$M.$ 若$∠ ABM=45°$，则点$M$的坐标为
.

11. (0,8/5) 提示:如图,过点 A 作 AC⊥MB 于点 C,则 ∠ACB = 90°. 因为 ∠ABM = 45°,所以 ∠BAC=∠ABM=45°,所以 AC=BC. 分别过点 A,B 作 AG⊥y 轴于点 G,BH⊥y 轴于点 H,过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F,交 AG 于点 D,交 BH 于点 E,则 DF⊥BH,DF⊥AG,所以 ∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°. 所以 ∠ACD+∠BCE=90°,∠CBE+∠BCE=90°,所以 ∠ACD=∠CBE. 所以 △ACD≌△CBE (AAS),所以 CE=AD,CD=BE. 因为点 A(1,4),B(3,1),故可设点 E(a,1),则点 D(a,4),HE=DG=a,CE=AD=1-a,CD=BE=3-a. 由 DE=CD+CE,得 4-1=3-a+(1-a),解得 a=1/2,所以 CE=1/2,易得点 C(1/2,3/2),直线 BC 的函数表达式为 y=-1/5 x + 8/5,当 x=0 时,y=8/5,所以点 M 的坐标为(0,8/5).

12. 如图 1,在$△ ABC$中,$AB=AC=5,BC=$$6,AD ⊥ BC$于点$D$,动点$P$从点$D$出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿折线$DC-$$CA$运动,到达点$A$时停止运动. 设点$P$运动$x\ \mathrm{s}(0＜x＜8)$,$△ ADP$的面积为$y$.
(1) 请直接写出$y$关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围.
(2) 如图 2,在给定的平面直角坐标系中,画出函数$y$的图象,并写出函数$y$的一条性质.
(3) 结合函数图象,当$y=4$时,请直接写出$x$的值.

12. 解$:(1) y= \begin{cases} 2x (0＜x≤ 3), \\ -\dfrac{6}{5}x+\dfrac{48}{5} (3＜x＜8). \end{cases}$
提示:根据题意,得 BD=1/2 BC=3,所以 AD=√(AB²-BD²)=√(5²-3²)=4. 当点 P 在线段 DC 上时,DP=x,所以 S△ADP=1/2 AD · DP=2x (0＜x≤3),即 y=2x (0＜x≤3);当点 P 在线段 CA 上时,如图 1,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,S△ADC=1/2 AD · CD=1/2 AC · DE,所以 DE= (AD·CD)/AC =12/5,因为 AP=8-x,所以 S△ADP=1/2 DE · AP=1/2 × 12/5 × (8-x) = -6/5 x +48/5 (3＜x＜8). 综上所述$,y= \begin{cases} 2x (0＜x≤ 3), \\ -\dfrac{6}{5}x+\dfrac{48}{5} (3＜x＜8). \end{cases}[$图9]
(2) 画 y=2x (0＜x≤3)的图象:
列表:
| x | … | 1 | 2 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| y | … | 2 | 4 | … |
画 y=-6/5 x +48/5 (3＜x＜8)的图象:
列表:
| x | … | 3 | 8 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| y | … | 6 | 0 | … |
描点连线,得到图2.
性质:当 0＜x≤3 时,y 随 x 的增大而增大;当 3＜x＜8 时,y 随 x 的增大而减小.
(3) x 的值为 2 或 14/3. 提示:将 y=4 代入 y=2x 中,得4=2x,解得x=2. 将 y=4 代入 y=-6/5 x +48/5 中,得4=-6/5 x +48/5,解得 x=14/3. 所以当 y=4 时,x 的值为 2 或 14/3.

13. 如图,点 $B(2,0)$,过点$(0,2)$作$x$轴的平行线$l$与正比例函数$y=\dfrac{1}{2}x$的图象相交于点$A$,连接$AB$,点$P$在直线$l$上,满足$∠ OAB=∠ ABP$.则点$P$的坐标是.

13. (6,2)或(3,2) 提示:①当点 P 在点 A 的右侧时,如图 1,过点 B 作 BP//AO,所以 ∠OAB=∠ABP,设直线 BP 的函数表达式是 y=1/2 x +b (k≠0),把点 B(2,0) 的坐标代入 y=1/2 x +b (k≠0),可得 1/2 ×2 +b=0,解得 b=-1,所以直线 BP 的函数表达式是 y=1/2 x -1,当 y=2 时,可得 1/2 x -1=2,解得 x=6,所以点 P 的坐标是(6,2);②当点 P 在点 A 的左侧时,如图 2,设 BP 交 OA 于点 Q,因为 ∠OAB=∠ABP,所以 AQ=BQ,因为点 Q 在直线 y=1/2 x 上,设点 Q(m,1/2 m),当 y=1/2 x=2 时,x=4,所以点 A(4,2),由 BQ²=AQ²,得 (m-2)² + (1/2 m)² = (4-m)² + (2-1/2 m)²,解得 m=8/3,所以 1/2 m=4/3,所以点 Q(8/3,4/3),设直线 BP 的函数表达式为 y=cx +n,将点 (2,0), (8/3,4/3) 代入,得 {2c+n=0, 8/3 c +n=4/3, 解得 {c=2, n=-4, 所以直线 BP 的函数表达为 y=2x -4,当 y=2 时,2x-4=2,x=3,所以点 P(3,2). 综上所述,点 P 的坐标是(6,2)或(3,2).

14. 已知: 在平面直角坐标系中, 点 $P(x_1,$ $y_1),Q(x_2,y_2)$, 若满足 $y_1-y_2=k(x_1-$ $x_2)$, 其中 $k$ 为常数, 且 $k\ne0$, 则称点 $P$ 与点 $Q$ 互为“$k$ 阶点”.
(1) 填空: 下列互为“$-3$ 阶点”的是(填序号).
①点 $(3,2)$ 与点 $(-4,1)$
②点 $(2,-1)$ 与点 $(3,-4)$
③点 $(1.5,0.5)$ 与点 $(-1,8)$
(2) 若直线 $y=3x+c$ 与 $x$ 轴的交点与点 $(1,-2)$ 互为“4 阶点”, 求 $c$ 的值.
(3) 已知: 点 $N(0,2),P$ 为 $y=-\dfrac{1}{2}x-1$函数图象上一点, 横坐标为 $m$, 且与点$N$ 互为“$k$ 阶点”; $Q$ 为 $y=2x-3$ 函数图象上一点, 横坐标为 $n$, 且与点 $N$互为“$-\dfrac{1}{k}$ 阶点”. 当 $m≤-3$ 且 $m\ne-6$ 时, 求 $n$ 的最大值.

14. 解:(1) ②③
(2) 令 y=3x+c=0,解得 x=-c/3,所以交点坐标为(-c/3,0). 根据题意,得 0 - (-2) =4(-c/3 -1),解得 c=-9/2.
(3) 根据题意,得点 P(m,-1/2 m -1),Q(n,2n-3). 因为点 P 与点 N 互为“k 阶点”,点 Q 与点 N 互为“-1/k 阶点”,所以 -1/2 m -1 -2 =k(m-0),2n-3-2=-1/k (n-0). 整理,得 km=-1/2 m -3, -1/k n=2n-5. 两式相乘,得 km · (-1/k n) = (-1/2 m -3)(2n -5). 化简,得 n=5/12 m +5/2. 因为 5/12＞0,所以 n 随 m 的增大而增大. 因为 m≤-3 且 m≠-6,所以当 m=-3 时,n 有最大值为 5/12 × (-3) +5/2 =5/4.