8. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边BC在x轴上,顶点A,B的坐标分别为(0,2),(-1,0),则顶点D的坐标为().

A.(2,2)
B.$(\sqrt{5},2)$
C.$(2,\sqrt{5})$
D.$(\sqrt{3},2)$

8. B 【点拨】本题考查坐标与图形的性质,菱形的性质,勾股定理.
【解析】
∵ A(0,2),B( - 1,0),
∴ OA = 2,OB = 1,
∴ AB = $\sqrt{OA^2 + OB^2}$=$\sqrt{5}$,
∴ AD = AB = $\sqrt{5}$. 又
∵ AD // BC,即 AD // x 轴,
∴ D($\sqrt{5}$,2). 故选 B.

【分析】要确定顶点D的坐标，需利用菱形的性质：菱形的对边平行且四条边相等。首先通过勾股定理计算AB的长度，再根据AD平行于x轴，得出D的纵坐标与A相同，横坐标为A的横坐标加上AB的长度，进而求出D的坐标。
【解析】已知顶点A(0,2)，B(-1,0)，在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，根据勾股定理得：AB=√(OA²+OB²)=√(2²+1²)=√5。因为四边形ABCD是菱形，所以AD=AB=√5，且AD//BC，BC在x轴上，故AD平行于x轴，因此点D的纵坐标与点A的纵坐标相同，为2；点D的横坐标为点A的横坐标加上AD的长度，即0+√5=√5，所以顶点D的坐标为(√5,2)。
【答案】B
【知识点】菱形性质、勾股定理、坐标与图形
【点评】本题结合平面直角坐标系考查菱形的性质，核心是利用菱形对边平行且相等的特点，结合勾股定理确定点的坐标，难度适中，需掌握菱形基本性质和勾股定理的应用。
【难度系数】0.5

9. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量$x(\mathrm{kg})$与其托运费用$y$(元)的关系由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可免费携带行李的最大质量为().

A.$30\ \mathrm{kg}$
B.$25\ \mathrm{kg}$
C.$20\ \mathrm{kg}$
D.$18\ \mathrm{kg}$

9. C 【点拨】本题考查待定系数法确定一次函数解析式.
【解析】设 y 与 x 的函数解析式为 y = kx + b.
∵ 函数图象过点(30,600),(50,1 800),
∴ $\begin{cases}30k + b = 600,\\50k + b = 1\ 800,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 60,\\b = - 1\ 200.\end{cases}$
∴ y = 60x - 1 200,当 y = 0 时,60x - 1 200 = 0,解得 x = 20,
∴ 旅客可免费携带行李的最大质量为 20 kg. 故选 C.

【分析】要解决这个问题，需先确定行李托运费用$y$与行李质量$x$的一次函数解析式，利用图像上的已知点，通过待定系数法求出解析式；旅客免费携带行李时托运费用$y=0$，将$y=0$代入解析式，即可求出对应的$x$值，也就是免费携带行李的最大质量。
【解析】设$y$与$x$的函数解析式为$y = kx + b$。
因为函数图象经过点$(30,600)$和$(50,1800)$，代入解析式得方程组：
$\begin{cases}30k + b = 600 \\50k + b = 1800 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$20k=1200$，解得$k=60$。
将$k=60$代入$30k + b =600$，得$1800 + b=600$，解得$b=-1200$。
因此函数解析式为$y=60x -1200$。
当免费携带行李时，$y=0$，代入解析式得$60x -1200=0$，解得$x=20$。
即旅客可免费携带行李的最大质量为$20\ \mathrm{kg}$。
【答案】C
【知识点】一次函数应用、待定系数法求解析式
【点评】本题是一次函数在实际生活的基础应用，核心是用待定系数法确定函数解析式，结合实际意义求解，考查学生对一次函数知识的基础应用能力。
【难度系数】0.6

10. 如图,菱形ABCD的边长为5,对角线AC,BD相交于点O,BD=6,则菱形ABCD的高DE=().

A.4
B.4.5
C.4.8
D.5

10. C 【点拨】本题考查菱形的性质,勾股定理,等面积法.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是菱形,BD = 6,
∴ AC ⊥ BD,OA = OC =$\frac{1}{2}$AC,OB = OD = $\frac{1}{2}$BD = 3,在 Rt△OAB 中,OA = $\sqrt{AB^2 - OB^2}$=$\sqrt{5^2 - 3^2}$=4,
∴ AC = 2OA = 8. 又
∵ DE 是菱形 ABCD 的高,
∴ $S_{菱形ABCD}$=$AB· DE=\frac{1}{2}AC· BD$,即 $DE=\frac{\frac{1}{2}AC· BD}{AB}=\frac{\frac{1}{2}×8×6}{5}=4.8$. 故选 C.

【分析】要计算菱形的高DE，需先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线AC的长度，再根据菱形面积的两种计算方法（底×高、对角线乘积的一半）建立等式，即可求出高DE。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，BD=6，
∴AC⊥BD，OB=OD=½BD=3，OA=OC=½AC。
在Rt△OAB中，AB=5，OB=3，由勾股定理得：
OA=√(AB² - OB²)=√(5² - 3²)=4，
∴AC=2OA=8。
菱形的面积有两种计算方式：S=AB·DE，也等于S=½AC·BD，因此：
AB·DE=½AC·BD，
代入数值：5·DE=½×8×6，
解得DE=4.8。
【答案】C
【知识点】菱形的性质、勾股定理、等面积法
【点评】本题考查菱形的基本性质与面积计算，关键是利用菱形对角线的性质结合勾股定理求出对角线长度，再通过等面积法求高，属于基础几何应用题，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】0.6

12. 某市青少年体质中心公布八年级学生肺活量测试数据显示:第一四分位数$Q_{1}=2\ 900\ \mathrm{mL}$，第三四分位数$Q_{3}=3\ 800\ \mathrm{mL}$. 根据信息，至少有%的学生肺活量达到或超过2 900 mL.

12. 75 【点拨】本题考查四分位数.
【解析】
∵ 第一四分位数 $Q_1=2\ 900\ \mathrm{mL}$,
∴ 学生肺活量达到或超过2 900 mL 的百分比是 1 - 25% = 75%. 故答案为 75.

【分析】首先需明确第一四分位数的含义：将一组数据按从小到大的顺序排列后，第一四分位数$Q_1$对应25%分位的数值，意味着有25%的数据小于或等于$Q_1$，剩余75%的数据大于或等于$Q_1$。题目要求肺活量达到或超过2900 mL（即$Q_1$）的学生占比，用1减去25%即可得出结果。
【解析】根据第一四分位数的定义，$Q_1=2900\ \mathrm{mL}$表示八年级学生肺活量数据中，有25%的学生肺活量≤2900 mL，因此达到或超过2900 mL的学生占比为$1 - 25\% = 75\%$。
【答案】75
【知识点】四分位数的概念
【点评】本题考查统计中四分位数的基础概念，属于简单题型，理解第一四分位数的意义即可轻松解答。
【难度系数】0.7

13. 在$□ ABCD$中，$∠ A = 3∠ B$，则$∠ C$的度数是________.

13. 135° 【点拨】本题考查平行四边形的性质.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ ∠A = ∠C,AD // BC,
∴ ∠A+ ∠B = 180°. 又
∵ ∠A = 3∠B,
∴ 3∠B + ∠B = 180°,
∴ ∠B = 45°,
∴ ∠A = 3∠B = 135°,
∴ ∠C = ∠A = 135°. 故答案为 135°.

【分析】
本题需运用平行四边形的性质解题：平行四边形的邻角互补（相邻两角和为180°），且对角相等。题目给出∠A与∠B的数量关系，结合邻角互补的性质可先求出∠B的度数，进而得到∠A的度数，最后利用对角相等的性质即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠A=∠C（平行四边形邻角互补、对角相等），
∴ ∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ ∠A = 3∠B，
∴ 代入得：3∠B + ∠B = 180°，即4∠B = 180°，解得∠B = 45°，
∴ ∠A = 3×45° = 135°，
∴ ∠C = ∠A = 135°。
【答案】
135°
【知识点】
平行四边形的性质、邻角互补、对角相等
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，利用邻角互补和对角相等的性质即可求解，属于基础题型，主要检验学生对平行四边形核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7

14. 如图,已知点 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,连接 BE,CE,BC = EC,∠ABE = 15°,AB = 4 cm,则BC = cm.

14. 8 【点拨】本题考查矩形的性质、余角的定义、等腰三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质.
【解析】
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AB = CD = 4 cm,AD // BC,∠ABC=90°.
∵ ∠ABE = 15°,
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 90° - 15° = 75°.
∵ BC = EC,
∴ ∠BCE = 180° - 2∠CBE = 180° - 2×75° = 30°,
∵ AD//BC,
∴ ∠DEC = ∠BCE = 30°,
∴ EC = 2CD = 2×4 = 8(cm),
∴ BC =EC = 8 cm. 故答案为 8.

【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质逐步推导：首先利用矩形的性质得到直角与对边平行，计算出∠CBE的度数；再由BC=EC，根据等腰三角形等边对等角求出∠BCE的度数；接着利用AD//BC的内错角相等得到∠DEC=∠BCE；最后根据含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，求出EC的长度，而BC=EC，即可得到BC的值。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = CD = 4 cm，AD // BC，∠ABC = 90°。
∵ ∠ABE = 15°，
∴ ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = 90° - 15° = 75°。
∵ BC = EC，
∴ △BCE是等腰三角形，∠BCE = 180° - 2∠CBE = 180° - 2×75° = 30°。
∵ AD // BC，
∴ ∠DEC = ∠BCE = 30°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△CDE中，∠DEC = 30°，∠D = 90°，
∴ EC = 2CD = 2×4 = 8 cm（含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又
∵ BC = EC，
∴ BC = 8 cm。
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了矩形、等腰三角形及直角三角形的相关性质，解题关键是利用角度关系推导含30°角的直角三角形，进而求出边长，难度适中，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.5

15. 如图，一次函数$y=ax-b$的图象经过$A(3,0)$，则关于$x$的不等式$ax+b＞0$的解集为________.

15. x ＞ -3 【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式.
【解析】
∵ 一次函数 y = ax - b 的图象经过 A(3,0),
∴ 3a - b = 0,
∴ b=3a,观察题图可知,一次函数 y = ax - b 的图象经过第一、三、四象限,
∴ a ＞ 0,-b ＜ 0,即 a ＞ 0,b ＞ 0,关于 x 的不等式 ax + b ＞ 0 化为ax + 3a ＞ 0,
∴ a(x + 3) ＞ 0.
∵ a ＞ 0,
∴ x + 3 ＞ 0,
∴ x ＞ -3,即原不等式的解集为 x ＞ -3. 故答案为 x ＞ -3.

【分析】
首先，根据一次函数图象经过点A(3,0)，代入函数式可得到a与b的关系；接着，结合一次函数图象经过的象限，判断出a的正负性；然后将b用含a的式子替换到不等式ax+b＞0中，利用a的正负性解不等式，即可得到解集。
【解析】
∵一次函数$y=ax-b$的图象经过点$A(3,0)$，
∴将$A(3,0)$代入函数式得：$3a - b = 0$，即$b=3a$。
观察图象可知，一次函数$y=ax-b$的图象经过第一、三、四象限，
∴$a＞0$，且$-b＜0$，即$b＞0$。
将$b=3a$代入不等式$ax+b＞0$，得：$ax + 3a ＞ 0$，
提取公因式得：$a(x + 3) ＞ 0$。
∵$a＞0$，不等式两边同时除以正数$a$，不等号方向不变，
∴$x + 3 ＞ 0$，解得$x ＞ -3$。
故不等式$ax+b＞0$的解集为$x ＞ -3$。
【答案】
$x＞-3$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象性质
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的结合应用，核心是利用函数图象上的点推导系数关系，结合函数图象象限确定系数符号，进而转化为不等式求解，需掌握一次函数基本性质与不等式的解法，属于常规中档题型。
【难度系数】
0.5

16. 已知一次函数$y=(m-1)x-3m+6$图象上两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，下列结论：①图象过定点$(3,3)$；②若一次函数$y=(m-1)x-3m+6$图象与一次函数$y=5x-1$的图象平行，则$m=6$；③若$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，则$m＞1$；④若函数图象与$x$轴的交点在正半轴，则$m＞2$或$m＜1$。其中正确的是________。（填序号）

16. ①②④ 【点拨】本题考查一次函数的图象与性质,直线过定点问题、直线平行的条件.
【解析】由题意得,m - 1 ≠ 0,即 m ≠ 1. 一次函数 y = (m - 1)x - 3m + 6,即 y = (m - 1)(x - 3) + 3,
∴ 其图象恒过定点(3,3),①正确;
∵ 一次函数 y = (m - 1)x - 3m + 6 的图象与一次函数 y = 5x - 1 的图象平行,
∴ $\begin{cases}m - 1 = 5,\\-3m + 6 ≠ -1,\end{cases}$ 解得 m = 6,②正确;
若$(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) ＜ 0$,则 $\begin{cases}x_1 - x_2 ＞ 0,\\y_1 - y_2 ＜ 0,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x_1 - x_2 ＜ 0,\\y_1 - y_2 ＞ 0.\end{cases}$ 即当 $x_1 ＞ x_2$时,$y_1 ＜ y_2$ 或 $x_1 ＜ x_2$ 时,$y_1 ＞ y_2$,
∴ y 随 x 的增大而减小,
∴ m - 1 ＜ 0,
∴ m ＜ 1,③错误;令 y = 0,则 $x = \frac{3m - 6}{m - 1}$.
∵ 函数图象与 x 轴的交点在正半轴上,
∴ $x = \frac{3m - 6}{m - 1} ＞ 0$,
∴ $\begin{cases}m - 1 ＞ 0,\\3m - 6 ＞ 0,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m - 1 ＜ 0,\\3m - 6 ＜ 0,\end{cases}$ 解得 m ＞2 或 m ＜ 1,④正确,
∴ 正确的结论是①②④. 故答案为①②④.

【分析】
要判断四个结论是否正确，需结合一次函数的性质逐一分析：①将函数式变形，寻找与参数m无关的点即定点；②两直线平行需满足斜率相等且截距不等；③由$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$判断函数的增减性，进而确定斜率的符号；④函数与x轴交点在正半轴，即交点横坐标大于0，转化为分式不等式求解，注意分母不为0。
【解析】
已知一次函数$y=(m-1)x-3m+6$，需满足$m-1≠0$，即$m≠1$。
1. 分析结论①：将函数式变形为$y=(m-1)(x-3)+3$，当$x=3$时，无论$m$取何值，$y=3$，因此图象恒过定点$(3,3)$，故①正确。
2. 分析结论②：两直线平行的条件是斜率相等且截距不等。一次函数$y=(m-1)x-3m+6$与$y=5x-1$平行，则：
$ \begin{cases} m-1=5 \\ -3m+6≠-1 \end{cases} $
解得$m=6$，故②正确。
3. 分析结论③：若$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，说明当$x$增大时$y$减小，函数为减函数，因此斜率$m-1＜0$，即$m＜1$，故③错误。
4. 分析结论④：函数与x轴交点时$y=0$，令$y=0$，解得$x=\frac{3m-6}{m-1}$。交点在正半轴，故$x＞0$，即$\frac{3m-6}{m-1}＞0$，等价于分子分母同号：
当$m-1＞0$且$3m-6＞0$时，解得$m＞2$；
当$m-1＜0$且$3m-6＜0$时，解得$m＜1$；
综上，$m＞2$或$m＜1$，故④正确。
因此正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数的图象与性质、直线过定点、直线平行的条件
【点评】
本题综合考查一次函数的多个核心知识点，要求学生熟练掌握直线过定点、平行、增减性、与坐标轴交点的判定方法，需具备一定的逻辑分析能力，是一次函数性质的典型综合题。
【难度系数】
0.6

三、解答题(本大题共5小题,共52分.解答应写出过程)
17. (10分)计算:
(1)$\sqrt{8} - 3\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}$;
(2)$3\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{2}$.

17. 【点拨】本题考查二次根式的运算.
【解析】(1)$\sqrt{8} - 3\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 3×\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
(2)$3\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{4}$.

【分析】
对于二次根式的加减运算，需先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；对于二次根式的乘除运算，按照从左到右的顺序，分别计算系数的运算和被开方数的运算，最后化简结果。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$3\sqrt{\frac{1}{2}}=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则原式$=2\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}$
合并同类二次根式：$2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}$，
所以原式$=\frac{4\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=\frac{(4-3+2)\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
(2) 先化简二次根式并按顺序运算：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，则$3\sqrt{18}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$，
原式$=9\sqrt{2}÷2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
系数运算：$9÷2×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$，
被开方数运算：$\sqrt{2}÷\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{\frac{2}{6}×3}=\sqrt{1}=1$，
所以原式$=\frac{9}{4}×1=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$；(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，属于基础题型，重点考查二次根式的化简规则、同类二次根式的合并方法以及乘除运算的顺序，要求学生熟练掌握相关运算规则，避免化简错误或运算顺序颠倒。
【难度系数】
0.7