1. 已知关于 $x$ 的一次函数 $y=mx+4m-2$，则下列说法中正确的个数为（）
①若函数图象经过原点, 则 $m=\dfrac{1}{2}$; ②若$m=\dfrac{1}{3}$, 则函数图象经过第一、二、四象限；
③函数图象与 $y$ 轴交于点 $(0,-2)$; ④无论 $m$ 为何实数, 函数的图象总经过点$(-4,-2).$

A.1
B.2
C.3
D.4

1. B

2. 已知$P(3m,4-4m)$为平面直角坐标系中一点.若$O$为原点,则线段$PO$长的最小值为（）

A.2
B.2.4
C.2.5
D.3

2. B 提示:令 x=3m,y=4-4m,则 m=1/3 x, y=4-4/3 x,所以点 P 在直线 y=-4/3 x+4 上. 如图，
易知点 A(3,0),B(0,4),所以 AO=3,OB=4. 因为 AB²=AO²+OB²=3²+4²=25,所以 AB=5. 当 PO⊥AB 时,PO 长最短,此时,由等积法可知,1/2 ×3×4=1/2 ×5PO,所以 PO=2.4,即线段 PO 长的最小值为2.4.

3. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别为$(1,6)$和$(5,0)$,点 C 是 y 轴上的一个动点,且 A,B,C 三点不在同一条直线上,当$△ ABC$的周长最小时,点 C 的坐标为（）

A.$(0,2)$
B.$(0,3)$
C.$(0,4)$
D.$(0,5)$

3. D 提示:因为点 A,B 的坐标分别为(1,6)和(5,0),所以 AB 的长为定值,所以当 AC+BC 的值最小时,△ABC 的周长最小.如图,作点 B 关于 y 轴的对称点 B',连接 AB',CB'.由轴对称的性质,可知 CB'=CB,点 B' 的坐标为(-5,0),所以 AC+BC=AC+CB'≥AB',当 A,C,B' 三点共线时,AC+BC 取最小值.设直线 AB' 的函数表达式为 y=kx+b,将点 B'(-5,0),A (1,6) 代入,得 {0=-5k+b, 6=k+b, 解得 {k=1, b=5, 所以直线 AB' 的函数表达式为 y=x+5. 当 x=0 时,y=0+5=5,所以点 C 的坐标为(0,5).

4. 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(3,6),B(-3,0),C(6,$$0)$,点$P(a,1)$关于$y$轴的对称点$Q$落在$△ ABC$内(不包括边),则$a$的取值范围是（）

A.$-2＜a＜\dfrac{11}{2}$
B.$-\dfrac{11}{2}＜a＜2$
C.$4＜a＜10$
D.$-10＜a＜4$

4. B 提示:设直线 AB 的函数表达式为 y=kx+b,将点 A(3,6),B(-3,0)代入 y=kx+b,得 {3k+b=6, -3k+b=0, 解得 {k=1, b=3, 所以直线 AB 的函数表达式为 y=x+3,当 y=1 时,x=-2. 设直线 AC 的函数表达式为 y=ax+c,将点 A(3,6),C(6,0)代入 y=ax+c,得 {3a+c=6, 6a+c=0, 解得 {c=12, a=-2, 所以直线 AC 的函数表达式为 y=-2x+12,当 y=1 时,x=11/2. 所以点 Q 的横坐标的取值范围为-2＜x_Q＜11/2. 因为点 P(a,1)与点 Q 关于 y 轴对称,所以-11/2＜a＜2.

5. 若直线 $y=kx+2$ 与函数 $y=|x|$ 的图象恰好有一个交点,则实数 $k$ 的取值范围是（）

A.$1 ≤ k ≤ 2$
B.$k ≥ 1$ 或 $k ≤-1$
C.$k ≤-1$
D.$1 ≤ k ≤ 2$ 或 $k ≤-1$

5. B 提示:如图,画出直线 y=kx+2 与函数 y=|x| 的大致图象,观察图象,可知直线 y=kx+2 必过点(0,2),且绕该点旋转.当 y=kx+2 与 y=x(x≥0)有一个交点时,其与 y=-x(x＜0)不相交,此时 k≤-1;当 y=kx+2 与 y=-x(x＜0)有一个交点时,其与 y=x(x≥0)不相交,此时 k≥1. 综上所述,k 的取值范围是 k≥1 或 k≤-1.

6. 已知点 Q 的坐标为$(0,4)$，则点 Q 到直线$y=kx-3k(k≠0)$的最大距离是。

6. 5 提示:在一次函数 y=kx-3k=k(x-3)(k≠0)中,令 x=3,则 y=0,所以该直线必过定点(3,0).不妨设点 P(3,0),点 Q 到直线 y=kx-3k(k≠0)的距离是 h,连接 PQ,根据垂线段最短,得 h≤PQ,所以点 Q 到直线 y=kx-3k(k≠0)的最大距离为 PQ=√(3²+4²)=5.

7. 已知一次函数 $y=kx+1$, 当 $a ≤ x ≤ a+4$时,$y$ 的最大值与最小值的差为 8,则 $k$ 的值为.

7. 2 或-2 提示:当 k＞0 时,函数值 y 随 x 增大而增大,当 a≤x≤a+4 时,最大值为 k(a+4)+1,最小值为 ka+1,差值为 k(a+4)+1-(ka+1)=4k,由题意,得4k=8,解得k=2;当 k＜0 时,函数值 y 随 x 增大而减小,当 a≤x≤a+4 时,最大值为 ka+1,最小值为 k(a+4)+1,差值为(ka+1)-[k(a+4)+1]=-4k,由题意,得-4k=8,解得k=-2. 综上所述,k 的值为 2 或-2.

8. 如图,已知点 N 的坐标为$(2,0)$,点 M 在坐标轴上,点 M 绕着点 N 逆时针旋转$90°$后正好落在直线$y=2x+1$上,则点 M 的坐标为.

8. (7,0)或(0,7/2) 提示:当点 M 在 x 轴上时,由条件易知,点 M 在点 N 的右侧,设点 M(a,0)(a＞2). 因为点 N(2,0),所以点 M 绕着点 N 逆时针旋转90°后的坐标为(2,a-2),将其代入一次函数 y=2x+1 中,得 a-2=2×2+1,解得 a=7,所以点 M(7,0). 当点 M 在 y 轴上时,由条件易知,点 M 只能在 y 轴正半轴上,设点 M(0,b)(b＞0). 如图,设点 M 绕着点 N 逆时针旋转 90°后得到点 B,过点 B 作 BA⊥x 轴于点 A,易证△OMN≌△ANB,所以 AN=OM=b,AB=ON=2,所以 OA=AN-ON=b-2,所以点 B(2-b,-2),将其代入一次函数 y=2x+1 中,得-2=2(2-b)+1,解得 b=7/2,所以点 M(0,7/2). 综上所述,点 M 的坐标为(7,0)或(0,7/2).

9. 在平面直角坐标系中,对于两点 A,B,给出如下定义:以线段 AB 为直角边的等腰直角三角形称为点 A,B 的“对称三角形”.
一次函数 $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,在第一象限内,点 A,B 的“对称三角形”的另一个顶点的坐标为.

9. (4,12)或(12,8) 提示:因为直线 y=-1/2 x+4 过点 A(8,0),B(0,4),所以 OA=8,OB=4. 如图1,当∠DBA=90°,DB=BA 时,过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E. 易证△DBE≌△BAO,所以 ED=OB=4,EB=OA=8,所以 OE=12. 所以点 D(4,12). 如图2,当∠CAB=90°,CA=BA 时,同理可求得 FC=OA=8,FA=OB=4,所以 OF=12. 所以点 C(12,8). 综上所述,另一个顶点的坐标为(4,12)或(12,8).

10. 如图,四边形$ABCD$的顶点坐标分别为$A(-6,0),B(-3,-2),C(4,0),D(0,4)$,当过点$A$的直线$l$将四边形$ABCD$分成面积相等的两部分时,直线$l$的函数表达式为.

10. y=1/9 x + 2/3 提示:如图,设直线 l 与 DC 交于点 E,则四边形 ABCE 的面积为 1/2 S△ADC + 1/2 S△ABC = 1/2 × 1/2 × (6+4) ×4 + 1/2 × 1/2 × (6+4) ×2 =15,所以 S△ACE=15 - S△ABC=5,所以点 E 的纵坐标为 1. 设直线 CD 函数表达式为 y=kx+b. 因为点 C(4,0),D(0,4),所以直线 CD 函数表达式为 y=-x+4,所以当 y=1 时,x=3,所以点 E(3,1). 设直线 l 函数表达式为 y = mx + n. 因为点 A (-6, 0),所以 {1=3m+n, 0=-6m+n, 所以 {m=1/9, n=2/3, 所以直线 l 函数表达式为 y=1/9 x + 2/3.

11. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,$$4),B(3,1)$,过点$B$的直线与$y$轴交于点

解：
(1) 设直线BC的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$B(3,1)$、$C(0,3)$代入表达式得：
$\begin{cases}3k+b=1\\b=3\end{cases}$
将$b=3$代入$3k+b=1$，解得$k=-\dfrac{2}{3}$。
因此直线BC的函数表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x+3$。
(2) 设点D的坐标为$(x,-\dfrac{2}{3}x+3)$。
设直线AB的函数表达式为$y=mx+n$，将$A(1,4)$、$B(3,1)$代入得：
$\begin{cases}m+n=4\\3m+n=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\dfrac{3}{2}\\n=\dfrac{11}{2}\end{cases}$，即直线AB的表达式为$y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{2}$。
过点D作$DE// y$轴，交直线AB于点E，则E的横坐标为$x$，纵坐标为$-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{2}$。
由铅垂高面积法得$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}· |x_A-x_B|· DE = DE$，即$DE=6$。
① 当点D在点B左侧时，$DE=(-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{2})-(-\dfrac{2}{3}x+3)=\dfrac{5(3-x)}{6}$，
令$\dfrac{5(3-x)}{6}=6$，解得$x=-\dfrac{21}{5}$，代入直线BC表达式得$y=\dfrac{29}{5}$。
② 当点D在点B右侧时，$DE=(-\dfrac{2}{3}x+3)-(-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{2})=\dfrac{5(x-3)}{6}$，
令$\dfrac{5(x-3)}{6}=6$，解得$x=\dfrac{51}{5}$，代入直线BC表达式得$y=-\dfrac{19}{5}$。
综上，点D的坐标为$(-\dfrac{21}{5},\dfrac{29}{5})$或$(\dfrac{51}{5},-\dfrac{19}{5})$。