1. 如图,一次函数 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 的图象与$x$ 轴相交于点 $A$, 与 $y$ 轴相交于点 $B$,$AO=OC,CD ⊥ x$ 轴,交 $x$ 轴于点 $C$,交直线 $AB$ 于点 $D$. 点 $P$ 在线段 $CD$ 上,将$△ ACP$ 沿着 $AP$ 翻折,当点 $C$ 的对应点 $E$落在直线 $AB$ 上时,$CP$ 的长为 （）

A.$\dfrac{8}{3}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{15}{4}$

1. A 提示:由题,易得点 A(4,0),所以 OC=AO=4,所以点 C(-4,0),AC=8. 将 $x = - 4$ 代入$y=-\dfrac{3}{4}x+3$,得 $y=6$,所以 $CD=6$,所以 $AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=10$. 设 $CP=PE=x$,则 $DP=6-x$. 由翻折,得 $AE=AC=8$,所以 $DE=AD-AE=2$. 因为$∠ AEP=∠ ACP=90°$,所以$∠ DEP=90°$,在 $\mathrm{Rt}△ DEP$ 中,$DP^2=DE^2+PE^2$,所以 $(6-x)^2=2^2+x^2$,所以 $x=\dfrac{8}{3}$,所以 $CP=\dfrac{8}{3}$.

2. 已知直线 $y=-x+4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与$y$ 轴交于点 $B$,点 $C$ 在 $x$ 轴上,且 $△ ABC$是等腰三角形,则 $C$ 的坐标不可能是（）

A.$(8,0)$
B.$(-4,0)$
C.$(4-4\sqrt{2},0)$
D.$(0,0)$

2. A 提示:根据题意,易得点 $A(4,0),B(0,4)$,所以 $AB=\sqrt{2}OA=4\sqrt{2}$. 分三种情况讨论:如图 1,当 $BA=BC$ 时,因为 $BO⊥ AC$,所以 $OC=OA=4$,所以点 $C_1$ 的坐标为 $(-4,0)$;如图 2,当 $AB=AC$ 时,因为 $AB=4\sqrt{2},OA=4$,所以 $OC_2=OA+AC_2=4+4\sqrt{2}$ 或 $OC_3=AC_3-OA=4\sqrt{2}-4$,所以点 $C_2$ 的坐标为 $(4+4\sqrt{2},0)$ 或点 $C_3$ 的坐标为 $(4-4\sqrt{2},0)$;如图 3,当 $BC=AC$ 时,点 $C_4$ 的坐标为 $(0,0)$.

3. 如图,直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A,B$,点 $C$ 在线段 $OA$ 上,线段 $OB$ 沿 $BC$ 翻折,点 $O$ 落在边 $AB$ 上的点 $D$ 处.现有以下结论:①$AB=5$;②点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{4}{3},0)$;③直线 $BC$ 的函数表达式为 $y=-2x+3$;④点 $D$ 的坐标为 $(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$.其中正确的是（）

A.①②③
B.①③
C.①④
D.①③④

3. D 提示:根据题意,易得点 $A(4,0),B(0,3)$,所以 $OA=4,OB=3$,所以 $AB=\sqrt{OB^2+OA^2}=5$,故①正确;由翻折,得 $BD=OB=3,OC=CD,∠ BDC=∠ BOC=90°$,所以 $AD=AB-BD=2$,因为 $∠ ADC=180°-∠ BDC=90°$,所以 $AC^2=AD^2+CD^2$,即 $(4-OC)^2=2^2+OC^2$,所以 $OC=\dfrac{3}{2}$,所以点 $C(\dfrac{3}{2},0)$,故②错误;设直线 $BC$ 的函数表达式为 $y=kx+3$,将点 $C(\dfrac{3}{2},0)$ 代入,得 $0=\dfrac{3}{2}k+3$,所以 $k=-2$,所以直线 $BC$ 的函数表达式为 $y=-2x+3$,故③正确;如图,过点 $D$ 作 $DH⊥ AC$ 于点 $H$,因为 $CD=OC=\dfrac{3}{2}$,所以 $AC=\dfrac{5}{2}$,因为 $S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC· DH=\dfrac{1}{2}CD· AD$,所以 $DH=\dfrac{\dfrac{3}{2}×2}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{6}{5}$,所以当 $y=\dfrac{6}{5}$ 时,$\dfrac{6}{5}=-\dfrac{3}{4}x+3$,所以 $x=\dfrac{12}{5}$,所以点 $D$ 的坐标为 $(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$,故④正确.

4. 如图，已知直线$MN\colon y=kx+2(k≠0)$交$x$轴的负半轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，$∠ BAO=30°$，$C$是$x$轴上的一点，且$OC=2$，则$∠ MBC$的度数为 （）

A.$45°$或$135°$
B.$30°$或$150°$
C.$60°$或$120°$
D.$75°$或$165°$

4. D 提示:对于函数 $y=kx+2(k≠0)$,当 $x=0$ 时,$y=2$,所以 $OB=2$,所以 $OB=OC$,所以 $∠ OBC=45°$. 因为 $∠ BAO=30°$,所以 $∠ OBM=∠ BAO+∠ AOB=30°+90°=120°$. 如图,当点 $C$ 在 $x$ 轴的正半轴上时,$∠ OBC_1=45°$,所以 $∠ MBC_1=∠ OBM-∠ OBC_1=120°-45°=75°$;当点 $C$ 在 $x$ 轴的负半轴上时,同理可得 $∠ MBC_2=∠ OBM+∠ OBC_2=165°$. 所以 $∠ MBC$ 的度数为 $75°$ 或 $165°$.

5. 在平面直角坐标系中，$T$ 是 $y$ 轴上一点，已知点 $P$(不与点 $T$ 重合)，将点 $P$ 绕点 $T$ 逆时针方向旋转 $90°$ 得到点 $Q$，则称点 $P$，$Q$ 互为“和谐点”，把其中一个点叫作另一个点的“和谐点”. 如图，已知点 $A(1,0),B$$(2,0)$，点 $P(a,b)$ 在一次函数 $y=2x+1$的图象上. 若在线段 $AB$ 上存在点 $P$ 的“和谐点”$Q$，则实数 $a$ 的取值范围是 （）

A.$-1≤ a≤ -2$
B.$-1≤ a≤ -\dfrac{2}{3}$
C.$-1＜ a＜ -\dfrac{2}{3}$
D.$-1＜ a＜ -2$

5. B 提示:如图 1,点 $B,P$ 互为“和谐点”,$△ PTB$ 为等腰直角三角形,过点 $P$ 作 $PH⊥ y$ 轴于点 $H$,设点 $P(a,2a+1)$. 因为 $TP=BT,∠ BTP=90°$. 因为 $∠ PHT=∠ TOB=∠ BTP=90°$,所以 $∠ BTO+∠ PTH=90°,∠ PTH+∠ TPH=90°$. 所以 $∠ TPH=∠ BTO$. 在 $△ BOT$ 和 $△ THP$ 中$\begin{cases}∠ BOT=∠ THP,\\∠ BTO=∠ TPH,\\BT=TP,\end{cases}$所以 $△ BOT≌△ THP(\mathrm{AAS})$. 所以 $TO=PH=-a,TH=OB=2$. 所以 $-a-(2a+1)=2$,解得 $a=-1$. 如图 2,点 $A,P$ 互为和谐点,$△ PTA$ 为等腰直角三角形,过点 $P$ 作 $PH⊥ y$ 轴于点 $H$,设点 $P(a,2a+1)$. 同理可证 $△ AOT≌△ THP(\mathrm{AAS})$,所以 $TO=PH=-a,TH=OA=1$. 所以 $-a-(2a+1)=1$,解得 $a=-\dfrac{2}{3}$. 综上所述,实数 $a$ 的取值范围是 $-1≤ a≤-\dfrac{2}{3}$.

6. 已知平面直角坐标系中有三点$A(-1,0)$，$B(5,0),C(2,1)$，若过点$C$的直线$y=$$kx-2k+1$将$△ ABC$分成面积之比为$1:5$的两部分，则$k$的值是（）

A.2
B.2或$-\dfrac{1}{2}$
C.2或$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$或$-\dfrac{1}{2}$

6. D 提示:设过点 $C$ 的直线 $y=kx-2k+1$ 与 $x$ 轴交于点 $D$. 因为点 $A(-1,0),B(5,0)$,所以 $AB=6$. 如图 1,当点 $D$ 的坐标为 $(0,0)$ 时,易得 $AO=1,OB=5$,所以 $S_{△ AOC}:S_{△ OCB}=AO:OB=1:5$,符合题意,此时直线 $y=kx-2k+1$ 过原点,所以 $0=k×0-2k+1$,解得 $k=\dfrac{1}{2}$;如图 2,当点 $D$ 的坐标为 $(4,0)$ 时,$AD=4-(-1)=5,BD=5-4=1$,所以 $S_{△ ADC}:S_{△ DCB}=AD:DB=5:1$,符合题意,此时直线 $y=kx-2k+1$ 过点 $D(4,0)$,所以 $0=4k-2k+1$,解得 $k=-\dfrac{1}{2}$. 综上所述,$k$ 的值是 $\dfrac{1}{2}$ 或 $-\dfrac{1}{2}$.

7. 如图,直线 $y=-2x+4$ 分别交 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴于点 B,A,直线 $y=kx+\dfrac{4}{3}$ 过点$E(4,4)$且与直线 AB 交于点 D,与 x 轴交于点 C.
(1) $S_{△ DBE}=$.
(2) 若平面直角坐标系中存在点 F,使得$△ COF$ 与 $△ COD$ 全等,则点 F 的坐标为.

7. (1) 4 提示:把点 $E(4,4)$ 代入 $y=kx+\dfrac{4}{3}$,得 $4k+\dfrac{4}{3}=4$,解得 $k=\dfrac{2}{3}$,所以直线的函数表达式为 $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$. 联立,得 $\begin{cases}y=-2x+4,\\y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3},\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}$ 所以点 $D(1,2)$. 对于 $y=-2x+4$,当 $y=0$ 时,$x=2$,所以点 $B(2,0)$;对于 $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$,当 $y=0$ 时,$x=-2$,所以点 $C(-2,0)$. 所以 $BC=2-(-2)=4$,所以 $S_{△ DBE}=S_{△ BEC}-S_{△ BDC}=\dfrac{1}{2}BC· y_E-\dfrac{1}{2}BC· y_D=\dfrac{1}{2}×4×(4-2)=4$.
(2) $(1,-2)$ 或 $(-3,-2)$ 或 $(-3,2)$ 提示:由(1),知点 $D(1,2),C(-2,0)$. 分情况讨论:①如图 1,$OF=OD,CF=CD$,点 $F$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称,则点 $F$ 的坐标为 $(1,-2)$;②如图 2,$OF=CD,CF=OD$,有两种情况,此时点 $F$ 的坐标为 $(-3,-2)$ 或 $(-3,2)$. 综上所述,点 $F$ 的坐标为 $(1,-2)$ 或 $(-3,-2)$ 或 $(-3,2)$.