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28. (12 分)已知点$C(0, -2)$，直线$l:y = kx - 2k$，无论$k$为何值，直线总过定点$B$.
(1)直接写出定点$B$的坐标；
(2)如图1，若点$D$为直线$BC$上的动点$[$点$(-1, -3)$除外$]$，过点$D$作$x$轴的垂线交直线$y = -3$于点$E$，点$F$在直线$BC$上，距离点$D\sqrt{2}$个单位长度，点$D$横坐标为$t$，$△ DEF$的面积为$S$，求$S$与$t$的函数关系式；
(3)若直线$BC$关于$x$轴对称后再向上平移5个单位长度得到直线$B_1C_1$，如图2，点$G(1,a)$和$H(6,b)$是直线$B_1C_1$上的两点，点$P(m,n)$为第一象限内$(G,H$两点除外$)$的一点，且$mn = 6$，直线$PG$和$PH$分别交$y$轴于点$M,N$，线段$OM,ON$有什么样的数量关系？请给出证明.
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(1)直接写出定点$B$的坐标；
(2)如图1，若点$D$为直线$BC$上的动点$[$点$(-1, -3)$除外$]$，过点$D$作$x$轴的垂线交直线$y = -3$于点$E$，点$F$在直线$BC$上，距离点$D\sqrt{2}$个单位长度，点$D$横坐标为$t$，$△ DEF$的面积为$S$，求$S$与$t$的函数关系式；
(3)若直线$BC$关于$x$轴对称后再向上平移5个单位长度得到直线$B_1C_1$，如图2，点$G(1,a)$和$H(6,b)$是直线$B_1C_1$上的两点，点$P(m,n)$为第一象限内$(G,H$两点除外$)$的一点，且$mn = 6$，直线$PG$和$PH$分别交$y$轴于点$M,N$，线段$OM,ON$有什么样的数量关系？请给出证明.
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答案
28. 【点拨】本题考查一次函数的综合应用,直线过定点问题,待定系数法求函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,直线的交点问题,等腰直角三角形的判定与性质,三角形面积公式.
【解析】(1)
∵ 直线 l:y = kx - 2k,即 y = k(x - 2),
∴ 当 x = 2 时,y = 0.
∴ 无论 k 为何值,直线 l 总过定点 B(2,0).
(2)易得直线 BC 的解析式为 y = x - 2.
∵ OB = OC = 2,
∴ ∠OBC = 45°.
∵ DE ⊥ x 轴,
∴ ∠CDE = 45°.
设 D(t,t - 2)(t ≠ -1),则 E(t,-3),
∴ DE = |t - 2 - (-3)| = |t + 1|.
如图,过点 F 作 FH ⊥ DE 于点 H,则∠FDH=45°.
∴ △HDF 是等腰直角三角形,$\sqrt{2}DH = DF =$$\sqrt{2}$,
∴ DH = 1,
∴ $S=\frac{1}{2}DE· DH=\frac{1}{2}|t + 1|$,
∴ S 与 t 的函数关系式为
$S=\begin{cases}-\frac{1}{2}(t + 1)(t ＜ -1),\\\frac{1}{2}(t + 1)(t ＞ -1).\end{cases}$
(3)OM - ON = 5. 证明如下:
设直线 PH 的解析式为 y = k₁x + b₁,
则 $\begin{cases}6k_1 + b_1 = 1,\\mk_1 + b_1 = n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=\frac{1}{6 - m},\\b_1=\frac{6n - m}{6 - m}.\end{cases}$
∴ $N(0,\frac{6n - m}{6 - m})$,
∴ $ON=\frac{6n - m}{6 - m}$.
∵ mn = 6,
∴ $ON=\frac{mn^2 - m}{mn - m}=n + 1$,
同法可得 $OM=\frac{n - 6m}{1 - m}$.
∵ mn = 6,
∴ $OM=\frac{\frac{mn^2}{6} - 6m}{\frac{mn}{6} - m}=n + 6$.
∴ OM - ON = 5.
解析
【分析】
本题为一次函数综合题，分三小问逐步突破：
1. 直线过定点问题：将直线解析式变形，令参数k的系数为0，即可求出定点坐标；
2. 求△DEF的面积：先确定直线BC的解析式，根据点D的横坐标表示D、E的坐标，结合等腰直角三角形性质得F到DE的距离，分情况讨论t的取值，结合面积公式求解；
3. 推导OM与ON的数量关系：先求平移后的直线B₁C₁解析式，确定G、H坐标，用待定系数法求直线PG、PH与y轴交点的纵坐标，结合mn=6的条件化简，推导两者的差为定值。
【解析】
(1) 直线$l:y=kx-2k$整理为$y=k(x-2)$，当$x=2$时，无论k取何值，$y=0$，故定点B的坐标为$(2,0)$；
(2) 设直线BC的解析式为$y=ax+b$，代入$C(0,-2)$、$B(2,0)$得：
$\begin{cases}b=-2 \\ 2a+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-2\end{cases}$，即直线BC解析式为$y=x-2$；
∵ $OB=OC=2$，
∴ △OBC为等腰直角三角形，$∠ CDE=45°$；
设$D(t,t-2)(t≠-1)$，E为$x=t$与$y=-3$的交点，故$E(t,-3)$，则$DE=|(t-2)-(-3)|=|t+1|$；
∵ $DF=\sqrt{2}$，$△ FDH$为等腰直角三角形，
∴ $DH=1$；
∴ $S=\frac{1}{2}DE·DH=\frac{1}{2}|t+1|$，即：
当$t＜-1$时，$S=-\frac{1}{2}(t+1)$；当$t＞-1$时，$S=\frac{1}{2}(t+1)$；
(3) 直线BC关于x轴对称得$y=-x+2$，向上平移5个单位得$B_1C_1:y=-x+7$；
代入$G(1,a)$、$H(6,b)$得$a=6$，$b=1$，即$G(1,6)$、$H(6,1)$；
设直线PH解析式为$y=k_1x+b_1$，代入$H(6,1)$、$P(m,n)$得：
$\begin{cases}6k_1+b_1=1 \\ mk_1+b_1=n\end{cases}$，解得$b_1=\frac{6n-m}{6-m}$，即$ON=\frac{6n-m}{6-m}$；
同理，直线PG与y轴交点$OM=\frac{6m-n}{m-1}$；
由$mn=6$得$n=\frac{6}{m}$，代入化简得$ON=1+n$，$OM=6+n$，故$OM-ON=5$；
【答案】
(1) $B(2,0)$；
(2) $S=\begin{cases}-\frac{1}{2}(t + 1)(t ＜ -1) \\\frac{1}{2}(t + 1)(t ＞ -1)\end{cases}$；
(3) $OM - ON = 5$；
【知识点】
一次函数综合、待定系数法、三角形面积
【点评】
本题为一次函数压轴题，涵盖直线过定点、等腰直角三角形性质、一次函数平移等知识点，需逐步分析各小问，利用坐标表示线段长度，结合代数化简推导数量关系，对学生综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
本题为一次函数综合题，分三小问逐步突破：
1. 直线过定点问题：将直线解析式变形，令参数k的系数为0，即可求出定点坐标；
2. 求△DEF的面积：先确定直线BC的解析式，根据点D的横坐标表示D、E的坐标，结合等腰直角三角形性质得F到DE的距离，分情况讨论t的取值，结合面积公式求解；
3. 推导OM与ON的数量关系：先求平移后的直线B₁C₁解析式，确定G、H坐标，用待定系数法求直线PG、PH与y轴交点的纵坐标，结合mn=6的条件化简，推导两者的差为定值。
【解析】
(1) 直线$l:y=kx-2k$整理为$y=k(x-2)$，当$x=2$时，无论k取何值，$y=0$，故定点B的坐标为$(2,0)$；
(2) 设直线BC的解析式为$y=ax+b$，代入$C(0,-2)$、$B(2,0)$得：
$\begin{cases}b=-2 \\ 2a+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\ b=-2\end{cases}$，即直线BC解析式为$y=x-2$；
∵ $OB=OC=2$，
∴ △OBC为等腰直角三角形，$∠ CDE=45°$；
设$D(t,t-2)(t≠-1)$，E为$x=t$与$y=-3$的交点，故$E(t,-3)$，则$DE=|(t-2)-(-3)|=|t+1|$；
∵ $DF=\sqrt{2}$，$△ FDH$为等腰直角三角形，
∴ $DH=1$；
∴ $S=\frac{1}{2}DE·DH=\frac{1}{2}|t+1|$，即：
当$t＜-1$时，$S=-\frac{1}{2}(t+1)$；当$t＞-1$时，$S=\frac{1}{2}(t+1)$；
(3) 直线BC关于x轴对称得$y=-x+2$，向上平移5个单位得$B_1C_1:y=-x+7$；
代入$G(1,a)$、$H(6,b)$得$a=6$，$b=1$，即$G(1,6)$、$H(6,1)$；
设直线PH解析式为$y=k_1x+b_1$，代入$H(6,1)$、$P(m,n)$得：
$\begin{cases}6k_1+b_1=1 \\ mk_1+b_1=n\end{cases}$，解得$b_1=\frac{6n-m}{6-m}$，即$ON=\frac{6n-m}{6-m}$；
同理，直线PG与y轴交点$OM=\frac{6m-n}{m-1}$；
由$mn=6$得$n=\frac{6}{m}$，代入化简得$ON=1+n$，$OM=6+n$，故$OM-ON=5$；
【答案】
(1) $B(2,0)$；
(2) $S=\begin{cases}-\frac{1}{2}(t + 1)(t ＜ -1) \\\frac{1}{2}(t + 1)(t ＞ -1)\end{cases}$；
(3) $OM - ON = 5$；
【知识点】
一次函数综合、待定系数法、三角形面积
【点评】
本题为一次函数压轴题，涵盖直线过定点、等腰直角三角形性质、一次函数平移等知识点，需逐步分析各小问，利用坐标表示线段长度，结合代数化简推导数量关系，对学生综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
