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一、填空题
1. [重庆中考] 如图,$AB// CD$,直线 $EF$ 分别与 $AB,CD$ 交于点 $E,F$. 若$∠ 1=70°$,则$∠ 2$ 的度数是
1. [重庆中考] 如图,$AB// CD$,直线 $EF$ 分别与 $AB,CD$ 交于点 $E,F$. 若$∠ 1=70°$,则$∠ 2$ 的度数是
70°
.答案
1. 70°
解析
【分析】
我们拿到这道题后，首先梳理已知条件：AB平行于CD，∠1=70°，目标是求∠2的度数。解题的核心思路是依托平行线的性质建立两个角的联系：首先判断∠1和∠2的位置关系，二者属于同位角，结合“两直线平行，同位角相等”的平行线性质，就可以直接推导得到∠2和∠1的度数相等，代入已知的∠1的数值就能算出结果。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠2 = ∠1（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠1 = 70°，
∴ ∠2 = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质；同位角
【点评】
本题是平行线性质的基础经典考题，考点单一，主要考查学生对平行线同位角相等性质的识记与简单应用，只要能准确识别两个角的位置关系，就可以快速得出答案，属于初中几何入门级的基础题型。
【难度系数】
0.9
我们拿到这道题后，首先梳理已知条件：AB平行于CD，∠1=70°，目标是求∠2的度数。解题的核心思路是依托平行线的性质建立两个角的联系：首先判断∠1和∠2的位置关系，二者属于同位角，结合“两直线平行，同位角相等”的平行线性质，就可以直接推导得到∠2和∠1的度数相等，代入已知的∠1的数值就能算出结果。
【解析】
∵ AB//CD，
∴ ∠2 = ∠1（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠1 = 70°，
∴ ∠2 = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
平行线的性质；同位角
【点评】
本题是平行线性质的基础经典考题，考点单一，主要考查学生对平行线同位角相等性质的识记与简单应用，只要能准确识别两个角的位置关系，就可以快速得出答案，属于初中几何入门级的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. [常州中考]如图，$AB// CD,AC⊥ AD,∠ ACD=50°,$则$∠α=$
40°
.答案
2. 40°
解析
【分析】
我们可以分两步推导求解：第一步，先根据AC⊥AD的垂直条件，得到△ACD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，代入已知的∠ACD=50°，先算出∠ADC的度数；第二步，结合AB//CD的平行条件，识别出∠α和∠ADC是一组内错角，根据平行线的性质得到二者相等，即可求出∠α的数值。
【解析】
1. 由AC⊥AD，可得∠CAD=90°，即△ACD为直角三角形。
2. 根据直角三角形两锐角互余，有∠ADC + ∠ACD = 90°，代入∠ACD=50°，计算得：
∠ADC = 90° - 50° = 40°
3. 又因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，∠α与∠ADC是内错角，因此：
∠α = ∠ADC = 40°
【答案】
40°
【知识点】
直角三角形性质；平行线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考点非常常规，只需要学生准确识别直角三角形的锐角关系、平行线对应的内错角关系，不需要复杂的辅助线就能快速求解，是中考填空里的典型基础送分题，不容易出现失分点。
【难度系数】
0.9
我们可以分两步推导求解：第一步，先根据AC⊥AD的垂直条件，得到△ACD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，代入已知的∠ACD=50°，先算出∠ADC的度数；第二步，结合AB//CD的平行条件，识别出∠α和∠ADC是一组内错角，根据平行线的性质得到二者相等，即可求出∠α的数值。
【解析】
1. 由AC⊥AD，可得∠CAD=90°，即△ACD为直角三角形。
2. 根据直角三角形两锐角互余，有∠ADC + ∠ACD = 90°，代入∠ACD=50°，计算得：
∠ADC = 90° - 50° = 40°
3. 又因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，∠α与∠ADC是内错角，因此：
∠α = ∠ADC = 40°
【答案】
40°
【知识点】
直角三角形性质；平行线性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考点非常常规，只需要学生准确识别直角三角形的锐角关系、平行线对应的内错角关系，不需要复杂的辅助线就能快速求解，是中考填空里的典型基础送分题，不容易出现失分点。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 3=108°$，则$∠ 4=$
72
$°$.答案
3. 72
解析
【分析】
我们的解题思路是这样的：首先从已知条件∠1+∠2=180°入手，先借助邻补角的定义，得到和∠1互补的另一个角，通过同角的补角相等，推导出同位角（或内错角）相等，以此证明图中的两条被截直线互相平行；接着利用平行线的性质，得到∠3和∠4的互补关系，最后代入∠3的度数计算出∠4的结果。
【解析】
解：标注∠1的邻补角为∠5，
1. 由邻补角的定义可得：∠1 + ∠5 = 180°，
2. 已知∠1 + ∠2 = 180°，根据同角的补角相等，可推出∠5 = ∠2，
3. 由同位角相等，两直线平行，可得图中两条被截直线互相平行，
4. 根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠3 + ∠4 = 180°，
5. 代入∠3 = 108°，计算得∠4 = 180° - 108° = 72°。
【答案】
72
【知识点】
平行线判定，平行线性质，邻补角性质
【点评】
本题属于平行线相关的基础入门题型，核心考查平行线判定与性质的综合应用，解题逻辑清晰，先通过角的数量关系推导直线平行，再利用平行的性质得到新的角的数量关系，是初中几何阶段的经典基础习题。
【难度系数】
0.8
我们的解题思路是这样的：首先从已知条件∠1+∠2=180°入手，先借助邻补角的定义，得到和∠1互补的另一个角，通过同角的补角相等，推导出同位角（或内错角）相等，以此证明图中的两条被截直线互相平行；接着利用平行线的性质，得到∠3和∠4的互补关系，最后代入∠3的度数计算出∠4的结果。
【解析】
解：标注∠1的邻补角为∠5，
1. 由邻补角的定义可得：∠1 + ∠5 = 180°，
2. 已知∠1 + ∠2 = 180°，根据同角的补角相等，可推出∠5 = ∠2，
3. 由同位角相等，两直线平行，可得图中两条被截直线互相平行，
4. 根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠3 + ∠4 = 180°，
5. 代入∠3 = 108°，计算得∠4 = 180° - 108° = 72°。
【答案】
72
【知识点】
平行线判定，平行线性质，邻补角性质
【点评】
本题属于平行线相关的基础入门题型，核心考查平行线判定与性质的综合应用，解题逻辑清晰，先通过角的数量关系推导直线平行，再利用平行的性质得到新的角的数量关系，是初中几何阶段的经典基础习题。
【难度系数】
0.8
4. 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，$∠ B=45°$，$∠ E=60°$，有下列结论:① $∠ 1=∠ 3$；② $∠ CAD+∠ 2=180°$；③ 如果$∠ 2=30°$，则有$AC// DE$；④ 如果$∠ 2=45°$，则有$BC// AD$. 其中,正确的是
①②③④
(填序号).答案
4. ①②③④
解析
【分析】
我们可以结合题目给出的两个直角条件，利用余角的性质、角的和差关系，以及平行线的判定定理，逐个对4个结论进行验证：首先从∠BAC=∠DAE=90°的已知条件出发，先推导基础的角的等量关系，再分别代入给定的∠2的度数，通过得到的内错角相等的特征判断两直线是否平行，最终确定所有正确结论。
【解析】
已知∠BAC=∠DAE=90°，逐一验证结论：
1. 验证①：
因为∠1 + ∠2 = ∠BAC = 90°，∠3 + ∠2 = ∠DAE = 90°，根据同角的余角相等，可直接推出∠1=∠3，故①正确。
2. 验证②：
将∠CAD拆分为∠1+∠2+∠3，因此∠CAD + ∠2 = (∠1+∠2) + (∠3+∠2) = 90° + 90° = 180°，故②正确。
3. 验证③：
若∠2=30°，则∠1 = 90° - ∠2 = 60°，已知∠E=60°，可得∠1=∠E，这是一组内错角相等，因此AC//DE，故③正确。
4. 验证④：
若∠2=45°，则∠3 = 90° - ∠2 = 45°，由∠B=45°、∠BAC=90°可得∠C=45°，因此∠3=∠C，这是一组内错角相等，因此BC//AD，故④正确。
综上4个结论全部正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
同角的余角相等，平行线判定，三角尺角度特征
【点评】
本题是直角三角尺叠放的经典基础题型，综合考察余角性质和平行线判定的应用，解题时逐个推导每个结论即可，注意区分不同位置的内错角对应关系，避免漏判结论。
【难度系数】
0.7
我们可以结合题目给出的两个直角条件，利用余角的性质、角的和差关系，以及平行线的判定定理，逐个对4个结论进行验证：首先从∠BAC=∠DAE=90°的已知条件出发，先推导基础的角的等量关系，再分别代入给定的∠2的度数，通过得到的内错角相等的特征判断两直线是否平行，最终确定所有正确结论。
【解析】
已知∠BAC=∠DAE=90°，逐一验证结论：
1. 验证①：
因为∠1 + ∠2 = ∠BAC = 90°，∠3 + ∠2 = ∠DAE = 90°，根据同角的余角相等，可直接推出∠1=∠3，故①正确。
2. 验证②：
将∠CAD拆分为∠1+∠2+∠3，因此∠CAD + ∠2 = (∠1+∠2) + (∠3+∠2) = 90° + 90° = 180°，故②正确。
3. 验证③：
若∠2=30°，则∠1 = 90° - ∠2 = 60°，已知∠E=60°，可得∠1=∠E，这是一组内错角相等，因此AC//DE，故③正确。
4. 验证④：
若∠2=45°，则∠3 = 90° - ∠2 = 45°，由∠B=45°、∠BAC=90°可得∠C=45°，因此∠3=∠C，这是一组内错角相等，因此BC//AD，故④正确。
综上4个结论全部正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
同角的余角相等，平行线判定，三角尺角度特征
【点评】
本题是直角三角尺叠放的经典基础题型，综合考察余角性质和平行线判定的应用，解题时逐个推导每个结论即可，注意区分不同位置的内错角对应关系，避免漏判结论。
【难度系数】
0.7
二、解答题
5. 如图,$AB// DG,∠ 1+∠ 2=180^{\circ }.$
（1）判断$ AD $与$ EF $的位置关系,并说明理由；
（2）若$ DG $是$∠ ADC$的平分线,$∠ 2=142^{\circ }$,求$∠ B$的度数.
5. 如图,$AB// DG,∠ 1+∠ 2=180^{\circ }.$
（1）判断$ AD $与$ EF $的位置关系,并说明理由；
（2）若$ DG $是$∠ ADC$的平分线,$∠ 2=142^{\circ }$,求$∠ B$的度数.
答案
5. (1) $AD// EF$ 理由:因为 $AB// DG$,所以$∠ BAD=∠ 1$. 因为 $∠ 1+∠ 2=180°$,所以 $∠ BAD+∠ 2=180°$. 所以 $AD// EF$.
(2) 因为 $∠ 2=142°$, $∠ 1+∠ 2=180°$,所以 $∠ 1=180°-∠ 2=180°-142°=38°$. 因为 $DG$ 是 $∠ ADC$的平分线,所以 $∠ CDG=∠ 1=38°$. 因为 $AB// DG$,所以 $∠ B=∠ CDG=38°$
(2) 因为 $∠ 2=142°$, $∠ 1+∠ 2=180°$,所以 $∠ 1=180°-∠ 2=180°-142°=38°$. 因为 $DG$ 是 $∠ ADC$的平分线,所以 $∠ CDG=∠ 1=38°$. 因为 $AB// DG$,所以 $∠ B=∠ CDG=38°$
解析
【分析】
首先解决第一问，要判断AD和EF的位置关系，先从已知条件AB//DG入手，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可以得到∠BAD=∠1，再结合题目给出的∠1+∠2=180°，通过等量代换得到∠BAD+∠2=180°，这组角是AD、EF被AB所截形成的同旁内角，同旁内角互补即可判定AD和EF平行。
第二问求∠B的度数，先利用∠1+∠2=180°和已知的∠2=142°算出∠1的度数，再根据DG是∠ADC的角平分线，得到∠CDG和∠1相等，最后结合AB//DG，利用两直线平行同位角相等的性质，即可得到∠B的度数。
【解析】
（1）$AD// EF$，理由如下：
$\because AB// DG$
$\therefore ∠ BAD = ∠ 1$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
$\therefore ∠ BAD + ∠ 2 = 180°$（等量代换）
$\therefore AD// EF$（同旁内角互补，两直线平行）
（2）计算∠B的度数：
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，$∠ 2=142°$
$\therefore ∠ 1 = 180° - ∠ 2 = 180° - 142° = 38°$
$\because DG$是$∠ ADC$的平分线
$\therefore ∠ CDG = ∠ 1 = 38°$（角平分线的定义）
又$\because AB// DG$
$\therefore ∠ B = ∠ CDG = 38°$（两直线平行，同位角相等）
【答案】
(1) $AD// EF$，理由见上述解析；(2) $∠ B=38°$
【知识点】
平行线判定，平行线性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，先通过已知平行线的性质完成角的等量转化，再利用同旁内角互补判定两直线平行，第二问结合角平分线的定义，再次利用平行线的性质完成角度计算，解题时要注意区分平行线的判定和性质的使用逻辑，避免条件和结论混淆，是七年级几何入门阶段的经典常考题型。
【难度系数】
0.8
首先解决第一问，要判断AD和EF的位置关系，先从已知条件AB//DG入手，根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，可以得到∠BAD=∠1，再结合题目给出的∠1+∠2=180°，通过等量代换得到∠BAD+∠2=180°，这组角是AD、EF被AB所截形成的同旁内角，同旁内角互补即可判定AD和EF平行。
第二问求∠B的度数，先利用∠1+∠2=180°和已知的∠2=142°算出∠1的度数，再根据DG是∠ADC的角平分线，得到∠CDG和∠1相等，最后结合AB//DG，利用两直线平行同位角相等的性质，即可得到∠B的度数。
【解析】
（1）$AD// EF$，理由如下：
$\because AB// DG$
$\therefore ∠ BAD = ∠ 1$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
$\therefore ∠ BAD + ∠ 2 = 180°$（等量代换）
$\therefore AD// EF$（同旁内角互补，两直线平行）
（2）计算∠B的度数：
$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，$∠ 2=142°$
$\therefore ∠ 1 = 180° - ∠ 2 = 180° - 142° = 38°$
$\because DG$是$∠ ADC$的平分线
$\therefore ∠ CDG = ∠ 1 = 38°$（角平分线的定义）
又$\because AB// DG$
$\therefore ∠ B = ∠ CDG = 38°$（两直线平行，同位角相等）
【答案】
(1) $AD// EF$，理由见上述解析；(2) $∠ B=38°$
【知识点】
平行线判定，平行线性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线相关的基础综合题，先通过已知平行线的性质完成角的等量转化，再利用同旁内角互补判定两直线平行，第二问结合角平分线的定义，再次利用平行线的性质完成角度计算，解题时要注意区分平行线的判定和性质的使用逻辑，避免条件和结论混淆，是七年级几何入门阶段的经典常考题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图,$∠ BCD$的平分线交$∠ ABC$的平分线于点$M$,交$AB$于点$N$,若$∠ CMB=90°$.
(1) 求证:$AB// CD$;
(2) 若$∠ 1=35°$,求$∠ DCB$的度数.
(1) 求证:$AB// CD$;
(2) 若$∠ 1=35°$,求$∠ DCB$的度数.
答案
6. (1) 因为 $∠ CMB=90°$,所以三角形 $BCM$ 是直角三角形. 所以 $∠ 2+∠ 1=90°$. 因为 $∠ BCD$ 的平分线交 $∠ ABC$ 的平分线于点 $M$,所以$∠ BCD=2∠ 2$, $∠ ABC=2∠ 1$. 所以 $∠ BCD+∠ ABC=2(∠ 2+∠ 1)=180°$. 所以 $AB// CD$
(2) 因为 $∠ 1=35°$, $∠ 2+∠ 1=90°$,所以 $∠ 2=90°-∠ 1=55°$. 所以 $∠ DCB=2∠ 2=110°$
(2) 因为 $∠ 1=35°$, $∠ 2+∠ 1=90°$,所以 $∠ 2=90°-∠ 1=55°$. 所以 $∠ DCB=2∠ 2=110°$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明AB平行CD，我们可以从平行线的判定定理出发，观察图形发现AB、CD被直线BC所截，对应的同旁内角是∠ABC和∠BCD，只要证明这两个角的和为180°，就能推出两直线平行。已知∠CMB=90°，在△CMB中利用三角形内角和可得∠1+∠2=90°，再结合角平分线的定义，把∠BCD和∠ABC分别表示为2∠2和2∠1，就能得到两个同旁内角的和为180°，完成证明。第二问已知∠1的度数，先利用直角三角形两锐角互余算出∠2的度数，再根据CM是∠BCD的平分线，即可算出∠DCB的大小。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CMB=90°，
∴ 在△BCM中，∠1 + ∠2 = 180° - ∠CMB = 90°，
∵ CM平分∠BCD，BM平分∠ABC，
∴ ∠BCD = 2∠2，∠ABC = 2∠1，
∴ ∠BCD + ∠ABC = 2∠2 + 2∠1 = 2(∠1 + ∠2) = 2×90° = 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CD。
(2) 解：
∵ ∠1=35°，∠1 + ∠2 = 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 35° = 55°，
又
∵ CM平分∠BCD，
∴ ∠DCB = 2∠2 = 2×55° = 110°。
【答案】
(1) 可证得AB//CD；(2) ∠DCB的度数为110°
【知识点】
平行线的判定，角平分线定义，三角形内角和
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，结合角平分线的性质、直角三角形锐角互余的知识点进行考查，解题时可从待证结论反向推导所需条件，将已知角的数量关系转化为同旁内角的互补关系，思路清晰，适合巩固平行线判定的相关基础。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问要证明AB平行CD，我们可以从平行线的判定定理出发，观察图形发现AB、CD被直线BC所截，对应的同旁内角是∠ABC和∠BCD，只要证明这两个角的和为180°，就能推出两直线平行。已知∠CMB=90°，在△CMB中利用三角形内角和可得∠1+∠2=90°，再结合角平分线的定义，把∠BCD和∠ABC分别表示为2∠2和2∠1，就能得到两个同旁内角的和为180°，完成证明。第二问已知∠1的度数，先利用直角三角形两锐角互余算出∠2的度数，再根据CM是∠BCD的平分线，即可算出∠DCB的大小。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠CMB=90°，
∴ 在△BCM中，∠1 + ∠2 = 180° - ∠CMB = 90°，
∵ CM平分∠BCD，BM平分∠ABC，
∴ ∠BCD = 2∠2，∠ABC = 2∠1，
∴ ∠BCD + ∠ABC = 2∠2 + 2∠1 = 2(∠1 + ∠2) = 2×90° = 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CD。
(2) 解：
∵ ∠1=35°，∠1 + ∠2 = 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 35° = 55°，
又
∵ CM平分∠BCD，
∴ ∠DCB = 2∠2 = 2×55° = 110°。
【答案】
(1) 可证得AB//CD；(2) ∠DCB的度数为110°
【知识点】
平行线的判定，角平分线定义，三角形内角和
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，结合角平分线的性质、直角三角形锐角互余的知识点进行考查，解题时可从待证结论反向推导所需条件，将已知角的数量关系转化为同旁内角的互补关系，思路清晰，适合巩固平行线判定的相关基础。
【难度系数】
0.8
