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13.阅读下列解方程组的方法,然后解答下列问题.
解方程组$\begin{cases}14x + 15y = 16,①\\17x + 18y = 19,②\end{cases}$由于$x,y$的系数及常数项的数值较大,如果用常规的代入消元法、加减消元法来解,那么计算量很大,且易出现运算错误,而采用下面的解法会比较简单.
②$-$①,得$3x + 3y = 3$,所以$x + y = 1$,③
③$×14$,得$14x + 14y = 14$,④
①$-$④,得$y = 2$,从而得$x = -1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
(1)请你运用上述方法解方程组$\begin{cases}2015x + 1999y = 2031,\\2024x + 2008y = 2040;\end{cases}$
(2)解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2,\end{cases}m≠ n.$
解方程组$\begin{cases}14x + 15y = 16,①\\17x + 18y = 19,②\end{cases}$由于$x,y$的系数及常数项的数值较大,如果用常规的代入消元法、加减消元法来解,那么计算量很大,且易出现运算错误,而采用下面的解法会比较简单.
②$-$①,得$3x + 3y = 3$,所以$x + y = 1$,③
③$×14$,得$14x + 14y = 14$,④
①$-$④,得$y = 2$,从而得$x = -1$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
(1)请你运用上述方法解方程组$\begin{cases}2015x + 1999y = 2031,\\2024x + 2008y = 2040;\end{cases}$
(2)解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = m + 2,\\nx + (n + 1)y = n + 2,\end{cases}m≠ n.$
答案
13.解:(1)$\begin{cases} 2\ 015x+1\ 999y=2\ 031,① \\ 2\ 024x+2\ 008y=2\ 040,② \end{cases}$
②$-$①,得 $9x+9y=9$,
所以 $x+y=1$,③
③$×1\ 999-$①,得 $-16x=-32$,解得 $x=2$.
把 $x=2$ 代入③,解得 $y=-1$.
故原方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} mx+(m+1)y=m+2,① \\ nx+(n+1)y=n+2,② \end{cases}$
②$-$①,得$(n-m)x+(n-m)y=n-m$,
两边除以 $n-m$,得 $x+y=1$,③
③$× m-$①,得 $y=2$,
把 $y=2$ 代入③,解得 $x=-1$.
故原方程组的解为 $\begin{cases} x=-1, \\ y=2. \end{cases}$
②$-$①,得 $9x+9y=9$,
所以 $x+y=1$,③
③$×1\ 999-$①,得 $-16x=-32$,解得 $x=2$.
把 $x=2$ 代入③,解得 $y=-1$.
故原方程组的解为 $\begin{cases} x=2, \\ y=-1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} mx+(m+1)y=m+2,① \\ nx+(n+1)y=n+2,② \end{cases}$
②$-$①,得$(n-m)x+(n-m)y=n-m$,
两边除以 $n-m$,得 $x+y=1$,③
③$× m-$①,得 $y=2$,
把 $y=2$ 代入③,解得 $x=-1$.
故原方程组的解为 $\begin{cases} x=-1, \\ y=2. \end{cases}$
解析
【分析】
本题给出了系数存在特殊规律的二元一次方程组的简便解法，解题思路如下：首先观察方程组结构，两个方程中x的系数差、y的系数差、常数项的差均相等，因此第一步先将两个方程作差，提取公因式后可得到$x+y=1$的简化方程，再将这个简化方程与原方程组中任意一个方程结合，用加减消元法即可快速求解，避免了大数字或字母系数运算的复杂过程。第二问中$m≠n$的条件，是两边可以除以$(n-m)$的前提，解题时需注意运用该条件。
【解析】
(1) 先给方程组标记序号：
$\begin{cases} 2015x+1999y=2031,① \\ 2024x+2008y=2040,② \end{cases}$
用②$-$①，可得：$(2024-2015)x + (2008-1999)y = 2040-2031$，即$9x+9y=9$，两边同时除以9得$x+y=1$，③
将③两边同时乘1999，得$1999x + 1999y = 1999$，④
用①$-$④，得：$2015x+1999y-(1999x + 1999y)=2031-1999$，整理得$16x=32$，解得$x=2$。
把$x=2$代入③，得$2+y=1$，解得$y=-1$。
(2) 给字母系数方程组标记序号：
$\begin{cases} mx+(m+1)y=m+2,① \\ nx+(n+1)y=n+2,② \end{cases}$（$m≠n$）
用②$-$①，可得：$(n-m)x + [(n+1)-(m+1)]y = (n+2)-(m+2)$，整理得$(n-m)x + (n-m)y = n-m$。
因为$m≠n$，所以$n-m≠0$，两边同时除以$(n-m)$，得$x+y=1$，③
将③两边同时乘$m$，得$mx + my = m$，④
用①$-$④，得：$mx+(m+1)y-(mx + my) = m+2-m$，整理得$y=2$。
把$y=2$代入③，得$x+2=1$，解得$x=-1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，加减消元法，整体思想
【点评】
本题考查特殊结构二元一次方程组的简便运算，解题核心是先观察方程组的系数规律，通过作差得到简化的二元一次方程，再结合消元法求解，有效降低了大系数、字母系数方程组的运算难度，对学生的观察能力和灵活运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
本题给出了系数存在特殊规律的二元一次方程组的简便解法，解题思路如下：首先观察方程组结构，两个方程中x的系数差、y的系数差、常数项的差均相等，因此第一步先将两个方程作差，提取公因式后可得到$x+y=1$的简化方程，再将这个简化方程与原方程组中任意一个方程结合，用加减消元法即可快速求解，避免了大数字或字母系数运算的复杂过程。第二问中$m≠n$的条件，是两边可以除以$(n-m)$的前提，解题时需注意运用该条件。
【解析】
(1) 先给方程组标记序号：
$\begin{cases} 2015x+1999y=2031,① \\ 2024x+2008y=2040,② \end{cases}$
用②$-$①，可得：$(2024-2015)x + (2008-1999)y = 2040-2031$，即$9x+9y=9$，两边同时除以9得$x+y=1$，③
将③两边同时乘1999，得$1999x + 1999y = 1999$，④
用①$-$④，得：$2015x+1999y-(1999x + 1999y)=2031-1999$，整理得$16x=32$，解得$x=2$。
把$x=2$代入③，得$2+y=1$，解得$y=-1$。
(2) 给字母系数方程组标记序号：
$\begin{cases} mx+(m+1)y=m+2,① \\ nx+(n+1)y=n+2,② \end{cases}$（$m≠n$）
用②$-$①，可得：$(n-m)x + [(n+1)-(m+1)]y = (n+2)-(m+2)$，整理得$(n-m)x + (n-m)y = n-m$。
因为$m≠n$，所以$n-m≠0$，两边同时除以$(n-m)$，得$x+y=1$，③
将③两边同时乘$m$，得$mx + my = m$，④
用①$-$④，得：$mx+(m+1)y-(mx + my) = m+2-m$，整理得$y=2$。
把$y=2$代入③，得$x+2=1$，解得$x=-1$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，加减消元法，整体思想
【点评】
本题考查特殊结构二元一次方程组的简便运算，解题核心是先观察方程组的系数规律，通过作差得到简化的二元一次方程，再结合消元法求解，有效降低了大系数、字母系数方程组的运算难度，对学生的观察能力和灵活运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
