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8.已知方程组$\begin{cases}2a - 3b = 4.7, \\3a + 5b = 19.4\end{cases}$的解是$\begin{cases}a = 4.3, \\b = 1.3,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}2(x - 1) - 3(y + 1) = 4.7, \\3(x - 1) + 5(y + 1) = 19.4\end{cases}$的解为 ______ .
答案
8.$\begin{cases} x=5.3, \\ y=0.3 \end{cases}$
解析
【分析】
观察两个方程组的结构可发现，二者未知数的系数、等号右侧的常数项完全一致，仅第一个方程组的未知数a对应第二个方程组中的(x-1)，未知数b对应第二个方程组中的(y+1)。因此可利用整体代换思想，直接将已知的a、b的值代入对应关系，即可快速求出x、y的值，无需重新求解二元一次方程组。若未观察到结构特征，也可将第二个方程组展开整理为标准二元一次方程组再求解，不过计算量稍大。
【解析】
对比两个方程组的结构，令$x-1=a$，$y+1=b$，则第二个方程组与已知的$\begin{cases}2a - 3b = 4.7, \\3a + 5b = 19.4\end{cases}$完全相同。
已知该方程组的解为$\begin{cases}a = 4.3, \\b = 1.3,\end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases}x-1=4.3 \\ y+1=1.3\end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
$x=4.3+1=5.3$，$y=1.3-1=0.3$
因此所求方程组的解为$\begin{cases}x=5.3 \\ y=0.3\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=5.3, \\ y=0.3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解、整体代入法、一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的核心是发现两个方程组的结构相似性，利用整体代换思想可大幅简化计算，避免了繁琐的消元求解过程，能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
观察两个方程组的结构可发现，二者未知数的系数、等号右侧的常数项完全一致，仅第一个方程组的未知数a对应第二个方程组中的(x-1)，未知数b对应第二个方程组中的(y+1)。因此可利用整体代换思想，直接将已知的a、b的值代入对应关系，即可快速求出x、y的值，无需重新求解二元一次方程组。若未观察到结构特征，也可将第二个方程组展开整理为标准二元一次方程组再求解，不过计算量稍大。
【解析】
对比两个方程组的结构，令$x-1=a$，$y+1=b$，则第二个方程组与已知的$\begin{cases}2a - 3b = 4.7, \\3a + 5b = 19.4\end{cases}$完全相同。
已知该方程组的解为$\begin{cases}a = 4.3, \\b = 1.3,\end{cases}$，因此可得：
$\begin{cases}x-1=4.3 \\ y+1=1.3\end{cases}$
分别解两个一元一次方程：
$x=4.3+1=5.3$，$y=1.3-1=0.3$
因此所求方程组的解为$\begin{cases}x=5.3 \\ y=0.3\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=5.3, \\ y=0.3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解、整体代入法、一元一次方程的解法
【点评】
本题解题的核心是发现两个方程组的结构相似性，利用整体代换思想可大幅简化计算，避免了繁琐的消元求解过程，能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
9.《孙子算经》中有一道题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺。问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则列出的方程组为。
答案
9.$\begin{cases} y-x=4.5, \\ x-\dfrac{1}{2}y=1 \end{cases}$
解析
【分析】
本题是根据实际情境列二元一次方程组的题目，解题核心是从题干中提取两个独立的等量关系。已知已设木长为x尺，绳长为y尺，首先分析第一种测量情况：整根绳子量长木后剩余4.5尺，说明绳长比木长多4.5尺，可得到第一个等量关系；再分析第二种测量情况：绳子对折后长度为原来的$\frac{1}{2}$，此时量长木，长木还剩余1尺，说明木长比对折后的绳长多1尺，得到第二个等量关系，将两个等量关系转化为含x、y的方程联立即可。
【解析】
1. 由“用绳子量长木，绳子剩余4.5尺”可知，绳长减去木长等于剩余的4.5尺，列方程得：$y - x = 4.5$；
2. 由“绳子对折后量长木，长木剩余1尺”可知，对折后绳长为$\frac{1}{2}y$，木长减去对折后的绳长等于剩余的1尺，列方程得：$x - \frac{1}{2}y = 1$；
3. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y-x=4.5, \\ x-\dfrac{1}{2}y=1 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题源自古代经典数学问题，解题关键是准确理解两种测量方式的含义，梳理出对应的等量关系，只要读懂题意就不易出错。
【难度系数】
0.8
本题是根据实际情境列二元一次方程组的题目，解题核心是从题干中提取两个独立的等量关系。已知已设木长为x尺，绳长为y尺，首先分析第一种测量情况：整根绳子量长木后剩余4.5尺，说明绳长比木长多4.5尺，可得到第一个等量关系；再分析第二种测量情况：绳子对折后长度为原来的$\frac{1}{2}$，此时量长木，长木还剩余1尺，说明木长比对折后的绳长多1尺，得到第二个等量关系，将两个等量关系转化为含x、y的方程联立即可。
【解析】
1. 由“用绳子量长木，绳子剩余4.5尺”可知，绳长减去木长等于剩余的4.5尺，列方程得：$y - x = 4.5$；
2. 由“绳子对折后量长木，长木剩余1尺”可知，对折后绳长为$\frac{1}{2}y$，木长减去对折后的绳长等于剩余的1尺，列方程得：$x - \frac{1}{2}y = 1$；
3. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y-x=4.5, \\ x-\dfrac{1}{2}y=1 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题源自古代经典数学问题，解题关键是准确理解两种测量方式的含义，梳理出对应的等量关系，只要读懂题意就不易出错。
【难度系数】
0.8
10.已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x + 2y = 2a + 1, \\2x + 3y = a - 1\end{cases}$的解满足$x - y = 2$，则$a$的值是 ______ 。
答案
10.0
解析
【分析】
观察给定的二元一次方程组中两个方程x、y的系数特征：第一个方程x的系数比第二个大1，y的系数比第二个小1，因此直接将两个方程作差，就能得到x-y关于a的表达式，再结合已知条件x-y=2，可直接建立关于a的一元一次方程求解，无需单独解出x、y的值，解题更简便。
【解析】
首先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}3x + 2y = 2a + 1 \quad \mathrm{①} \\2x + 3y = a - 1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①式减去②式，根据等式的性质两边分别相减：
左边：$(3x + 2y) - (2x + 3y) = x - y$
右边：$(2a + 1) - (a - 1) = a + 2$
因此可得关系式：$x - y = a + 2$
已知$x - y = 2$，将其代入上式得：
$a + 2 = 2$
解得$a = 0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组的解、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组的灵活运用，解题核心是观察方程组系数的特点，通过作差直接得到目标式x-y的表达式，用整体代入的方法简化计算，避免了常规消元的繁琐步骤，能有效锻炼对代数式结构的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
观察给定的二元一次方程组中两个方程x、y的系数特征：第一个方程x的系数比第二个大1，y的系数比第二个小1，因此直接将两个方程作差，就能得到x-y关于a的表达式，再结合已知条件x-y=2，可直接建立关于a的一元一次方程求解，无需单独解出x、y的值，解题更简便。
【解析】
首先给方程组的两个方程编号：
$\begin{cases}3x + 2y = 2a + 1 \quad \mathrm{①} \\2x + 3y = a - 1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①式减去②式，根据等式的性质两边分别相减：
左边：$(3x + 2y) - (2x + 3y) = x - y$
右边：$(2a + 1) - (a - 1) = a + 2$
因此可得关系式：$x - y = a + 2$
已知$x - y = 2$，将其代入上式得：
$a + 2 = 2$
解得$a = 0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程组的解、整体代入法、等式的性质
【点评】
本题侧重考查二元一次方程组的灵活运用，解题核心是观察方程组系数的特点，通过作差直接得到目标式x-y的表达式，用整体代入的方法简化计算，避免了常规消元的繁琐步骤，能有效锻炼对代数式结构的观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.解方程组:(1)$\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 4y = 25; \end{cases}$ (2)$\begin{cases} 3x + 2y = 6, \\ 5x - 2y = 2. \end{cases}$
11.解方程组:(1)$\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 3x + 4y = 25; \end{cases}$ (2)$\begin{cases} 3x + 2y = 6, \\ 5x - 2y = 2. \end{cases}$
答案
11.解:(1)$\begin{cases} x=7, \\ y=1. \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=1, \\ y=1.5. \end{cases}$
解析
【分析】
本题考查二元一次方程组的求解，核心思路是消元，将二元方程转化为一元一次方程求解。（1）观察方程组：第一个方程x的系数为1，可选择代入消元法，或把第一个方程乘2使y的系数变为-4，与第二个方程的4y相加实现加减消元；（2）观察方程组：两个方程中y的系数分别为2和-2，互为相反数，直接将两个方程相加即可消去y，计算更简便。
【解析】
(1) 给方程组编号：$\begin{cases} x - 2y = 5 \quad ① \\ 3x + 4y = 25 \quad ② \end{cases}$
将①×2，得 $2x - 4y = 10 \quad ③$
用②+③，得 $3x+4y + 2x - 4y = 25 + 10$，化简得 $5x = 35$，解得 $x = 7$
把$x=7$代入①，得 $7 - 2y = 5$，解得 $y = 1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases}$
(2) 给方程组编号：$\begin{cases} 3x + 2y = 6 \quad ① \\ 5x - 2y = 2 \quad ② \end{cases}$
将①+②，得 $3x+2y +5x -2y =6+2$，化简得 $8x = 8$，解得 $x =1$
把$x=1$代入①，得 $3×1 + 2y =6$，解得 $y=1.5$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1.5 \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=7, \\ y=1; \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=1, \\ y=1.5. \end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组解法 2.加减消元法 3.代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题，解题的关键是根据方程组中未知数的系数特征灵活选择消元方法，能有效提升计算效率，该类题型是解方程的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
本题考查二元一次方程组的求解，核心思路是消元，将二元方程转化为一元一次方程求解。（1）观察方程组：第一个方程x的系数为1，可选择代入消元法，或把第一个方程乘2使y的系数变为-4，与第二个方程的4y相加实现加减消元；（2）观察方程组：两个方程中y的系数分别为2和-2，互为相反数，直接将两个方程相加即可消去y，计算更简便。
【解析】
(1) 给方程组编号：$\begin{cases} x - 2y = 5 \quad ① \\ 3x + 4y = 25 \quad ② \end{cases}$
将①×2，得 $2x - 4y = 10 \quad ③$
用②+③，得 $3x+4y + 2x - 4y = 25 + 10$，化简得 $5x = 35$，解得 $x = 7$
把$x=7$代入①，得 $7 - 2y = 5$，解得 $y = 1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=1 \end{cases}$
(2) 给方程组编号：$\begin{cases} 3x + 2y = 6 \quad ① \\ 5x - 2y = 2 \quad ② \end{cases}$
将①+②，得 $3x+2y +5x -2y =6+2$，化简得 $8x = 8$，解得 $x =1$
把$x=1$代入①，得 $3×1 + 2y =6$，解得 $y=1.5$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=1.5 \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=7, \\ y=1; \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=1, \\ y=1.5. \end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组解法 2.加减消元法 3.代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题，解题的关键是根据方程组中未知数的系数特征灵活选择消元方法，能有效提升计算效率，该类题型是解方程的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
12.某两位数，十位数字与个位数字之和为11，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大45.
(1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；
(2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组(无需求解)，并检验(1)中求得的结果是否满足所列的方程组.
(1)试通过列一元一次方程的方法求出原来的两位数；
(2)若设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，依据题意列出关于x，y的方程组(无需求解)，并检验(1)中求得的结果是否满足所列的方程组.
答案
12.解:(1)设原来的两位数的个位数字为 x,则十位数字为(11-x),依题意,得
$10(11-x)+x+45=10x+(11-x)$,解得 $x=8$,
$\therefore 11-x=3$,$\therefore$ 原来的两位数为 38.
(2)依题意,得 $\begin{cases} x+y=11, \\ 10y+x+45=10x+y. \end{cases}$
由(1)知 $x=8,y=3$,
$\because \begin{cases} 8+3=11, \\ 10×3+8+45=10×8+3, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} x=8, \\ y=3 \end{cases}$是方程组的解,
$\therefore$(1)中求得的结果满足所列的方程组.
$10(11-x)+x+45=10x+(11-x)$,解得 $x=8$,
$\therefore 11-x=3$,$\therefore$ 原来的两位数为 38.
(2)依题意,得 $\begin{cases} x+y=11, \\ 10y+x+45=10x+y. \end{cases}$
由(1)知 $x=8,y=3$,
$\because \begin{cases} 8+3=11, \\ 10×3+8+45=10×8+3, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} x=8, \\ y=3 \end{cases}$是方程组的解,
$\therefore$(1)中求得的结果满足所列的方程组.
解析
【分析】
(1) 解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。已知两个数位的数字之和为11，可先设个位数字为x，那么十位数字可表示为(11-x)，再根据“新两位数比原两位数大45”的等量关系（原两位数+45=新两位数）列一元一次方程，求解得到数位数字后就能得出原两位数。
(2) 用两个未知数分别表示个位、十位数字时，直接根据“数位数字之和为11”“新数比原数大45”两个等量关系列二元一次方程组即可；检验时将(1)的结果代入两个方程，若左右两边均相等则说明结果满足方程组。
【解析】
(1) 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(11-x)。
原两位数为$10(11-x)+x$，互换位置后的新两位数为$10x+(11-x)$。
依题意列方程：
$10(11-x)+x+45=10x+(11-x)$
展开整理得：$155-9x=9x+11$
移项合并得：$18x=144$
解得 $x=8$
则十位数字为$11-8=3$，即原来的两位数为38。
(2) 依题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=11 \\ 10y+x+45=10x+y \end{cases}$
检验：将(1)中得到的$x=8$，$y=3$代入方程组：
代入第一个方程：左边$=8+3=11$，右边$=11$，左边=右边；
代入第二个方程：左边$=10×3+8+45=83$，右边$=10×8+3=83$，左边=右边。
因此$\begin{cases} x=8 \\ y=3 \end{cases}$是方程组的解，即(1)的结果满足所列方程组。
【答案】
(1) 原来的两位数是38；
(2) 所列方程组为$\begin{cases} x+y=11 \\ 10y+x+45=10x+y \end{cases}$，(1)中求得的结果满足该方程组。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组列法，两位数的表示
【点评】
本题是数字类方程应用的基础题型，解题核心是掌握两位数的代数表示方法，能根据题干给出的等量关系建立方程模型，检验方程组解的方法为代入验证方程左右两边是否相等，侧重考查方程应用的基础能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。已知两个数位的数字之和为11，可先设个位数字为x，那么十位数字可表示为(11-x)，再根据“新两位数比原两位数大45”的等量关系（原两位数+45=新两位数）列一元一次方程，求解得到数位数字后就能得出原两位数。
(2) 用两个未知数分别表示个位、十位数字时，直接根据“数位数字之和为11”“新数比原数大45”两个等量关系列二元一次方程组即可；检验时将(1)的结果代入两个方程，若左右两边均相等则说明结果满足方程组。
【解析】
(1) 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(11-x)。
原两位数为$10(11-x)+x$，互换位置后的新两位数为$10x+(11-x)$。
依题意列方程：
$10(11-x)+x+45=10x+(11-x)$
展开整理得：$155-9x=9x+11$
移项合并得：$18x=144$
解得 $x=8$
则十位数字为$11-8=3$，即原来的两位数为38。
(2) 依题意列方程组：
$\begin{cases} x+y=11 \\ 10y+x+45=10x+y \end{cases}$
检验：将(1)中得到的$x=8$，$y=3$代入方程组：
代入第一个方程：左边$=8+3=11$，右边$=11$，左边=右边；
代入第二个方程：左边$=10×3+8+45=83$，右边$=10×8+3=83$，左边=右边。
因此$\begin{cases} x=8 \\ y=3 \end{cases}$是方程组的解，即(1)的结果满足所列方程组。
【答案】
(1) 原来的两位数是38；
(2) 所列方程组为$\begin{cases} x+y=11 \\ 10y+x+45=10x+y \end{cases}$，(1)中求得的结果满足该方程组。
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程组列法，两位数的表示
【点评】
本题是数字类方程应用的基础题型，解题核心是掌握两位数的代数表示方法，能根据题干给出的等量关系建立方程模型，检验方程组解的方法为代入验证方程左右两边是否相等，侧重考查方程应用的基础能力。
【难度系数】
0.7
