9. 在等腰三角形 A B C 中,$AC=BC,∠ CAB=$$30°$,$D$ 为经过点 $A$ 的直线上的点.
(1) 求$∠ ACB$的度数.
(2) 如图 1,若$∠ ADB=60°$,试判断段$DA,DB,DC$ 之间的数量关系,并说明理由.
(3) 如图 2,若$∠ ADB=120°,BD=6,AD$平分$∠ BAC$,求 $AD$ 的长.

9. 解:(1) 因为 $AC=BC,∠CAB=30°$,所以 $∠CAB=∠CBA=30°$,所以 $∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=120°$.
(2) $DA+DB=\sqrt{3}DC$. 理由如下:
延长 DB 至点 E,使得 $BE=AD$,连接CE. 因为 $∠ACB=120°,∠ADB=60°$,所以$∠CAD+∠CBD=360°-∠ACB-∠ADB=180°$. 又因为 $∠CBE+∠CBD=180°$,所以$∠CAD=∠CBE$. 又因为 $AC=BC,AD=BE$,所以 $△DAC≌△EBC$. 所以 $CD=CE$,$∠ACD=∠BCE$,所以 $∠E=∠CDE$,$∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB$,即$∠ECD=∠ACB=120°$,所以 $∠E=∠CDE=\frac{1}{2}(180°-∠ECB)=30°$. 过点 C 作 $CF⊥EB$于点 F. 易得 $EF=DF$. 在 $\mathrm{Rt}△ECF$ 中,$∠E=30°$,所以 $CE=2CF,EF=\sqrt{3}CF=\frac{DB+BE}{2}$,所以 $\frac{\sqrt{3}}{2}CE=\frac{DB+BE}{2}$,即 $\frac{\sqrt{3}DC}{2}=\frac{DB+DA}{2}$,所以 $DA+DB=\sqrt{3}DC$.
(3) 如图,在 AD 上取一点 $D'$,使 $AD'=BD=6$. 因为 $∠ADB=∠ACB=120°$,$∠ACB+∠CAD=∠ADB+∠CBD$,所以$∠CAD=∠CBD$. 又因为 $AC=BC,AD'=BD$,所以 $△ACD'≌△BCD$,所以 $CD'=CD$,$∠ACD'=∠BCD$,所以 $∠ACD'+∠BCD'=∠BCD+∠BCD'$,即 $∠D'CD=∠ACB=120°$,所以 $∠CD'D=∠CDD'=\frac{1}{2}(180°-∠DCD')=30°$. 因为 AD 平分 $∠CAB$,即$∠CAD=\frac{1}{2}∠CAB=15°$,所以 $∠ACD'=∠CD'D-∠CAD=15°$,所以 $∠CAD=∠ACD'$,所以 $CD'=AD'=6$. 过点 C 作$CH⊥AD$ 于点 H. 因为 $CD'=CD$,所以$D'H=DH$. 因为在 $\mathrm{Rt}△HCD'$ 中,$∠CD'D=∠CDD'=30°$,所以 $CH=\frac{1}{2}CD'=3,D'H=\sqrt{3}CH=3\sqrt{3}$,所以 $AD=AD'+D'H+HD=AD'+2D'H=6+6\sqrt{3}$.

10. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,$AD ⊥ BC$于点$D$.动点$P$从点$D$出发以每秒1个单位长度的速度沿折线$DA - AB$运动,连接$PC$,点$P$不与点$D$,$A$,$B$重合.设动点$P$运动时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$.
(1) 求$AD$的长.
(2) 当点$P$在边$AB$上运动且$PC ⊥ AB$时,求$PC$的长.
(3) 当$△ APC$的面积是$△ ABC$面积的$\dfrac{1}{4}$时,求$t$的值.
(4) 当$△ APC$是等腰三角形时,直接写出$t$的值.

10. 解:(1) 因为 $AB=AC,AD⊥BC$ 于点 $D,BC=6$,所以 $BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,$∠ADC=90°,AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
(2) 因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AB·PC$,所以 $\frac{1}{2}×6×4=\frac{1}{2}×5PC$,所以 $PC=\frac{24}{5}$.
所以当点 P 在边 AB 上运动且 $PC⊥AB$ 时,$PC$ 的长为 $\frac{24}{5}$.
(3) 因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12$,所以 $S_{△APC}=\frac{1}{4}×12=3$. 当 $0＜t＜4$时,根据题意,可得 $S_{△APC}=\frac{1}{2}×(4-t)×3=3$,解得 $t=2$. 由(2),可得在 $△ABC$ 中,边 AB上的高为 $\frac{24}{5}$. 当 $4＜t＜9$ 时,根据题意,可得 $S_{△APC}=\frac{1}{2}×(t-4)×\frac{24}{5}=3$,解得 $t=\frac{21}{4}$. 综上所述,$t$ 的值为 2 或 $\frac{21}{4}$.
(4) 当 $t$ 的值为 $\frac{7}{8}$ 或 $\frac{34}{5}$. 提示:当点 P 在AD 上时,根据直角三角形的斜边大于任何一条直角边,结合垂线段最短原理,得 $AC＞AD＞AP,AC＞PC$,此时只有当 $AP=PC$ 时,$△APC$ 是等腰三角形,根据题意,得 $PD=t,AP=PC=4-t$,根据勾股定理,得$DC^2+PD^2=PC^2$,所以 $9+t^2=(4-t)^2$,解得 $t=\frac{7}{8}$;如图,当点 P 在 AB 上时,此时只有当 $AC=PC$ 时,$△APC$ 是等腰三角形,过点 C 作 $CE⊥AB$ 于点 E,根据题意,得 $PC=AC=5,EC=\frac{24}{5},AE=PE$,根据勾股定理,得 $AE^2+EC^2=AC^2$,所以 $AE=\sqrt{5^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{7}{5}$,所以 $AP=2AE=\frac{14}{5}$,所以 $AD+AP=4+\frac{14}{5}=\frac{34}{5}$,所以$t=\frac{\frac{34}{5}}{1}=\frac{34}{5}$. 综上所述,$t$ 的值为 $\frac{7}{8}$ 或 $\frac{34}{5}$.