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一、填空题
1. 如图,点 $O$ 在直线 $AB$ 上, $OD$ 是 $∠ BOC$ 的平分线, 若 $∠ AOC=140°$, 则 $∠ BOD$ 的度数为
1. 如图,点 $O$ 在直线 $AB$ 上, $OD$ 是 $∠ BOC$ 的平分线, 若 $∠ AOC=140°$, 则 $∠ BOD$ 的度数为
20°
.答案
1. 20°
解析
【分析】
这道题的解题逻辑非常清晰，首先第一步要抓住“点O在直线AB上”的隐含条件：直线上的点和直线两端构成的角是180°的平角，由此可以通过已知的∠AOC的度数，算出它的邻补角∠BOC的度数；第二步再结合角平分线的定义，角平分线会把对应的角分成两个完全相等的部分，取∠BOC的一半就能直接得到∠BOD的度数，两步推导即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义），
将∠AOC=140°代入计算：
∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 140° = 40°，
又
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平角定义，角平分线性质
【点评】
本题是几何角度计算的入门基础题，核心考点就是引导学生主动挖掘题目里的隐含条件，不需要复杂的变形，结合邻补角和角平分线的基础概念就能顺利求解，适合刚接触几何角度运算的学生巩固基础概念。
【难度系数】
0.9
这道题的解题逻辑非常清晰，首先第一步要抓住“点O在直线AB上”的隐含条件：直线上的点和直线两端构成的角是180°的平角，由此可以通过已知的∠AOC的度数，算出它的邻补角∠BOC的度数；第二步再结合角平分线的定义，角平分线会把对应的角分成两个完全相等的部分，取∠BOC的一半就能直接得到∠BOD的度数，两步推导即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义），
将∠AOC=140°代入计算：
∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 140° = 40°，
又
∵ OD是∠BOC的平分线，
∴ ∠BOD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平角定义，角平分线性质
【点评】
本题是几何角度计算的入门基础题，核心考点就是引导学生主动挖掘题目里的隐含条件，不需要复杂的变形，结合邻补角和角平分线的基础概念就能顺利求解，适合刚接触几何角度运算的学生巩固基础概念。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$∠ BOD=118°$，$∠ COD$是直角，$OC$平分$∠ AOB$，则$∠ AOB$的度数为
56°
.答案
2. 56°
解析
【分析】
我们可以按照从已知条件推导未知的思路来解题：第一步，先观察已知的两个角∠BOD和直角∠COD，二者的差刚好是∠COB的度数，先计算出∠COB的大小；第二步，结合OC平分∠AOB的条件，根据角平分线的定义，∠AOB的度数是∠COB的2倍，代入已经算出的∠COB的数值，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ ∠COD是直角，
∴ ∠COD = 90°，
又
∵ ∠BOD = 118°，
∴ ∠COB = ∠BOD - ∠COD = 118° - 90° = 28°，
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOB = 2∠COB = 2×28° = 56°。
【答案】
56°
【知识点】
角的和差运算，角平分线定义
【点评】
本题是几何入门的基础角度计算题，解题核心是理清图中几个角的数量关系，先通过已知角的差求出公共部分∠COB，再利用角平分线的倍分关系得到所求角度，难度较低，适合刚接触角相关计算的学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
我们可以按照从已知条件推导未知的思路来解题：第一步，先观察已知的两个角∠BOD和直角∠COD，二者的差刚好是∠COB的度数，先计算出∠COB的大小；第二步，结合OC平分∠AOB的条件，根据角平分线的定义，∠AOB的度数是∠COB的2倍，代入已经算出的∠COB的数值，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ ∠COD是直角，
∴ ∠COD = 90°，
又
∵ ∠BOD = 118°，
∴ ∠COB = ∠BOD - ∠COD = 118° - 90° = 28°，
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠AOB = 2∠COB = 2×28° = 56°。
【答案】
56°
【知识点】
角的和差运算，角平分线定义
【点评】
本题是几何入门的基础角度计算题，解题核心是理清图中几个角的数量关系，先通过已知角的差求出公共部分∠COB，再利用角平分线的倍分关系得到所求角度，难度较低，适合刚接触角相关计算的学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
3. 如图,$∠ AOB$ 是平角,$∠ AOC=30°$,$∠ BOD=60°$,$OM,ON$ 分别是$∠ AOC,∠ BOD$的平分线,$∠ MON$ 等于
135°
.答案
3. 135°
解析
【分析】
我们可以按照以下思路推导：
1. 首先明确已知条件：∠AOB是平角，因此它的度数为180°，同时已知∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是两个角的角平分线。
2. 根据角平分线的性质，先分别计算出∠AOM（∠AOC的一半）和∠BON（∠BOD的一半）的度数。
3. 观察图形可知，∠AOM、∠MON、∠BON三个角相加刚好组成完整的平角∠AOB，因此用∠AOB的总度数减去∠AOM和∠BON的度数，就能直接得到∠MON的结果，无需额外计算中间角，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ ∠AOB是平角
∴ ∠AOB = 180°
∵ OM是∠AOC的平分线，∠AOC=30°
∴ ∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$ × 30° = 15°
∵ ON是∠BOD的平分线，∠BOD=60°
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$ × 60° = 30°
∴ ∠MON = ∠AOB - ∠AOM - ∠BON = 180° - 15° - 30° = 135°
【答案】135°
【知识点】平角定义，角平分线性质，角的和差运算
【点评】本题属于基础角度计算题型，无需添加辅助线，只要理清各角之间的位置关系，结合平角和角平分线的性质，利用角的和差关系即可快速算出结果，是巩固几何基础概念的典型习题。
【难度系数】0.7
我们可以按照以下思路推导：
1. 首先明确已知条件：∠AOB是平角，因此它的度数为180°，同时已知∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是两个角的角平分线。
2. 根据角平分线的性质，先分别计算出∠AOM（∠AOC的一半）和∠BON（∠BOD的一半）的度数。
3. 观察图形可知，∠AOM、∠MON、∠BON三个角相加刚好组成完整的平角∠AOB，因此用∠AOB的总度数减去∠AOM和∠BON的度数，就能直接得到∠MON的结果，无需额外计算中间角，简化计算过程。
【解析】
解：
∵ ∠AOB是平角
∴ ∠AOB = 180°
∵ OM是∠AOC的平分线，∠AOC=30°
∴ ∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$ × 30° = 15°
∵ ON是∠BOD的平分线，∠BOD=60°
∴ ∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$ × 60° = 30°
∴ ∠MON = ∠AOB - ∠AOM - ∠BON = 180° - 15° - 30° = 135°
【答案】135°
【知识点】平角定义，角平分线性质，角的和差运算
【点评】本题属于基础角度计算题型，无需添加辅助线，只要理清各角之间的位置关系，结合平角和角平分线的性质，利用角的和差关系即可快速算出结果，是巩固几何基础概念的典型习题。
【难度系数】0.7
4. [南京中考] 如图,点 A, O, B 在同一条直线上, OD 是 $∠ AOC$ 的平分线, OE 是 $∠ BOC$ 的平分线.若 $∠ AOE=162°$, 则 $∠ BOD=$
108°
.答案
4. 108°
解析
【分析】
我们可以从已知条件逐步推导：首先点A、O、B共线，说明∠AOB是180°的平角，已知∠AOE=162°，可以先算出∠BOE的度数；接着利用OE是∠BOC的角平分线，得到∠BOC是∠BOE的2倍，进而求出∠AOC的度数；再根据OD是∠AOC的角平分线，算出∠AOD的度数，最后用平角∠AOB减去∠AOD，就能得到所求的∠BOD的大小。整个过程只需要结合平角定义和角平分线的倍数关系，理清角的和差即可求解。
【解析】
解：
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ ∠AOB = 180°，
∵ ∠AOE = 162°，
∴ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 180° - 162° = 18°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠BOC = 2∠BOE = 2×18° = 36°，
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 36° = 144°，
∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×144° = 72°，
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 72° = 108°。
【答案】
108°
【知识点】
平角定义，角平分线性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，核心考查平角和角平分线的基本性质，解题时只需要梳理清楚各个角之间的和差、倍数关系即可逐步推导，也可以通过“邻补角的两条角平分线互相垂直”的结论快速验证∠DOE=90°，辅助核对结果，是初中几何角度计算的常见入门题型。
【难度系数】
0.7
我们可以从已知条件逐步推导：首先点A、O、B共线，说明∠AOB是180°的平角，已知∠AOE=162°，可以先算出∠BOE的度数；接着利用OE是∠BOC的角平分线，得到∠BOC是∠BOE的2倍，进而求出∠AOC的度数；再根据OD是∠AOC的角平分线，算出∠AOD的度数，最后用平角∠AOB减去∠AOD，就能得到所求的∠BOD的大小。整个过程只需要结合平角定义和角平分线的倍数关系，理清角的和差即可求解。
【解析】
解：
∵ 点A，O，B在同一条直线上，
∴ ∠AOB = 180°，
∵ ∠AOE = 162°，
∴ ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 180° - 162° = 18°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠BOC = 2∠BOE = 2×18° = 36°，
∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 36° = 144°，
∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×144° = 72°，
∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 72° = 108°。
【答案】
108°
【知识点】
平角定义，角平分线性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，核心考查平角和角平分线的基本性质，解题时只需要梳理清楚各个角之间的和差、倍数关系即可逐步推导，也可以通过“邻补角的两条角平分线互相垂直”的结论快速验证∠DOE=90°，辅助核对结果，是初中几何角度计算的常见入门题型。
【难度系数】
0.7
5. 易错题 已知两个角分别为$35°$和$145°$，且这两个角有一条公共边，则这两个角的平分线所成的角为
90°或55°
。答案
5. 90°或 55°
易错分析
5. 未考虑两个角另一边在公共边两侧和同侧两种位置关系进行分类讨论而漏解.
易错分析
5. 未考虑两个角另一边在公共边两侧和同侧两种位置关系进行分类讨论而漏解.
解析
【分析】
这道题没有明确给出两个角的相对位置，仅说明二者有一条公共边，因此需要分两类情况讨论：第一类是两个角不重合于公共边的另外两条边，分别分布在公共边的两侧；第二类是两个角的另外两条边都处于公共边的同一侧。先根据角平分线的定义，分别计算出两个角被平分线分出的半角大小，再结合两类位置的几何关系，分别计算两条平分线的夹角，即可得到全部结果，避免漏解。
【解析】
步骤1：计算两个角各自的半角大小
已知两个角分别为35°和145°，根据角平分线的定义：
35°的角被平分线分成两个相等的角，每个角的度数为 $ 35° ÷ 2 = 17.5° $
145°的角被平分线分成两个相等的角，每个角的度数为 $ 145° ÷ 2 = 72.5° $
步骤2：第一种情况计算（两角非公共边在公共边两侧）
此时两个角拼接在公共边的两侧，总角度和为 $ 35° + 145° = 180° $，两条角平分线分别位于公共边的两侧，因此二者的夹角为两个半角相加：
$ 17.5° + 72.5° = 90° $
步骤3：第二种情况计算（两角非公共边在公共边同侧）
此时35°的角完全落在145°的角内部，二者共享同一条公共边，两条角平分线都在公共边的同一侧，因此二者的夹角为大角的半角减去小角的半角：
$ 72.5° - 17.5° = 55° $
综上，两个角的平分线所成的角为90°或55°。
【答案】
90°或 55°
【知识点】
角平分线定义，角的位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于高频易错题，多数同学会默认两个角分布在公共边两侧，仅算出90°这一个结果，漏掉同侧场景下55°的解。遇到未明确标注位置的几何计算问题时，要主动梳理所有可能的位置场景，通过分类讨论覆盖全部情况，避免漏解失分。
【难度系数】
0.4
这道题没有明确给出两个角的相对位置，仅说明二者有一条公共边，因此需要分两类情况讨论：第一类是两个角不重合于公共边的另外两条边，分别分布在公共边的两侧；第二类是两个角的另外两条边都处于公共边的同一侧。先根据角平分线的定义，分别计算出两个角被平分线分出的半角大小，再结合两类位置的几何关系，分别计算两条平分线的夹角，即可得到全部结果，避免漏解。
【解析】
步骤1：计算两个角各自的半角大小
已知两个角分别为35°和145°，根据角平分线的定义：
35°的角被平分线分成两个相等的角，每个角的度数为 $ 35° ÷ 2 = 17.5° $
145°的角被平分线分成两个相等的角，每个角的度数为 $ 145° ÷ 2 = 72.5° $
步骤2：第一种情况计算（两角非公共边在公共边两侧）
此时两个角拼接在公共边的两侧，总角度和为 $ 35° + 145° = 180° $，两条角平分线分别位于公共边的两侧，因此二者的夹角为两个半角相加：
$ 17.5° + 72.5° = 90° $
步骤3：第二种情况计算（两角非公共边在公共边同侧）
此时35°的角完全落在145°的角内部，二者共享同一条公共边，两条角平分线都在公共边的同一侧，因此二者的夹角为大角的半角减去小角的半角：
$ 72.5° - 17.5° = 55° $
综上，两个角的平分线所成的角为90°或55°。
【答案】
90°或 55°
【知识点】
角平分线定义，角的位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于高频易错题，多数同学会默认两个角分布在公共边两侧，仅算出90°这一个结果，漏掉同侧场景下55°的解。遇到未明确标注位置的几何计算问题时，要主动梳理所有可能的位置场景，通过分类讨论覆盖全部情况，避免漏解失分。
【难度系数】
0.4
二、解答题
6. 如图，$∠ BOC=2∠ AOB$，$OD$ 平分$∠ AOC$，$∠ BOD=14^{\circ }$，求$∠ AOB$的度数.
6. 如图，$∠ BOC=2∠ AOB$，$OD$ 平分$∠ AOC$，$∠ BOD=14^{\circ }$，求$∠ AOB$的度数.
答案
6. 设$∠ AOB=x$,则$∠ BOC=2x$,$∠ AOC=3x$.
因为 $OD$ 平分$∠ AOC$,所以 $∠ AOD = \frac{3}{2}x$. 所以$∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB= \frac{3}{2}x -x = 14°$. 所以 $x=28°$,即$∠ AOB=28°$
因为 $OD$ 平分$∠ AOC$,所以 $∠ AOD = \frac{3}{2}x$. 所以$∠ BOD=∠ AOD-∠ AOB= \frac{3}{2}x -x = 14°$. 所以 $x=28°$,即$∠ AOB=28°$
解析
【分析】
我们拿到这道题，先梳理已知条件：存在角的倍数关系∠BOC=2∠AOB，OD是∠AOC的角平分线，还给出了∠BOD=14°，要求∠AOB的度数。优先选择方程思想求解会非常简便：第一步直接设所求的∠AOB为未知数x，根据倍数关系就能把∠BOC表示为2x，进而推出大角∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x；第二步根据角平分线的定义，得到平分后的∠AOD是∠AOC的一半，也就是$\frac{3}{2}x$；第三步结合图形的角的和差关系，∠BOD=∠AOD-∠AOB，代入用x表示的各个角就能列出方程，解出x就得到∠AOB的度数。
【解析】
解：设$∠ AOB = x$，
由$∠ BOC=2∠ AOB$，可得$∠ BOC=2x$，
因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = x+2x=3x$。
∵ OD平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{3}{2}x$。
结合图形的角的和差关系，$∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB$，代入$∠ BOD=14°$可得：
$\frac{3}{2}x - x = 14°$，
化简得$\frac{1}{2}x=14°$，
解得$x=28°$。
【答案】$∠ AOB$的度数为$28°$
【知识点】角的和差运算，角平分线定义，一元一次方程应用
【点评】本题是初中几何角度计算的基础题型，通过设未知数将所有相关角用同一个变量表示，利用角的和差关系建立方程求解，是这类带倍数关系的角度问题的通用简便解法，解题时要先结合图形确认角的包含关系，避免出现角的加减逻辑错误。
【难度系数】0.7
我们拿到这道题，先梳理已知条件：存在角的倍数关系∠BOC=2∠AOB，OD是∠AOC的角平分线，还给出了∠BOD=14°，要求∠AOB的度数。优先选择方程思想求解会非常简便：第一步直接设所求的∠AOB为未知数x，根据倍数关系就能把∠BOC表示为2x，进而推出大角∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x；第二步根据角平分线的定义，得到平分后的∠AOD是∠AOC的一半，也就是$\frac{3}{2}x$；第三步结合图形的角的和差关系，∠BOD=∠AOD-∠AOB，代入用x表示的各个角就能列出方程，解出x就得到∠AOB的度数。
【解析】
解：设$∠ AOB = x$，
由$∠ BOC=2∠ AOB$，可得$∠ BOC=2x$，
因此$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = x+2x=3x$。
∵ OD平分$∠ AOC$，
∴ $∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{3}{2}x$。
结合图形的角的和差关系，$∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB$，代入$∠ BOD=14°$可得：
$\frac{3}{2}x - x = 14°$，
化简得$\frac{1}{2}x=14°$，
解得$x=28°$。
【答案】$∠ AOB$的度数为$28°$
【知识点】角的和差运算，角平分线定义，一元一次方程应用
【点评】本题是初中几何角度计算的基础题型，通过设未知数将所有相关角用同一个变量表示，利用角的和差关系建立方程求解，是这类带倍数关系的角度问题的通用简便解法，解题时要先结合图形确认角的包含关系，避免出现角的加减逻辑错误。
【难度系数】0.7
7. 如图,$∠ AOB=90°$,$∠ EOF=60°$,$OE$平分$∠ AOB$,$OF$平分$∠ BOC$,求$∠ COB$和$∠ AOC$的度数.
答案
7. 因为 $∠ AOB = 90°$, $OE$ 平分 $∠ AOB$, 所以$∠ BOE=45°$. 又因为$∠ EOF=60°$,所以$∠ FOB=60°-45° = 15°$. 因为 $OF$ 平分 $∠ BOC$, 所以$∠ COB=2× 15° = 30°$. 所以 $∠ AOC = ∠ BOC + ∠ AOB = 30°+90° = 120°$
解析
【分析】
我们可以按照已知条件逐步推导：第一步，已知∠AOB=90°，且OE平分∠AOB，根据角平分线的定义，先算出∠BOE的度数；第二步，已知∠EOF=60°，用∠EOF减去已经求出的∠BOE，就能得到∠BOF的度数；第三步，因为OF平分∠BOC，再次利用角平分线的定义，可得∠COB是∠BOF的2倍，算出∠COB；第四步，∠AOC是∠AOB和∠COB的和，代入数值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 已知∠AOB=90°，OE平分∠AOB，根据角平分线的定义：
$$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90° = 45°$2. 已知∠EOF=60°，因此： $$∠ FOB = ∠ EOF - ∠ BOE = 60° - 45° = 15°$
3. 因为OF平分∠BOC，根据角平分线的定义：
$$∠ COB = 2∠ FOB = 2×15° = 30°$4. 计算∠AOC： $$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ COB = 90° + 30° = 120°$
【答案】
∠COB的度数为30°，∠AOC的度数为120°
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考察角平分线的性质应用，解题的关键是理清图中各个角的包含关系，通过已知角逐步推导未知角，难度较低，适合巩固角相关的基础概念。
【难度系数】
0.7
我们可以按照已知条件逐步推导：第一步，已知∠AOB=90°，且OE平分∠AOB，根据角平分线的定义，先算出∠BOE的度数；第二步，已知∠EOF=60°，用∠EOF减去已经求出的∠BOE，就能得到∠BOF的度数；第三步，因为OF平分∠BOC，再次利用角平分线的定义，可得∠COB是∠BOF的2倍，算出∠COB；第四步，∠AOC是∠AOB和∠COB的和，代入数值计算即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 已知∠AOB=90°，OE平分∠AOB，根据角平分线的定义：
$$∠ BOE = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90° = 45°$2. 已知∠EOF=60°，因此： $$∠ FOB = ∠ EOF - ∠ BOE = 60° - 45° = 15°$
3. 因为OF平分∠BOC，根据角平分线的定义：
$$∠ COB = 2∠ FOB = 2×15° = 30°$4. 计算∠AOC： $$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ COB = 90° + 30° = 120°$
【答案】
∠COB的度数为30°，∠AOC的度数为120°
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考察角平分线的性质应用，解题的关键是理清图中各个角的包含关系，通过已知角逐步推导未知角，难度较低，适合巩固角相关的基础概念。
【难度系数】
0.7
