三、解答题
9. (南京市鼓楼区期末)【新定义】
一次函数 $y = kx + b$ 与一次函数 $y = -kx - b$ 称为一对“和谐函数”(其中 $k,b$ 为常数，$k ≠ 0$). 例如：$y = 2x + 1$ 与 $y = -2x - 1$ 就是一对“和谐函数”.
【特殊化】
请以 $y = 2x + 1$ 与 $y = -2x - 1$ 这对“和谐函数”为例，完成以下两条结论：
(1) 这对“和谐函数”图象的交点坐标是.
(2) 可以发现这对“和谐函数”图象成轴对称，它们的对称轴是.
【一般化】
(3) 请尝试证明一般情况下一对“和谐函数”$y = kx + b$ 与 $y = -kx - b$(其中$k,b$ 为常数，$k ≠ 0$)的图象成轴对称的结论依然成立.

9. (1) $(-\dfrac{1}{2},0)$
(2) $x$ 轴和直线 $x=-\dfrac{1}{2}$
(3) 证明:由$\begin{cases}y=kx+b,\\y=-kx-b,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\dfrac{b}{k},\\y=0.\end{cases}$所以$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k,b$为常数,$k≠0$)的图象交于$x$轴上一点.因为函数$y=kx+b$交$y$轴于点$(0,b)$,函数$y=-kx-b$交$y$轴于点$(0,-b)$,所以一对“和谐函数”$y=kx+b$与$y=-kx-b$(其中$k,b$为常数,$k≠0$)的图象成轴对称,对称轴为$x$轴和直线$x=-\dfrac{b}{k}$.

10. 阅读理解:在平面直角坐标系中,给出如下定义:
定义一:若有三点$P,M$,$N$,且$PM=PN$,则称$P$是点$M,N$的“轴美点”.
定义二:若函数图象上存在某点$P$到$x$轴和$y$轴的距离中,其中一个距离是另一个距离的2倍,则称$P$为该函数的“倍美点”,此函数称为“倍美函数”.如点$(-2,4)$是函数$y=-\dfrac{1}{2}x+3$图象上的点,所以函数$y=-\dfrac{1}{2}x+3$是“倍美函数”,$(-2,4)$是该函数的“倍美点”.像$y=-\dfrac{1}{2}x$,$y=2x$等则是特殊的“倍美函数”.
根据以上材料,完成下列问题.
(1) 已知函数$y=x+2$与$x$轴和$y$轴分别相交于点$A,B$.若有三点$C(-3,2)$,$D(-2,2)$,$E(0,-2)$,则其中是$A,B$的“轴美点”的是(填字母).
(2) 已知两点$G(-2,0)$,$H(0,4)$.
①请说明点$G,H$的“轴美点”在函数$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$的图象上.
②在①的条件下,若“倍美函数”$y=mx-3$上存在点$P$,使得$P$既是点$G,H$的“轴美点”,又是此函数的“倍美点”,求出$m$的值.
(3) 已知“倍美函数”$y=|x-2|+n$,是否存在整数$n$,使得该函数恰好具有三个“倍美点”? 若存在,直接写出$n$的值和“倍美点”的坐标;若不存在,请说明理由.

10. 解:(1) D
(2) ①若$P$为点$G,H$的“轴美点”,则$PG=PH$.设点$P(x,y)$,则$(x+2)^2+(y-0)^2=(x-0)^2+(y-4)^2$.整理,得$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$,所以点$G,H$的“轴美点”$P$在直线$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$的图象上.
②设点$P(x,y)$.因为$P$为点$G,H$的“轴美点”,所以$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$①.因为$P$是函数$y=mx-3$的“倍美点”,所以点$P$在直线$y=mx-3$②上,且$|y|=2|x|$或$|x|=2|y|$.当$|y|=2|x|$时,与①联立,解得$\begin{cases}x=-1,\\y=2\end{cases}$或$\begin{cases}x=\dfrac{3}{5},\\y=\dfrac{6}{5}.\end{cases}$分别代入②,得$m=-5$或$m=7$.当$|x|=2|y|$时,同理可得$\begin{cases}x=\dfrac{3}{2},\\y=\dfrac{3}{4}.\end{cases}$代入②,得$m=\dfrac{5}{2}$.综上所述,$m$的值为$-5$或$7$或$\dfrac{5}{2}$.
(3) 存在.当$n=1$时,三个“倍美点”的坐标为$(2,1)$,$(1,2)$,$(-3,6)$;当$n=-2$时,三个“倍美点”的坐标为$(0,0)$,$(\dfrac{8}{3},-\dfrac{4}{3})$,$(8,4)$. 提示:“倍美函数”的“倍美点”一定在$|y|=2|x|$或$|x|=2|y|$的图象上,画出它们的图象$y_1,y_2$.画出$y_3=|x-2|$的图象,此时$y_1,y_2$与$y_3$有4个交点,如图1所示.当$n＞0$时,$y=|x-2|+n$的图象可由$y_3$向上平移$n$个单位长度得到$y_4$,$y_4$与$y_1,y_2$的交点个数刚好为3,如图2所示.可知点$C(2,n)$,代入$y=\dfrac{1}{2}x$,得$n=1$.由图2可知,$A$为$y=2x$与$y=3-x$的交点,所以点$A(1,2)$;$B$为$y=-2x$与$y=3-x$的交点,所以点$B(-3,6)$.当$n＜0$时,$y=|x-2|+n$的图象可由$y_3$向下平移$(-n)$个单位长度得到$y_5$,观察与$y_1,y_2$的交点.如图3,当$y_5$经过原点时,恰有3个交点,即$y=-(x-2)+n$过点$(0,0)$,解得$n=-2$,此时$E,F$分别为函数$y=x-4$与$y=-\dfrac{1}{2}x$,$y=\dfrac{1}{2}x$的交点,所以点$E(\dfrac{8}{3},-\dfrac{4}{3})$,$F(8,4)$.综上所述,当$n=1$时,三个“倍美点”的坐标为$(2,1)$,$(1,2)$,$(-3,6)$;当$n=-2$时,三个“倍美点”的坐标为$(0,0)$,$(\dfrac{8}{3},-\dfrac{4}{3})$,$(8,4)$.