',则 A'E = AE,AB = A'B = n,
∴ AQ + 2BG = ED + AE = ED + A'E ≥ A'D,
当且仅当 A',E,D 三点共线时,AQ + 2BG 取得最小值,最小值为 A'D 的长,
在 Rt△A'AD 中,由勾股定理得,
$A'D=\sqrt{A'A^2 + AD^2}=\sqrt{(2n)^2 + 2^2}=2\sqrt{n^2 + 1}$,
∴ AQ + 2BG 的最小值为 $2\sqrt{n^2+1}$.
【知识点】
翻折变换性质、正方形矩形性质、轴对称求最短路径
【点评】
本题为几何综合题，融合翻折变换、全等三角形、直角三角形性质及最值问题，需熟练运用几何定理进行线段转化，考查逻辑推理与综合应用能力，是典型的中考几何压轴题型。
【难度系数】
0.4
