一、填空题
1. [广西中考]已知$∠ 1$与$∠ 2$为对顶角，$∠ 1=35^{\circ }$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_^{\circ }$.

1. 35

【分析】
这道题的解题思路很清晰，首先抓取题目给出的核心条件：∠1和∠2是对顶角，我们只需要回忆对顶角的核心性质，互为对顶角的两个角大小相等，已知∠1的度数，直接利用对顶角相等的性质，就可以直接推导出∠2的度数，不需要额外复杂计算。
【解析】
解：根据对顶角的性质：互为对顶角的两个角大小相等，
已知∠1与∠2为对顶角，因此可得∠2 = ∠1，
代入已知条件∠1=35°，即可算出∠2=35°。
【答案】
35
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题属于几何入门的基础中考考题，直接考察对顶角的基础性质，没有设置复杂变形和陷阱，学生只要牢记对顶角相等的基础概念就可以直接得到正确结果，属于巩固基础知识点的送分题型。
【难度系数】
0.9

2. 如图是一把剪刀,若$∠ AOB+∠ COD=60°$,则$∠ AOC=$.

2. $150°$

【分析】
首先观察图形，识别出∠AOB和∠COD是两条直线相交形成的对顶角，解题思路分两步走：第一步，根据对顶角相等的性质，结合已知的两角和为60°，先求出∠AOB的度数；第二步，观察到∠AOC和∠AOB共同组成平角，二者互为邻补角，和为180°，用180°减去已经求出的∠AOB的度数，即可得到∠AOC的结果。
【解析】
解：
∵ ∠AOB与∠COD是对顶角，
∴ ∠AOB = ∠COD（对顶角相等），
又
∵ ∠AOB + ∠COD = 60°，
∴ 2∠AOB = 60°，解得∠AOB = 30°。
∵ 点B、O、C在同一直线上，∠AOC与∠AOB互为邻补角，
∴ ∠AOC + ∠AOB = 180°，
∴ ∠AOC = 180° - ∠AOB = 180° - 30° = 150°。
【答案】
$150°$
【知识点】
对顶角相等，邻补角互补
【点评】
本题结合生活中常见的剪刀模型考查相交线的基础性质，解题的核心是准确识别对顶角和邻补角，利用对应的角度性质逐步推导，属于相交线章节的基础应用型题目，帮助学生巩固对顶角、邻补角的角度关系。
【难度系数】
0.9

3. 如图,某地进行城市规划,在一条新修公路旁有一超市,现要在公路上建一个汽车站,为了使超市距离汽车站最近,请你在公路上选一点来建汽车站,应建在点处,依据是.

3. C 垂线段最短

【分析】
首先明确题目要求：要让超市O到公路上的汽车站的距离最近，汽车站的位置在公路这条直线上。我们需要回忆点到直线的连线的长度规律：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段的长度是最短的。观察题图，点O到公路AD的连线里，只有OC和公路AD是垂直的，C是垂足，所以这个点就是我们要选的汽车站的位置，对应的依据就是垂线段最短的性质。
【解析】
要使超市O到汽车站的距离最短，且汽车站位于公路（直线AD）上：
根据几何性质，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
图中OC⊥AD，OC是点O到直线AD的垂线段，长度最短，因此汽车站应建在点C处，对应的依据是垂线段最短。
【答案】
C；垂线段最短
【知识点】
垂线段最短；点到直线的距离
【点评】
本题是垂线段性质的实际应用题，核心是区分“两点之间线段最短”和“垂线段最短”的适用场景，本题属于点到直线的最短距离场景，通过生活实例帮助学生加深对垂线段性质的理解，体会几何知识在实际规划中的应用价值。
【难度系数】
0.9

4. 如图,直线 $AB$ 与直线 $CD$ 相交于点 $O,OE ⊥ OF$,且 $OA$ 平分 $∠ COE$,若 $∠ BOF=25°$,则 $∠ DOE$ 的度数为$°$.

4. 50

【分析】
我们可以按照从已知条件逐步推导未知角的思路来解题：首先根据OE⊥OF的垂直条件，得到∠EOF=90°，再结合AB是直线、平角为180°的性质，代入已知的∠BOF=25°，就能算出∠AOE的度数；接着利用OA平分∠COE的角平分线性质，得到∠COE的大小是∠AOE的2倍；最后因为CD是直线，∠COE和∠DOE共同组成180°的平角，做减法即可求出∠DOE的度数。
【解析】
1. 由OE⊥OF，根据垂直的定义可得：$∠ EOF = 90°$
2. 因为直线AB构成平角，即$∠ AOB = 180°$，因此有：
$∠ AOE + ∠ EOF + ∠ BOF = 180°$
代入已知$∠ BOF=25°$、$∠ EOF=90°$，计算得：
$∠ AOE = 180° - 90° - 25° = 65°$
3. 已知OA平分$∠ COE$，根据角平分线的性质：
$∠ COE = 2∠ AOE = 2×65° = 130°$
4. 因为直线CD构成平角，即$∠ COD = 180°$，因此：
$∠ DOE = 180° - ∠ COE = 180° - 130° = 50°$
【答案】
50
【知识点】
垂直的定义，角平分线性质，平角定义
【点评】
本题属于相交线中的基础角度计算题，解题逻辑链条清晰，只需要依次结合垂直、平角、角平分线的性质逐步推导即可，核心是理清各个角之间的和差关系，适合巩固相交线相关的基础概念。
【难度系数】
0.8

二、解答题
5. 如图,直线 A B, C D 相交于点 $O$, $O E$ 平分 $∠ A O C$, $O F$ 平分 $∠ A O D$.
(1) $OE$ 与 $OF$ 有何位置关系? 请说明理由.
(2) 若 $∠ 1=32°$, 求 $∠ BOD$ 的度数.

5. (1) $OE ⊥ OF$ 理由: 因为 $OE$ 平分$∠ AOC$,所以 $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC$. 因为 $OF$ 平分$∠ AOD$,所以 $∠ AOF = \frac{1}{2}∠ AOD$. 因为 $∠ AOC + ∠ AOD = 180°$, 所以 $∠ EOF = ∠ AOE + ∠ AOF = 90°$. 所以 $OE ⊥ OF$.
(2) 因为 $∠ 1 = 32°$, $OE$ 平分 $∠ AOC$, 所以$∠ AOC=2∠ 1=64°$. 所以 $∠ BOD = ∠ AOC = 64°$

【分析】
我们分两小问梳理解题思路：
1. 第一问判断OE和OF的位置关系，两条过同一点的直线位置关系只有相交或垂直，我们从已知的角平分线条件入手推导：已知OE平分∠AOC，OF平分∠AOD，可将∠EOF拆分为∠AOE+∠AOF，代入角平分线性质后，可得∠EOF等于$\frac{1}{2}(∠AOC+∠AOD)$；而∠AOC和∠AOD是直线CD上的邻补角，二者和为180°，代入后可算出∠EOF=90°，由此就能判定OE和OF互相垂直。
2. 第二问已知∠1=32°，首先根据OE是∠AOC的角平分线，可得∠AOC=2∠1，算出∠AOC的度数后，利用直线AB、CD相交形成的对顶角相等的性质，∠BOD和∠AOC是对顶角，二者度数相等，即可直接求出∠BOD的度数。
【解析】
(1) $OE ⊥ OF$，理由如下：
∵ $OE$ 平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵ $OF$ 平分$∠ AOD$，
∴ $∠ AOF = \frac{1}{2}∠ AOD$，
又
∵ $∠ AOC + ∠ AOD = 180°$（邻补角和为$180°$），
∴ $∠ EOF = ∠ AOE + ∠ AOF = \frac{1}{2}(∠AOC+∠AOD) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
∴ $OE ⊥ OF$。
(2) 计算$∠BOD$的度数：
∵ $∠ 1 = 32°$，$OE$ 平分 $∠ AOC$，
∴ $∠ AOC=2∠ 1=2×32°=64°$，
又
∵ 直线AB、CD相交于点O，$∠BOD$与$∠AOC$是对顶角，
∴ $∠ BOD = ∠ AOC = 64°$。
【答案】
(1) $OE ⊥ OF$，理由: 因为 $OE$ 平分$∠ AOC$,所以 $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC$. 因为 $OF$ 平分$∠ AOD$,所以 $∠ AOF = \frac{1}{2}∠ AOD$. 因为 $∠ AOC + ∠ AOD = 180°$, 所以 $∠ EOF = ∠ AOE + ∠ AOF = 90°$. 所以 $OE ⊥ OF$.(2) $∠ BOD = 64°$
【知识点】
角平分线定义，邻补角性质，对顶角相等
【点评】
本题是相交线章节的基础题型，综合考察相交线相关的角度性质，第一问用到整体代入的思想推导直角，不需要单独计算两个小角的度数，简化了运算；第二问直接利用角平分线和对顶角的性质即可求解，能够帮助学生巩固相交线角度计算的基本逻辑，明确邻补角、对顶角的特征。
【难度系数】
0.8

6. 如图,直线 A B, C D 相交于点 $O, O D$ 平分 $∠ B O E$.
(1) 若 $∠ B O E=84°$, 求 $∠ A O C$ 的度数;
(2) 若 $∠ B O E: ∠ A O E=4: 5$, 求 $∠ A O C$ 的度数.

6. (1) 因为 $OD$ 平分 $∠ BOE$, 所以 $∠ BOD = ∠ EOD = \frac{1}{2}∠ BOE$. 又因为 $∠ BOE = 84°$, 所以$∠ BOD = \frac{1}{2} × 84° = 42°$. 因为 $∠ AOC = ∠ BOD$, 所以 $∠ AOC = 42°$
(2) 因为 $∠ BOE : ∠ AOE = 4:5$, $∠ BOE + ∠ AOE = 180°$, 所以 $∠ BOE = 180° × \frac{4}{9} = 80°$. 因为 $OD$ 平分 $∠ BOE$, 所以$∠ BOD = ∠ EOD = \frac{1}{2}∠ BOE = \frac{1}{2} × 80° = 40°$. 又因为 $∠ AOC = ∠ BOD$, 所以 $∠ AOC = 40°$

【分析】
我们可以分逻辑逐步推导解题：
1. 第一小问：已知OD平分∠BOE，首先根据角平分线的定义，直接算出∠BOE的一半也就是∠BOD的度数；再观察图形，直线AB和CD相交于O，∠AOC和∠BOD是对顶角，利用对顶角相等的性质，就能直接得到∠AOC的度数。
2. 第二小问：已知∠BOE和∠AOE的比值，这两个角共同组成平角∠AOB，和为180°，先按比例分配算出∠BOE的度数，之后沿用第一小问的逻辑，先通过角平分线算出∠BOD，再利用对顶角相等得到∠AOC的度数。
【解析】
(1) 因为OD平分∠BOE，根据角平分线的定义可得：
$∠ BOD = ∠ EOD = \frac{1}{2}∠ BOE$
代入$∠ BOE=84°$，计算得：
$∠ BOD = \frac{1}{2} × 84° = 42°$
又因为直线AB、CD相交于点O，$∠ AOC$和$∠ BOD$是对顶角，根据对顶角相等的性质：
$∠ AOC = ∠ BOD = 42°$
(2) 由图可知，$∠ BOE + ∠ AOE = 180°$，已知$∠ BOE: ∠ AOE = 4:5$，按比例分配计算得：
$∠ BOE = 180° × \frac{4}{4+5} = 80°$
因为OD平分∠BOE，所以：
$∠ BOD = \frac{1}{2}∠ BOE = \frac{1}{2} × 80° = 40°$
又因为$∠ AOC$和$∠ BOD$是对顶角，对顶角相等，因此：
$∠ AOC = ∠ BOD = 40°$
【答案】
(1) $∠ AOC=42°$；(2) $∠ AOC=40°$
【知识点】
角平分线定义，对顶角相等，邻补角性质
【点评】
本题是相交线章节的基础题型，综合考察了角平分线、对顶角、邻补角的核心概念，解题的核心思路是通过中间角∠BOD建立已知条件和所求角的联系，推导过程简单直接，适合巩固相交线相关基础性质，帮助学生熟悉角度代换的基本逻辑。
【难度系数】
0.7