1. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = 90°, AB = CB$, 三角形的顶点在相互平行的三条直线$l_1, l_2, l_3$ 上, 且 $l_1, l_2$ 之间的距离为 $1, l_2$,$l_3$ 之间的距离为 3, 则 $AC$ 的长是 （）

A.$5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{2}$
D.7

1. A 提示:如图,过点 A 作$AD⊥l_3$ 于点 D,过点 C 作$CE⊥l_3$ 于点 E,所以 $AD=3,CE=1+3=4$. 因为$∠ABC=90°$,所以$∠ABD+∠CBE=90°$. 又因为$∠BAD+∠ABD=90°$,所以$∠BAD=∠CBE$. 又因为$AB=BC,∠ADB=∠BEC$,所以$△ABD≌△BCE$,所以 $BE=AD=3$. 在 $\mathrm{Rt}△BCE$ 中,根据勾股定理,得$CB=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 易得$△ABC$ 是等腰直角三角形,所以 $AC=\sqrt{2}CB=5\sqrt{2}$.

2. 如图，$P$,$D$分别是射线$BA$,$BC$上的点，且$BD=4$,$∠ ABC=60°$. 连接$PD$,以$PD$为边,在$PD$的右侧作等边三角形$DPE$,连接$BE$,则$△ BDE$的面积为 （）

A.$4\sqrt{3}$
B.$2$
C.$4$
D.$6\sqrt{3}$

2. A 提示:如图,过点 E 作 $EF⊥BC$,垂足为F,过点 D 作 $DG⊥BA$,垂足为 G. 在 $\mathrm{Rt}△BGD$ 中,$BD=4,∠ABC=60°$,所以 $∠BDG=30°$,所以 $BG=\frac{1}{2}BD=2$,所以 $GD=\sqrt{BD^2-BG^2}=\sqrt{3}BG=2\sqrt{3}$. 因为$△PDE$ 是等边三角形,所以 $∠PDE=60°,PD=DE$,所以 $∠PDB+∠EDF=180°-∠PDE=120°$. 因为$∠ABC=60°$,所以 $∠PDB+∠BPD=180°-∠ABC=120°$,所以$∠DPG=∠EDF$. 因为$∠PGD=∠DFE=90°$,所以$△GPD≌△FDE(\mathrm{AAS})$,所以 $FE=GD=2\sqrt{3}$,所以$△BDE$ 的面积为 $\frac{1}{2}BD·FE=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.

3. 如图,$△ ABC$与$△ ACD$均为直角三角形,且$∠ ACB=∠ CAD=90°,AD=2BC=6$,$AB:BC=5:3$,$E$是$BD$的中点,则$AE$的长为（）


A.$\dfrac{3}{2}$
B.$3$
C.$\dfrac{5}{2}$
D.$5$

3. C 提示:如图,延长 AE 交 BC 的延长线于点F. 因为$∠ACB=∠CAD=90°$,所以 $AD// BF$,所以$∠DAE=∠F$. 因为 E 是 BD 的中点,所以 $DE=BE$.
在 $△DAE$ 和 $△BFE$ 中,$\begin{cases} ∠DAE=∠F, \\ ∠DEA=∠BEF, \\ DE=BE, \end{cases}$ 所以$△DAE≌△BFE(\mathrm{AAS})$,所以 $BF=DA=6,AE=FE$. 因为 $AD=2BC=6$,所以 $BC=3$,则 $CF=BF-BC=6-3=3$. 因为 $AB:BC=5:3$,所以 $AB=5$. 因为$∠ACB=90°$,所以 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,$∠ACF=180°-∠ACB=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ACF$ 中,由勾股定理,得 $AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,所以 $AE=\frac{1}{2}AF=\frac{5}{2}$.

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{ \circ }$,$BC=3$,$AC=4$,$D$是$AB$的中点,将$△ ACD$沿$CD$翻折得到$△ ECD$,连接$AE$,$BE$,则线段$BE$的长为.

4. $\dfrac{7}{5}$ 提示:如图,延长 CD 交 AE 于点 H. 在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$. 因为 D 为 AB 的中点,所以 $AD=BD=CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$. 由翻折的性质,可知 $AC=CE,AD=DE,∠ACH=∠ECH$,所以 CH 是 AE 的垂直平分线,所以$∠AHC=90°,AE=2AH$. 设 $DH=x$,则 $CH=\frac{5}{2}+x$. 在 $\mathrm{Rt}△ACH$ 中,由勾股定理,得 $AH^2=AC^2-CH^2=4^2-(\frac{5}{2}+x)^2$. 在 $\mathrm{Rt}△ADH$ 中,由勾股定理,得$AH^2=AD^2-DH^2=(\frac{5}{2})^2-x^2$,所以 $4^2-(\frac{5}{2}+x)^2=(\frac{5}{2})^2-x^2$,解得 $x=\frac{7}{10}$,所以 $AH=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{7}{10})^2}=\frac{12}{5}$,所以 $AE=2AH=\frac{24}{5}$. 因为 $AD=DE=BD$,所以$∠DAE=∠DEA,∠DEB=∠DBE$. 因为 $∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°$,所以 $∠AEB=∠DEA+∠DEB=90°$,所以 $BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{7}{5}$.

5. 如图，$AC$ 是四边形 $ABCD$ 的对角线，$AB=AC$，过点 $B$ 作 $BE// AD$ 交 $CD$ 于点$E$. 若 $AD=DE$，$∠ ABE=45°$，$CE=1$，$BE=5$，则 $AD$ 的长为.

5. $\dfrac{13}{4}$ 提示:如图,连接 AE,过点 A 分别作$AM⊥BE$ 于点 M,$AN⊥DC$ 于点 N. 因为 $BE// AD$,所以 $∠DAE=∠AEB$. 因为 $AD=DE$,所以 $∠DAE=∠DEA$,所以 $∠DEA=∠AEM$. 因为 $AM⊥BE,AN⊥DC$,所以 $∠ANE=∠AME=90°$,所以 $△ANE≌△AME(\mathrm{AAS})$,所以 $NE=ME,AN=AM$. 因为 $AB=AC$,所以 $\mathrm{Rt}△ANC≌\mathrm{Rt}△AMB(\mathrm{HL})$,所以 $NC=MB$. 设 $NE=ME=m,MB=5-m,NC=MB$,得 $m+1=5-m$,解得 $m=2$,即 $NE=ME=2$. 又因为 $∠ABE=45°$,所以 $AN=AM=MB=BE-ME=5-2=3$. 设 $DN=n$,$AD=DE=n+2$. 由勾股定理,可得 $AN^2+DN^2=AD^2$,即 $3^2+n^2=(n+2)^2$,解得 $n=\frac{5}{4}$,所以 $AD=2+\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$.

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=$$AC=6$,点$D$在线段$BC$上运动(点$D$不与点$B,C$重合),连接$AD$,作$∠ ADE=45°$,$DE$交线段$AC$于点$E$.若$△ ADE$是等腰三角形,则$DC=$.

6. $6$ 或 $3\sqrt{2}$ 提示:因为 $∠BAC=90°,AB=AC=6$,所以 $△ABC$ 为等腰直角三角形,所以 $BC=6\sqrt{2},∠B=∠C=45°$. 如图 1,$△ADE$ 是等腰三角形,且 $AD=DE$,因为 $∠B=∠ADE=45°$,所以 $∠BAD+∠ADB=180°-∠B=135°,∠CDE+∠ADB=180°-∠ADE=135°$,所以 $∠BAD=∠CDE$. 在 $△ABD$ 和 $△DCE$ 中,$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ ∠BAD=∠CDE, \\ AD=DE, \end{cases}$ 所以 $△ABD≌△DCE(\mathrm{AAS})$,所以 $DC=AB=6$. 如图 2,$△ADE$ 是等腰三角形,且 $AE=DE$,则 $∠EAD=∠ADE=45°$,所以 $∠BAD=∠CAD=45°$,因为 $AB=AC,AD$ 平分$∠BAC$,所以 $DC=DB=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{2}$. 因为点 D 不与点 B 重合,所以 $∠DAE＜90°$,所以 $180°-45°-∠AED＜90°$,所以 $∠AED＞45°$,所以 $∠AED≠∠ADE$,所以不存在$△ADE$ 是等腰三角形,且 $AD=AE$ 的情况. 综上所述,$DC$ 的长为 6 或 $3\sqrt{2}$.

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°,AD ⊥$$BC$,$BE$平分$∠ ABC$,分别交$AC$,$AD$于点$E,F$. 若$DF=\sqrt{2},AC=4+2\sqrt{2}$,则$∠ AEB$的度数为.

7. $52.5°$ 提示:如图,过点 F 作 $FG⊥AB$ 于点G,取 AC 的中点 M,连接 DM. 因为 $∠ABC=45°,AD⊥BC$,所以 $∠DAB=45°$,所以 $△AGF$ 是等腰直角三角形,所以 $AG=FG$. 因为 BE 平分 $∠ABC$,所以 $FG=DF=\sqrt{2},∠ABE=\frac{1}{2}∠ABD=22.5°$,所以 $AF=\sqrt{2}FG=2$,所以 $AD=AF+FD=2+\sqrt{2}$. 因为 M 为 AC 的中点,所以 $MA=MC$. 又因为 $∠ADC=90°$,所以 $DM=\frac{1}{2}AC=MA=2+\sqrt{2}$,所以 $AD=DM=AM$,所以 $△ADM$ 是等边三角形,所以 $∠DAM=60°$,所以 $∠BAE=∠DAB+∠DAM=105°$,所以 $∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=52.5°$.

8. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ABC=90°, AB=BC$，$∠ ABD=α$，$D$ 为边 $AC$ 上的一个动点，点$A$ 关于 $BD$ 的对称点为 $E$，连接 $CE$ 并延长，交 $BD$ 的延长线于点 $F$.
(1) 如图 1，当 $α=20°$ 时，求 $∠ BFC$ 的度数.

(2) 如图 2，当 $0°＜α＜45°$ 时，用等式表示线段 $FC,EF,BC$ 之间的数量关系，并说明理由.

8. 解:(1) 如图 1,连接 EB. 因为点 A,E关于 BD 对称,所以 $∠EBD=∠ABD=20°$,$BA=BE=BC$,所以 $∠BEC=∠BCE$. 因为$∠ABC=90°$,所以 $∠EBC=50°$,所以$∠BEC=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$. 因为$∠BEC=∠BFC+∠EBD$,所以 $∠BFC=∠BEC-∠EBD=65°-20°=45°$.

(2) $EF^2+FC^2=2BC^2$. 理由如下:
如图 2,连接 AF,BE. 因为点 E 和点 A关于 BD 对称,所以 $AF=EF,AB=BE$,$∠AFB=∠EFB,∠ABF=∠FBE=α$. 因为$∠ABC=90°$,所以 $∠EBC=90°-2α$. 因为$AB=BC,AB=BE$,所以 $BC=BE$. 所以$∠BEC=∠BCE=\frac{1}{2}(180°-90°+2α)=45°+α$. 因为 $∠BEC=∠FBE+∠BFE,∠FBE=α$,所以 $∠BFE=45°$. 所以 $∠AFE=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AC=\sqrt{2}BC$. 在$\mathrm{Rt}△AFC$ 中,由勾股定理,得 $AF^2+FC^2=AC^2$. 所以 $EF^2+FC^2=(\sqrt{2}BC)^2$. 所以 $EF^2+FC^2=2BC^2$.